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| Aufgabe | Berechnen Sie die Doppelsumme
[mm] \sum_{i,j=0}^{N} 2^{-i-j-2}
[/mm]
mit i,j [mm] \in \IN_0 [/mm] |
[mm] \sum_{i,j=0}^{N} 2^{-i-j-2}
[/mm]
[mm] =\sum_{i=0}^{N} 2^{-i} \sum_{j=0}^{N}2^{-j-2}
[/mm]
[mm] =\sum_{i=0}^{N} 2^{-i} \sum_{j=0}^{N}2^{-j}*2^{-2}
[/mm]
Nun ist hier die geometrische Reihe anzuwenden, also
[mm] \sum_{j=0}^{N} 2^{-2}*2^{-j}=2^{-2}\bruch{1-2^{1-N}}{-1}
[/mm]
[mm] \sum_{i=0}^{N} 2^{-2}*2^{-i}=2^{-2}\bruch{1-2^{1-N}}{-1}
[/mm]
Darf ich nun diese beiden Ausdrücke einfach multiplizieren um den gesuchten Summenwert zu erhalten?
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Hallo,
rechne es doch einfach mal für ein Beispiel nach, z.B. N=3 oder N=5. Und, stimmts?
> Berechnen Sie die Doppelsumme
> [mm]\sum_{i,j=0}^{N} 2^{-i-j-2}[/mm]
> mit i,j [mm]\in \IN_0[/mm]
>
> [mm]\sum_{i,j=0}^{N} 2^{-i-j-2}[/mm]
> [mm]=\sum_{i=0}^{N} 2^{-i} \sum_{j=0}^{N}2^{-j-2}[/mm]
Schon hier fehlen wesentliche Klammern!
> [mm]=\sum_{i=0}^{N} 2^{-i} \sum_{j=0}^{N}2^{-j}*2^{-2}[/mm]
>
> Nun ist hier die geometrische Reihe anzuwenden,
Ach ja?
> also
> [mm]\sum_{j=0}^{N} 2^{-2}*2^{-j}=2^{-2}\bruch{1-2^{1-N}}{-1}[/mm]
>
> [mm]\sum_{i=0}^{N} 2^{-2}*2^{-i}=2^{-2}\bruch{1-2^{1-N}}{-1}[/mm]
>
> Darf ich nun diese beiden Ausdrücke einfach multiplizieren
> um den gesuchten Summenwert zu erhalten?
Nein.
Grüße
reverend
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Stimmt, die Klammern habe ich unterschlagen:
$ [mm] =\bruch{1}{4}\sum_{i=0}^{N} \left(2^{-i}\sum_{j=0}^{N}2^{-j} \right)$
[/mm]
Aber trotzdem braucht man doch hier die geometrische Reihe oder etwa nicht?
Und ja ich habe verifiziert, dass "meine" im Startpost angegebene Vermutung nicht korrekt ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Stimmt, die Klammern habe ich unterschlagen:
> [mm]=\bruch{1}{4}\sum_{i=0}^{N} \left(2^{-i}\sum_{j=0}^{N}2^{-j} \right)[/mm]
naja, es ist halt
[mm] $\sum_{i=0}^N (c_i *\text{const})=\left(\sum_{i=0}^N c_i\right)*\text{const}$
[/mm]
Distributivität. Ich sehe es dann eher so, dass Du zwei Schritte in einem
getan hast. 
> Aber trotzdem braucht man doch hier die geometrische Reihe
> oder etwa nicht?
Nein, die geometrische Summenformel, die natürlich für die geometrische
Reihe von besonderer Bedeutung ist. Das kannst Du ruhig einsetzen!
> Und ja ich habe verifiziert, dass "meine" im Startpost
> angegebene Vermutung nicht korrekt ist.
Sofern meine Rechnung stimmt, sollte sowas wie
[mm] $=\frac{1}{4}*{\left(\frac{1-1/2^{N+1}}{1-1/2}\right)}^2$
[/mm]
am Ende rauskommen - Du darfst das noch "schönschreiben", und natürlich
am Besten nachrechnen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie die Doppelsumme
> [mm]\sum_{i,j=0}^{N} 2^{-i-j-2}[/mm]
> mit i,j [mm]\in \IN_0[/mm]
>
> [mm]\sum_{i,j=0}^{N} 2^{-i-j-2}[/mm]
> [mm]=\sum_{i=0}^{N} 2^{-i} \sum_{j=0}^{N}2^{-j-2}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{i=0}^{N} 2^{-i} \sum_{j=0}^{N}2^{-j}*2^{-2}[/mm]
>
> Nun ist hier die geometrische Reihe anzuwenden, also
> [mm]\sum_{j=0}^{N} 2^{-2}*2^{-j}=2^{-2}\bruch{1-2^{1-N}}{-1}[/mm]
>
> [mm]\sum_{i=0}^{N} 2^{-2}*2^{-i}=2^{-2}\bruch{1-2^{1-N}}{-1}[/mm]
ich blicke jetzt nicht so ganz durch:
[mm] $\sum_{i,j=0}^{N} 2^{-i-j-2}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{i=0}^{N} \sum_{j=0}^N 2^{-i-j-2}$
[/mm]
(Warum gilt denn das? Darf ich die Summenzeichen vertauchen, also auch
[mm] $=\sum_{j=0}^N \sum_{i=0}^N [/mm] ...$
schreiben? Tipp: Betrachte mal [mm] $i\,$ [/mm] als i-te Zeile einer Matrix und [mm] $j\,$ [/mm] als [mm] $j\,$-te
[/mm]
Spalte...)
Also weiter:
[mm] $=\sum_{i=0}^{N} 2^{-i}\sum_{j=0}^N 2^{-j-2}$
[/mm]
Was haben wir gemacht? Distributiviert... oder wie das nochmal heißt...
Wie ist das also zu lesen?
[mm] $=\left(\sum_{i=0}^N 2^{-i}\right)*\sum_{j=0}^N 2^{-j-2}\,,$
[/mm]
das ist schon ein Produkt zweier (endlicher) Summen und das ist
[mm] $=\frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N 2^{-i}\right)*\sum_{j=0}^N 2^{-j}=\frac{1}{4}*\left(\sum_{j=0}^N (1/2)^j\right)^2\,.$
[/mm]
(Edit: Verschreiber korrigiert!))
Jetzt darfst Du mal die geometrische Summenformel anwenden (nicht die
geometrische Reihe), und dann gucken, ob Du das gleiche Ergebnis raus
hast (denn ich sehe oben bei vielen Deiner Umformungen nicht direkt, was
Du da gerechnet/umgeformt hast und bin gerade zu faul zum Nachrechnen).
Gruß,
Marcel
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>
> [mm]=\frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N 2^{-i}\right)*\sum_{j=0}^N 2^{-j-2}=\frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N (1/2)^j\right)^2\,.[/mm]
>
Danke für deine Antwort, aber 2 kleine Fehler habe ich gefunden:
[mm] \frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N 2^{-i}\right)*\sum_{j=0}^N 2^{-j}=\frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N (1/2)^i\right)^2\,.
[/mm]
So sollte es stimmen.
Ja du hast Recht, geometrische Summenformel heißt das.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > [mm]=\frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N 2^{-i}\right)*\sum_{j=0}^N 2^{-j\red{-2}}=\frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N (1/2)^\red{j}\right)^2\,.[/mm]
>
> >
>
>
> Danke für deine Antwort, aber 2 kleine Fehler habe ich
> gefunden:
markiere sie ruhig: Es sind zwar nur Verschreiber bzw. "ich habe einmal
vergessen, die -2 aus dem Exponenten zu löschen", aber so sieht man
sie wenigstens (ich habe sie rot markiert).
Ich werde meine Antwort da auch nochmal korrigieren.
> [mm]\frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N 2^{-i}\right)*\sum_{j=0}^N 2^{-j}=\frac{1}{4}*\left(\sum_{i=0}^N (1/2)^i\right)^2\,.[/mm]
>
> So sollte es stimmen.
Ja, aber da kommt immer noch
[mm] $=\frac{1}{4}*{\left(\frac{1-1/2^{N+1}}{1-1/2}\right)}^2$
[/mm]
raus, was man so nicht stehen lassen sollte (wobei mich das relativ wenig
jucken würde - okay, [mm] $1-1/2=1/2\,$ [/mm] würde ich schon noch gerne sehen wollen...).
> Ja du hast Recht, geometrische Summenformel heißt das.
Du hast ja schon in die richtige Richtung gedacht, das ist das Wesentliche!
P.S. Ich habe mit Absicht [mm] $1/2^{N+1}$ [/mm] geschrieben, weil ich da nur ein
einfaches Rechengesetz verwendet habe...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal nebenbei:
Wenn man
[mm] $S:=\sum_{\substack{i=0,...,M\\j=0,...,N}}a_{i,j}$
[/mm]
hat, was ja eigentlich erstmal
[mm] $=\sum_{(i,j) \in {0,...,M} \times \{0,...,N\}}a_{i,j}$
[/mm]
bedeutet, so kann man sich das so vorstellen:
Bilde die $(M+1) [mm] \times [/mm] (N+1)$-Matrix [mm] $A\,$ [/mm] mit
[mm] $A=\pmat{a_{0,0} & a_{0,1} & ... & a_{0,N}\\a_{1,0} & a_{1,1} & ... & a_{1,N} \\... & ... & ... & ... \\... & ... & ... & ... \\... & ... & ... & ... \\a_{M,0} & a_{M,1} & ... & a_{M,N}}$ [/mm]
und bilde die Summe über alle Matrixeinträge. Dann ist sofort klar, dass
diese Summe rauskommt, wenn
man die Summe über alle "Spaltensummen" bildet:
[mm] $S=\sum_{j=0}^N \left(\sum_{i=0}^M a_{i,j}\right)$ [/mm]
oder wenn
man die Summe über alle "Zeilensummen" bildet:
[mm] $S=\sum_{i=0}^M \left(\sum_{j=0}^N a_{i,j}\right)\,.$
[/mm]
Was passiert da? Nicht mehr als die Kommutativität der Addition...
P.S. Viel schöner und natürlicher sieht das Ganze aus, wenn man
[mm] S:=\sum_{\substack{i=\red{1},...,M\\j=\red{1},...,N}}a_{i,j} [/mm]
hat. Natürlich ist das alles im Prinzip nur eine "Benennungssache"...
P.P.S. Alternativ kannst Du Dir auch im kartesischen [mm] $\IR^2$ [/mm] das Rechteckgitter
[mm] $\{0,...,M\} \times \{0,...,N\}$
[/mm]
einzeichnen. Jeder Punkt $(i,j) [mm] \in \{0,...,M\} \times \{0,...,N\}$ [/mm] steht dann für einen
Wert [mm] $a_{i,j}$ [/mm] etc. pp..
Gruß,
Marcel
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