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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Diskriminant Normierte Polynom
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Diskriminant Normierte Polynom: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mo 30.01.2017
Autor: Joseph95

Aufgabe
Für [mm] \alpha \in \IC [/mm] bezeichnen wir mit [mm] t_\alpha [/mm] : [mm] \IC[X] \to \IC[X] [/mm]  den Homomorphismus, der auf [mm] \IC [/mm] die Identität ist und [mm] t_\alpha(X) [/mm] = X + [mm] \alpha [/mm] erfüllt. Zeige, dass disc(f) = [mm] disc(t_\alpha(f)) [/mm] für jedes normierte Polynom f [mm] \in \IC[X] [/mm] und jedes [mm] \alpha \in \IC [/mm] gilt.

Hey Leute,

ich bräuchte nochmal eure Hifle... Ich habe bei der oben genannten Aufgabe leider keinen Ansatz. Könnte ich die Aufgabe in Zusammenarbeit mit den hier interessierten bearbeiten? Ich würde mich diesbezüglich sehr freuen. :)


Mit freundlichen Grüßen,
Joseph95

        
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Diskriminant Normierte Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Mo 30.01.2017
Autor: hippias

Wie bestimmst Du die Diskriminante eines Polynoms [mm] $g\in \IC[X]$? [/mm]

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Diskriminant Normierte Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Mo 30.01.2017
Autor: Joseph95

Naja, ich habe für die Definition der Diskriminante wie folgt:
Da wir uns in [mm] \IC[X] [/mm] bewegen, haben wir ja nur eine Unbekannte, weshalb sich die Diskriminante wie folgt bestimmen lässt:
Da wir uns in [mm] \IC [/mm] befinden, lässt sich nach dem FundamentalSatz der Linearen Algebra das Polynom in linear Faktoren aufteilen.
Sprich unser f wäre ein Polynom der Darstellung:
f = [mm] \produkt_{i=1}^{n} (X-a_i) [/mm] , wobei [mm] a_i [/mm] die Nullstellen des Polynoms sind. Die Diskriminante wäre dann wie folgt:
disc(f) = [mm] \produkt_{i Aber in wie weit bringt mir das hier weiter?

Joseph95

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Diskriminant Normierte Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Mo 30.01.2017
Autor: hippias

Die Berechnung kann durch Kenntniss der Nullstellen erfolgen. Wie hängen die Nullstellen vo $f$ und [mm] $t_{\alpha}(f)$ [/mm] zusammen?

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Diskriminant Normierte Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mo 30.01.2017
Autor: Joseph95

Ich würde mal denken, dass die Nullstellen um [mm] \alpha [/mm] verschoben sind, oder? Da ich ja f lediglich um [mm] \alpha [/mm] verschiebe... oder irre ich mich?

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Diskriminant Normierte Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:57 Di 31.01.2017
Autor: fred97


> Ich würde mal denken, dass die Nullstellen um [mm]\alpha[/mm]
> verschoben sind, oder? Da ich ja f lediglich um [mm]\alpha[/mm]
> verschiebe... oder irre ich mich?

Wie wäre es mit ein wenig Einsatz ..... ?

1. Was ist [mm] t_{\alpha}(X^k) [/mm] ?

2. Was ist  [mm] t_{\alpha}(f) [/mm] , wenn [mm] f=a_nX^n+....+a_1X+a_0 [/mm] ?

3. Wie hängen die Nullstellen von f und  [mm] t_{\alpha}(f) [/mm] zusammen ?

Rechnen , knobeln, überlegen, auf die Schnauze fallen, wieder knobeln..., so macht man Mathematik.




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Diskriminant Normierte Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:21 Di 31.01.2017
Autor: Joseph95

Zu den Fragen würde ich sagen:
1) [mm] t_\alpha(X^k) [/mm] = [mm] X^k [/mm] + [mm] \alpha [/mm]
2) [mm] t_a(f) [/mm] = [mm] X^n [/mm] + [mm] a_{n-1}X^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}X^{n-2} [/mm] + ... + + [mm] a_{1}X^{1} [/mm] + [mm] a_0 [/mm] + [mm] \alpha [/mm]

3) Sei [mm] x_n_1 [/mm] beispielweise eine Nullstelle für f, dann würde man für [mm] t_\alpha(f) [/mm] anstatt 0 [mm] \alpha [/mm] raus bekommen. In [mm] t_\alpha(f) [/mm] müsste das Polynom ohne [mm] \alpha [/mm] für Nullstellen - [mm] \alpha [/mm] raus kommen, damit sich beides aufhebt und 0 als Ergebnis kommt. Ich habe mich an der Aufgabe fest gebissen, weiß aber nicht wie ich damit weiter komme...

Bitte um Hilfe :((


Joseph95

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Diskriminant Normierte Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 Di 31.01.2017
Autor: hippias


> Zu den Fragen würde ich sagen:
>  1) [mm]t_\alpha(X^k)[/mm] = [mm]X^k[/mm] + [mm]\alpha[/mm]

Das ist nicht richtig: [mm] $t_{\alpha}$ [/mm] ist ein Ringhomomorphismus!

>  2) [mm]t_a(f)[/mm] = [mm]X^n[/mm] + [mm]a_{n-1}X^{n-1}[/mm] + [mm]a_{n-2}X^{n-2}[/mm] + ... +
> + [mm]a_{1}X^{1}[/mm] + [mm]a_0[/mm] + [mm]\alpha[/mm]

S.o.

>  
> 3) Sei [mm]x_n_1[/mm] beispielweise eine Nullstelle für f, dann
> würde man für [mm]t_\alpha(f)[/mm] anstatt 0 [mm]\alpha[/mm] raus bekommen.
> In [mm]t_\alpha(f)[/mm] müsste das Polynom ohne [mm]\alpha[/mm] für
> Nullstellen - [mm]\alpha[/mm] raus kommen, damit sich beides aufhebt
> und 0 als Ergebnis kommt. Ich habe mich an der Aufgabe fest
> gebissen, weiß aber nicht wie ich damit weiter komme...

Das ist richtig vermutet. Gehe damit in die Formel für die Diskriminante.

>  
> Bitte um Hilfe :((
>  
>
> Joseph95


Bezug
                                                                
Bezug
Diskriminant Normierte Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 Di 31.01.2017
Autor: Joseph95

Stimmt... Wir setzen ja für X nun X + [mm] \alpha [/mm] ein, weshalb wir für [mm] t_\alpha(X^k) [/mm] = (X + [mm] \alpha)^k [/mm] bekommen, oder?

für das Polynom von f in [mm] t_\alpha(f) [/mm] würden wir dann erhalten:
$ [mm] t_a(f) [/mm] $ = $ [mm] (X+\alpha)^n [/mm] $ + $ [mm] a_{n-1}(X+\alpha)^{n-1} [/mm] $ + $ [mm] a_{n-2}(X+\alpha)^{n-2} [/mm] $ + ... + + $ [mm] a_{1}(X+\alpha)^{1} [/mm] $ + $ [mm] a_0 [/mm] $

Ist das denn so richtig?

Setze ich nun das in:
[mm] disc(t_\alpha(f)) [/mm] ein, dann erhalte ich ja [mm] (-1)^\frac{n*(n-1)}{2} [/mm] res(f, f')

Wieso ist dies nun gleich der disc(f)??

Bezug
                                                                        
Bezug
Diskriminant Normierte Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Di 31.01.2017
Autor: hippias


> Stimmt... Wir setzen ja für X nun X + [mm]\alpha[/mm] ein, weshalb
> wir für [mm]t_\alpha(X^k)[/mm] = (X + [mm]\alpha)^k[/mm] bekommen, oder?
>  
> für das Polynom von f in [mm]t_\alpha(f)[/mm] würden wir dann
> erhalten:
>  [mm]t_a(f)[/mm] = [mm](X+\alpha)^n[/mm] + [mm]a_{n-1}(X+\alpha)^{n-1}[/mm] +
> [mm]a_{n-2}(X+\alpha)^{n-2}[/mm] + ... + + [mm]a_{1}(X+\alpha)^{1}[/mm] +
> [mm]a_0[/mm]
>  
> Ist das denn so richtig?

Ja.

>  
> Setze ich nun das in:
>  [mm]disc(t_\alpha(f))[/mm] ein, dann erhalte ich ja
> [mm](-1)^\frac{n*(n-1)}{2}[/mm] res(f, f')
>  
> Wieso ist dies nun gleich der disc(f)??

Das ist Deine Hausaufgabe!! Aber vielleicht gehst Du nocheinmal Deine eigenen Texte in diesem Faden durch...

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Diskriminant Normierte Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Di 31.01.2017
Autor: fred97


> Stimmt... Wir setzen ja für X nun X + [mm]\alpha[/mm] ein, weshalb
> wir für [mm]t_\alpha(X^k)[/mm] = (X + [mm]\alpha)^k[/mm] bekommen, oder?
>  
> für das Polynom von f in [mm]t_\alpha(f)[/mm] würden wir dann
> erhalten:
>  [mm]t_a(f)[/mm] = [mm](X+\alpha)^n[/mm] + [mm]a_{n-1}(X+\alpha)^{n-1}[/mm] +
> [mm]a_{n-2}(X+\alpha)^{n-2}[/mm] + ... + + [mm]a_{1}(X+\alpha)^{1}[/mm] +
> [mm]a_0[/mm]
>  
> Ist das denn so richtig?

Ja.


>  
> Setze ich nun das in:
>  [mm]disc(t_\alpha(f))[/mm] ein, dann erhalte ich ja
> [mm](-1)^\frac{n*(n-1)}{2}[/mm] res(f, f')
>  
> Wieso ist dies nun gleich der disc(f)??


Nimm doch die Def !.

Seien [mm] a_1,....,a_n [/mm] die Nullstellen von f. Dann sind [mm] b_1:=a_1- \alpha,...., b_n:=a_n- \alpha [/mm] die Nullstellen von [mm] t_{\alpha}(f). [/mm]

Für i<j ist

  [mm] b_i-b_j=a_i-a_j. [/mm]

Klingelts ?




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