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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 So 30.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe 1 | Sei A:= [mm] \pmat{ a & b & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \in [/mm] M(3 [mm] \times [/mm] 3; [mm] \IR)
[/mm]
(a) Berechne die Eigenwerte von A und die entsprechenden Eigenräume in Abhängigkeit von a und b |
| Aufgabe 2 | | (b) Welche Bedingungen müssen a und b erfüllen, damit A diagonaliserbar ist? Bestimme unter diesen Bedingungen S [mm] \in GL_{3}(\IR), [/mm] so dass [mm] SAS^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo zusammen
stehe weiter vor eine Problem, d.h. Aufgabe a) konnte ich (so glaube ich) lösen, bei b) habe ich noch einige Probleme. Ich löse einfach mal vor, was ich habe und hoffe mir kann jemand helfen, was mir fehlt. Danke
zu a)
Bestimmen der Eigenwerte:
A hat bereits Zeilenstufenform, daher:
[mm] P_{A} [/mm] = [mm] \pmat{ (t-a) & b & 0 \\ 0 & (t+1) & 0 \\ 0 & 0 & (t-1) } [/mm] = (t-a) (t+1) (t-1)
Eigenwerte: a, 1, -1 für a [mm] \not= \pm1
[/mm]
Bestimmen der Eigenräume:
[mm] \lambda [/mm] = a
Ker (A - [mm] aE_{3}) [/mm] = Ker [mm] \pmat{ 0 & b & 0 \\ 0 & (-1-a) & 0 \\ 0 & 0 & (1-a) }
[/mm]
=> span = [mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \} [/mm] für b [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \lambda [/mm] = 1
Ker (A - [mm] E_{3}) [/mm] = Ker [mm] \pmat{ (a-1) & b & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
=> span = [mm] \{\vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = -1
Ker (A + [mm] E_{3}) [/mm] = Ker [mm] \pmat{ (a+1) & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
=> span = [mm] \{\vektor{\bruch{-b}{(a+1)} \\ 1 \\ 0} \}
[/mm]
D.h. die Eigenräume sind:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{\bruch{-b}{(a+1} \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Nun zu b)
(i) Für a [mm] \in \IR\\{x\pm1\} [/mm] hat [mm] P_{A_{a,b}} [/mm] (t) für alle b [mm] \in [/mm] IR drei verschiedene Nullstellen und ist daher nach Satz (von unserem Buch) diagonalisierbar
(ii) Für a= 1, so ist [mm] P_{A_{1,b}} [/mm] (t) = (t+1) [mm] (t-1)^2
[/mm]
[mm] A_{1,b} [/mm] - [mm] E_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & b & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Und dann wäre nach unserem Satz eine Matrix diagonalisierbar, wenn:
dim [mm] Eig(A_{1,b};1) [/mm] = [mm] \mu (P_{A_{1,b}}; [/mm] 1) ist.
Nun aber habe ich das Problem, dass ich nicht sehe welche Dimension [mm] Eig(A_{1,b};1) [/mm] hat.... Und wie bestimme ich [mm] \mu (P_{A_{1,b}}; [/mm] 1)????
Analog wäre ja dann zu (ii) für a= -1, aber das ist dann das selbe Problem :-(
Intuitiv würde ich sagen, dass für a = [mm] \pm [/mm] 1 die Matrix A nicht diagonalisierbar ist. D.h. wir hätten nur den Fall (i), wo A diagonalisierbar ist.
Somit wäre das S^-1 = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ \bruch{-b}{(a+1)}& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
(Also die Eigenvektoren)
Dann S invertiert ergibt (wieder):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ \bruch{-b}{(a+1)}& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Und dann [mm] SAS^{-1} [/mm] gerechnet, bekomme ich eine Diagonalmatrix mit den entsprechenden Eigenwerten.
ps. habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
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Hallo [mm] Giorda_N,
[/mm]
> Sei A:= [mm]\pmat{ a & b & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \in[/mm]
> M(3 [mm]\times[/mm] 3; [mm]\IR)[/mm]
>
> (a) Berechne die Eigenwerte von A und die entsprechenden
> Eigenräume in Abhängigkeit von a und b
> (b) Welche Bedingungen müssen a und b erfüllen, damit A
> diagonaliserbar ist? Bestimme unter diesen Bedingungen S
> [mm]\in GL_{3}(\IR),[/mm] so dass [mm]SAS^{-1}[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
> Hallo zusammen
>
> stehe weiter vor eine Problem, d.h. Aufgabe a) konnte ich
> (so glaube ich) lösen, bei b) habe ich noch einige
> Probleme. Ich löse einfach mal vor, was ich habe und hoffe
> mir kann jemand helfen, was mir fehlt. Danke
>
> zu a)
>
> Bestimmen der Eigenwerte:
>
> A hat bereits Zeilenstufenform, daher:
>
> [mm]P_{A}[/mm] = [mm]\pmat{ (t-a) & b & 0 \\ 0 & (t+1) & 0 \\ 0 & 0 & (t-1) }[/mm]
> = (t-a) (t+1) (t-1)
>
> Eigenwerte: a, 1, -1 für a [mm]\not= \pm1[/mm]
>
> Bestimmen der Eigenräume:
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> [mm]\lambda[/mm] = a
>
> Ker (A - [mm]aE_{3})[/mm] = Ker [mm]\pmat{ 0 & b & 0 \\ 0 & (-1-a) & 0 \\ 0 & 0 & (1-a) }[/mm]
>
> => span = [mm]\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \}[/mm] für b [mm]\not=[/mm] 0
>
>
> [mm]\lambda[/mm] = 1
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> Ker (A - [mm]E_{3})[/mm] = Ker [mm]\pmat{ (a-1) & b & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> => span = [mm]\{\vektor{0 \\ 0 \\ 1} \}[/mm]
>
>
> [mm]\lambda[/mm] = -1
>
> Ker (A + [mm]E_{3})[/mm] = Ker [mm]\pmat{ (a+1) & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> => span = [mm]\{\vektor{\bruch{-b}{(a+1)} \\ 1 \\ 0} \}[/mm]
>
>
> D.h. die Eigenräume sind:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{\bruch{-b}{(a+1} \\ 1 \\ 0}[/mm]
Es sind noch die Eigenräume im Falle a=-1 und a=1 zu bestimmen.
>
>
> Nun zu b)
>
> (i) Für a [mm]\in \IR\\{x\pm1\}[/mm] hat [mm]P_{A_{a,b}}[/mm] (t) für alle b
> [mm]\in[/mm] IR drei verschiedene Nullstellen und ist daher nach
> Satz (von unserem Buch) diagonalisierbar
>
>
> (ii) Für a= 1, so ist [mm]P_{A_{1,b}}[/mm] (t) = (t+1) [mm](t-1)^2[/mm]
>
> [mm]A_{1,b}[/mm] - [mm]E_{3}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & b & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Und dann wäre nach unserem Satz eine Matrix
> diagonalisierbar, wenn:
>
> dim [mm]Eig(A_{1,b};1)[/mm] = [mm]\mu (P_{A_{1,b}};[/mm] 1) ist.
>
> Nun aber habe ich das Problem, dass ich nicht sehe welche
> Dimension [mm]Eig(A_{1,b};1)[/mm] hat.... Und wie bestimme ich [mm]\mu (P_{A_{1,b}};[/mm]
> 1)????
>
> Analog wäre ja dann zu (ii) für a= -1, aber das ist dann
> das selbe Problem :-(
>
>
> Intuitiv würde ich sagen, dass für a = [mm]\pm[/mm] 1 die Matrix A
> nicht diagonalisierbar ist. D.h. wir hätten nur den Fall
> (i), wo A diagonalisierbar ist.
Es gibt einen Zusammenhang zwischen Diagonalisierbarkeit,
algebraischer und geometrischer Vielfachheit
>
> Somit wäre das S^-1 = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ \bruch{-b}{(a+1)}& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> (Also die Eigenvektoren)
>
> Dann S invertiert ergibt (wieder):
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ \bruch{-b}{(a+1)}& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Und dann [mm]SAS^{-1}[/mm] gerechnet, bekomme ich eine
> Diagonalmatrix mit den entsprechenden Eigenwerten.
>
>
>
> ps. habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 30.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Danke für deine antwort, aber ich muss ehrlich sagen, dass es mir nicht viel hilft.
Kann jemand anderst mir noch zu b) helfen, was ich jetzt machen muss?
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Hallo [mm] Giorda_N,
[/mm]
> Danke für deine antwort, aber ich muss ehrlich sagen, dass
> es mir nicht viel hilft.
>
> Kann jemand anderst mir noch zu b) helfen, was ich jetzt
> machen muss?
Zu dem Fall a=1:
[mm] A_{1,b} = \pmat{ 1 & b & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
[mm] A_{1,b} - E_{3} = \pmat{ 0 & b & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
[mm] P_{A_{1,b}} (t) = (t+1) (t-1)^2 [/mm]
Die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert 1der Matrix [mm]A_{1,b}[/mm]
erkennst Du an der Anzahl der frei wählbaren Parameter.
[mm]\mu\left(P_{A_{1,b}};1\right)[/mm] ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes in [mm]P_{A_{1,b}}[/mm].
Das ist gleichbedeutend mit der Vielfachheit der Nullstelle t=1 in [mm]P_{A_{1,b}}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 30.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
vielen lieben dank, das hilft weiter 
eine kleine frage, wie wird der eigenraum notiert?
also du sagtest ich muss noch die eigenräume für a = [mm] \pm [/mm] 1 bestimmen!
wie sehen dann diese eigenräume aus? auch span = ....??
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Hallo [mm] Giorda_N,
[/mm]
> vielen lieben dank, das hilft weiter
>
> eine kleine frage, wie wird der eigenraum notiert?
[mm]Eig\left(A_{a,b};\lambda\right)=Kern\left(A_{a:b}-\lambda*E_{3}\right)[/mm]
>
> also du sagtest ich muss noch die eigenräume für a = [mm]\pm[/mm] 1
> bestimmen!
>
> wie sehen dann diese eigenräume aus? auch span = ....??
Ja.
Gruß
MathePower
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