matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisDifferenzierbarkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Analysis" - Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differenzierbarkeit: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Do 20.01.2005
Autor: Yoko

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe zur Differenzierbarkeit liegen und irgendwie scheint es mir, als ob mir das differenzieren nicht ganz klar ist.
---------------
Hier die Aufgabe

f: [mm] \IR \to \IR [/mm]      
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge0 \\ - x^{2}, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

a) Zeigen Sie, dass f in R differenzierbar ist.
b)Ist die Ableitung [mm] f':\IR \to \IR [/mm] ebenfalls differenzierbar in ganz R?
----------------

zu a) Zuerst muss ich ja zeigen, das [mm] f\(x) [/mm] in allen [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist.
Also

[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}}x-x_{0}=2x_{0} [/mm]

Für den anderen Fall ist es nur negativ und das sind ja genau meine beiden Ableitungen.
Heißt das jetzt das [mm] f\(x) [/mm] in ganz  [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist oder muss noch was weiteres gemacht werden um zu zeigen das f differenzierbar ist?

zu b)Ist es hier nicht das gleiche nur das ich die zweite Ableitung bilde?


Jede Hilfe zur Differenzierbarkeit ist willkommen

gruß yoko

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Do 20.01.2005
Autor: Sigrid

Hallo Yoko

> Hallo,
>  
> ich habe hier eine Aufgabe zur Differenzierbarkeit liegen
> und irgendwie scheint es mir, als ob mir das differenzieren
> nicht ganz klar ist.
>  ---------------
>  Hier die Aufgabe
>  
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm]      
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge0 \\ - x^{2}, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
>  
>
> a) Zeigen Sie, dass f in R differenzierbar ist.
> b)Ist die Ableitung [mm]f':\IR \to \IR[/mm] ebenfalls
> differenzierbar in ganz R?
>  ----------------
>  
> zu a) Zuerst muss ich ja zeigen, das [mm]f\(x)[/mm] in allen [mm]x_{0}[/mm]
> differenzierbar ist.
>  Also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}}x-x_{0}=2x_{0} [/mm]

Du meinst
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(x [/mm] + [mm] x_0) [/mm]
Das ist richtig für alle [mm] x_0 [/mm] > 0 und x aus einer geeigneten Umgebung von [mm] x_0 [/mm]

>
> Für den anderen Fall ist es nur negativ und das sind ja
> genau meine beiden Ableitungen.

Die Rechnung gilt aber auch nur für [mm] x_0 [/mm] < 0.

>  Heißt das jetzt das [mm]f\(x)[/mm] in ganz  [mm]\IR[/mm] differenzierbar ist

Das heißt, daß f für alle [mm] [mm] x_0 \not= [/mm] 0 differenzierbar ist.

> oder muss noch was weiteres gemacht werden um zu zeigen das
> f differenzierbar ist?

Du musst noch zeigen, dass f an der Stelle 0 differenzierbar ist.
Dazu brauchst du den Grenzwert
[mm][mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] einmal für x>0 und einmal für x<0. Wenn dann diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion auch an der Stelle 0 differenzierbar.

Wenn du eine abschnittweise definierte Funktion hast, musst du die Stelle, an der sich der Funktionsterm ändert, immer gesondert untersuchen, weil du ja zeigen musst, dass der Grenzwert für alle x aus einer geeigneten Umgebung Von [mm] x_0 [/mm] derselbe ist.

>  
> zu b)Ist es hier nicht das gleiche nur das ich die zweite
> Ableitung bilde?

Untersuche auch hier die Stelle x=0 gesondert. Du wirst dann merken, dass f' an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist.

Wenn noch Fragen sind, melde dich.
Gruß Sigrid

>
> Jede Hilfe zur Differenzierbarkeit ist willkommen
>  
> gruß yoko
>  


Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Do 20.01.2005
Autor: Yoko

Ersteinmal danke! ^_^

Ok, den Fall =0 betrachte ich ab jetzt gesondert

wenn ich jetzt in b) den Fall [mm] x_{0}=0 [/mm] betrachte dann habe ich 2 und -2 raus. Aber auch 2 für x>0, und -2 für den Fall x<0.
Das heißt jetzt das f'(x) in ganz IR nicht differenzierbar ist, hab ich das richtig verstanden?

Gruß Yoko


Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Do 20.01.2005
Autor: Sigrid

Hallo Yoko,

> Ersteinmal danke! ^_^
>  
> Ok, den Fall =0 betrachte ich ab jetzt gesondert
>  
> wenn ich jetzt in b) den Fall [mm]x_{0}=0[/mm] betrachte dann habe
> ich 2 und -2 raus. Aber auch 2 für x>0, und -2 für den Fall
> x<0.
>  Das heißt jetzt das f'(x) in ganz IR nicht differenzierbar
> ist, hab ich das richtig verstanden?

Das könnte man missverstehen.
Die Funktion f' ist nicht in ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar. Sie ist an allen Stellen außer der 0 differenzierbar. Wenn ihr die Differenzierbarkeit der ganzrationalen Funktionen benutzen könnt, kannst du sagen: Für jede Stelle  [mm] x_0 \not= 0 [/mm] stimmt f' in einer geeigneten Umgebung von [mm] x_0 [/mm] mit einer ganzrationalen Funktion überein, ist also differenzierbar an der Stelle [mm] x_0 \not= 0 [/mm]. Sonst kannst du es über die Grenzwertzberechnung zeigen.

Gruß Sigrid

>  
> Gruß Yoko
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Differenzierbarkeit: unklarheiten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Do 20.01.2005
Autor: Yoko

ich dachte hier könnte ich es folgendermaßen machen

[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]

und das ist ja dementsprechend für positive oder negative x +-2

Also ist das so nicht ganz korrekt?

Bezug
                                        
Bezug
Differenzierbarkeit: 0 Punkt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Do 20.01.2005
Autor: leduart

Hallo
für alle x ungleich Null existiert f'' bei x = 0 nicht! da die links und rechtsseitigen Grenzwerte verschieden sind. Du siehst ja auch, dass der Graph von f' eine "Ecke" hat
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Do 20.01.2005
Autor: Sigrid

Hallo Yoko

> ich dachte hier könnte ich es folgendermaßen machen
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]
>  
>
> und das ist ja dementsprechend für positive oder negative x
> +-2
>  
> Also ist das so nicht ganz korrekt?
>  

Ich bin nicht ganz sicher, ob ich dein Problem richtig sehe, aber ich probier's mal. Wenn du eine Stelle [mm] x_0 \not= 0 [/mm] hast, dann findest du eine Umgebung [mm] U(x_0), [/mm] so dass alle x aus dieser Umgebung von 0 verschieden sind. Es ist für alle [mm] x>x_0 [/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]
= [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{2x - 2x_0}{x-x_{0}} [/mm]
= 2

Das gleiche gilt aber auch für alle x mit 0 < x < [mm] x_0. [/mm]
Ein Problem tritt also erst auf, wenn du [mm] x_0 [/mm] = 0 hast, dann sind die x-Werte rechts von [mm] x_0 [/mm] positiv, also f'(x)=2x.
Die Werte links von [mm] x_0 [/mm] sind aber negativ, also f'(x)=-2x. Du bekommst also für den Grenzwert unterschiedliche Werte, je nachdem ob du dich der 0 von rechts oder von links näherst, so wie es Leduart ja auch schon erklärt hat.

Gruß Sigrid


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]