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Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Differenzierbarkeit: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Do 20.01.2005
Autor: Yoko

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe zur Differenzierbarkeit liegen und irgendwie scheint es mir, als ob mir das differenzieren nicht ganz klar ist.
---------------
Hier die Aufgabe

f: [mm] \IR \to \IR [/mm]      
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge0 \\ - x^{2}, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

a) Zeigen Sie, dass f in R differenzierbar ist.
b)Ist die Ableitung [mm] f':\IR \to \IR [/mm] ebenfalls differenzierbar in ganz R?
----------------

zu a) Zuerst muss ich ja zeigen, das [mm] f\(x) [/mm] in allen [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist.
Also

[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}}x-x_{0}=2x_{0} [/mm]

Für den anderen Fall ist es nur negativ und das sind ja genau meine beiden Ableitungen.
Heißt das jetzt das [mm] f\(x) [/mm] in ganz  [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist oder muss noch was weiteres gemacht werden um zu zeigen das f differenzierbar ist?

zu b)Ist es hier nicht das gleiche nur das ich die zweite Ableitung bilde?


Jede Hilfe zur Differenzierbarkeit ist willkommen

gruß yoko

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Do 20.01.2005
Autor: Sigrid

Hallo Yoko

> Hallo,
>  
> ich habe hier eine Aufgabe zur Differenzierbarkeit liegen
> und irgendwie scheint es mir, als ob mir das differenzieren
> nicht ganz klar ist.
>  ---------------
>  Hier die Aufgabe
>  
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm]      
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge0 \\ - x^{2}, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
>  
>
> a) Zeigen Sie, dass f in R differenzierbar ist.
> b)Ist die Ableitung [mm]f':\IR \to \IR[/mm] ebenfalls
> differenzierbar in ganz R?
>  ----------------
>  
> zu a) Zuerst muss ich ja zeigen, das [mm]f\(x)[/mm] in allen [mm]x_{0}[/mm]
> differenzierbar ist.
>  Also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}}x-x_{0}=2x_{0} [/mm]

Du meinst
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(x [/mm] + [mm] x_0) [/mm]
Das ist richtig für alle [mm] x_0 [/mm] > 0 und x aus einer geeigneten Umgebung von [mm] x_0 [/mm]

>
> Für den anderen Fall ist es nur negativ und das sind ja
> genau meine beiden Ableitungen.

Die Rechnung gilt aber auch nur für [mm] x_0 [/mm] < 0.

>  Heißt das jetzt das [mm]f\(x)[/mm] in ganz  [mm]\IR[/mm] differenzierbar ist

Das heißt, daß f für alle [mm] [mm] x_0 \not= [/mm] 0 differenzierbar ist.

> oder muss noch was weiteres gemacht werden um zu zeigen das
> f differenzierbar ist?

Du musst noch zeigen, dass f an der Stelle 0 differenzierbar ist.
Dazu brauchst du den Grenzwert
[mm][mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] einmal für x>0 und einmal für x<0. Wenn dann diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion auch an der Stelle 0 differenzierbar.

Wenn du eine abschnittweise definierte Funktion hast, musst du die Stelle, an der sich der Funktionsterm ändert, immer gesondert untersuchen, weil du ja zeigen musst, dass der Grenzwert für alle x aus einer geeigneten Umgebung Von [mm] x_0 [/mm] derselbe ist.

>  
> zu b)Ist es hier nicht das gleiche nur das ich die zweite
> Ableitung bilde?

Untersuche auch hier die Stelle x=0 gesondert. Du wirst dann merken, dass f' an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist.

Wenn noch Fragen sind, melde dich.
Gruß Sigrid

>
> Jede Hilfe zur Differenzierbarkeit ist willkommen
>  
> gruß yoko
>  


Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Do 20.01.2005
Autor: Yoko

Ersteinmal danke! ^_^

Ok, den Fall =0 betrachte ich ab jetzt gesondert

wenn ich jetzt in b) den Fall [mm] x_{0}=0 [/mm] betrachte dann habe ich 2 und -2 raus. Aber auch 2 für x>0, und -2 für den Fall x<0.
Das heißt jetzt das f'(x) in ganz IR nicht differenzierbar ist, hab ich das richtig verstanden?

Gruß Yoko


Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Do 20.01.2005
Autor: Sigrid

Hallo Yoko,

> Ersteinmal danke! ^_^
>  
> Ok, den Fall =0 betrachte ich ab jetzt gesondert
>  
> wenn ich jetzt in b) den Fall [mm]x_{0}=0[/mm] betrachte dann habe
> ich 2 und -2 raus. Aber auch 2 für x>0, und -2 für den Fall
> x<0.
>  Das heißt jetzt das f'(x) in ganz IR nicht differenzierbar
> ist, hab ich das richtig verstanden?

Das könnte man missverstehen.
Die Funktion f' ist nicht in ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar. Sie ist an allen Stellen außer der 0 differenzierbar. Wenn ihr die Differenzierbarkeit der ganzrationalen Funktionen benutzen könnt, kannst du sagen: Für jede Stelle  [mm] x_0 \not= 0 [/mm] stimmt f' in einer geeigneten Umgebung von [mm] x_0 [/mm] mit einer ganzrationalen Funktion überein, ist also differenzierbar an der Stelle [mm] x_0 \not= 0 [/mm]. Sonst kannst du es über die Grenzwertzberechnung zeigen.

Gruß Sigrid

>  
> Gruß Yoko
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Differenzierbarkeit: unklarheiten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Do 20.01.2005
Autor: Yoko

ich dachte hier könnte ich es folgendermaßen machen

[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]

und das ist ja dementsprechend für positive oder negative x +-2

Also ist das so nicht ganz korrekt?

Bezug
                                        
Bezug
Differenzierbarkeit: 0 Punkt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Do 20.01.2005
Autor: leduart

Hallo
für alle x ungleich Null existiert f'' bei x = 0 nicht! da die links und rechtsseitigen Grenzwerte verschieden sind. Du siehst ja auch, dass der Graph von f' eine "Ecke" hat
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Do 20.01.2005
Autor: Sigrid

Hallo Yoko

> ich dachte hier könnte ich es folgendermaßen machen
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]
>  
>
> und das ist ja dementsprechend für positive oder negative x
> +-2
>  
> Also ist das so nicht ganz korrekt?
>  

Ich bin nicht ganz sicher, ob ich dein Problem richtig sehe, aber ich probier's mal. Wenn du eine Stelle [mm] x_0 \not= 0 [/mm] hast, dann findest du eine Umgebung [mm] U(x_0), [/mm] so dass alle x aus dieser Umgebung von 0 verschieden sind. Es ist für alle [mm] x>x_0 [/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]
= [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{2x - 2x_0}{x-x_{0}} [/mm]
= 2

Das gleiche gilt aber auch für alle x mit 0 < x < [mm] x_0. [/mm]
Ein Problem tritt also erst auf, wenn du [mm] x_0 [/mm] = 0 hast, dann sind die x-Werte rechts von [mm] x_0 [/mm] positiv, also f'(x)=2x.
Die Werte links von [mm] x_0 [/mm] sind aber negativ, also f'(x)=-2x. Du bekommst also für den Grenzwert unterschiedliche Werte, je nachdem ob du dich der 0 von rechts oder von links näherst, so wie es Leduart ja auch schon erklärt hat.

Gruß Sigrid


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