Eindeutigkeit der Zahl e < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 11.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
| Aufgabe | Zeige, dass es höchstens eine Zahl e [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] (1+(1/n))^n \le [/mm] e [mm] \le (1+(1/n))^{n+1} [/mm] |
Hallo,
bräuchte bitte einen kleinen Anstoß zu der Aufgabe. Ich habe bereits gezeigt, dass die Folge [mm] f_n=(1+(1/n))^n [/mm] monoton anwächst und dass die Folge [mm] k_n=(1+(1/n))^{n+1} [/mm] monoton fällt.
Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben höchstens einen Wert e gibt, so dass obige Bedingung erfüllt ist. Üblicherweise nimmt man bei so einem Beweis ja an, dass es zwei Zahlen gibt die die Bedingung erfüllen und zeigt dann, dass die beiden Zahlen gleich sind. Nur komme ich dabei nicht so recht voran.
Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz liefern könnte.
Gruß
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Hallo,
reicht da nicht
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)
[/mm]
bereits aus, zusammen mit den Grenzwertsätzen?
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:43 So 11.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Das Problem ist, dass ich die nicht verwenden darf weil wir die in der Vorlesung noch nicht hatten. Deswegen habe ich mit uns schon bekannten Sätzen bewießen (so wie es auch als Tipp bei der Aufgabe daneben stand), dass gilt:
[mm] (1+\frac{1}{n})^n \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} [/mm] und [mm] (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \le (1+\frac{1}{n})^{n+1}
[/mm]
und weiß jetzt nicht so recht wie ich weiter machen soll. Ich hatte mir gedacht, dass ich zeigen könnte, dass gilt:
[mm] sup((1+\frac{1}{n+1})^{n+1}) [/mm] = [mm] inf((1+\frac{1}{n+1})^{n+2}) [/mm] = e
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 11.11.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Trollgut,
ich bin hier eher so der Hobby-Mathematiker, von daher kenne ich mich nicht sonderlich gut aus mit den üblichen Reihenfolgen beim Aufbau einer Vorlesung wie Analysis 1.
Von daher betrachte meine Antwort als 'Schuss aus der Hüfte' und verwende den Tipp von reverend weiter unten. Es ist zwar eigentlich nur ein technischer Unterschied zwiscehn den Vorgehensweisen, aber der ist halt wichtig. 
Gruß, Diophant
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Hallo,
es kommt mit dem von Diophant ziemlich gleich, wickelt das ganze aber so auf, wie du es gerne haben wolltest. Daher kommt hier mein Ansatz
Anahme:
[mm] (1+(1/n))^n\to{}e
[/mm]
[mm] (1+(1/n))^{n+1}\to{}e'
[/mm]
Beide Folgen konvergieren. Man betrachtet (Grenzwertsätze)
[mm] \frac{(1+(1/n))^n}{(1+(1/n))^{n+1}}=\frac{e}{e'}
[/mm]
[mm] \frac{1}{1+1/n}=\frac{e}{e'}
[/mm]
Für [mm] n\to\infty [/mm] ergibt sich: $ [mm] 1=\frac{e}{e'} \gdw [/mm] e=e' $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 So 11.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Richie,
das ist hübsch und einfach - wenn man die Grenzwertsätze verwenden darf.
Das scheint aber nicht der Fall zu sein.
Grüße
reverend
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Hallo Trollgut,
> Zeige, dass es höchstens eine Zahl e [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm](1+(1/n))^n \le[/mm] e [mm]\le (1+(1/n))^{n+1}[/mm]
> Hallo,
>
> bräuchte bitte einen kleinen Anstoß zu der Aufgabe. Ich
> habe bereits gezeigt, dass die Folge [mm]f_n=(1+(1/n))^n[/mm]
> monoton anwächst und dass die Folge [mm]k_n=(1+(1/n))^{n+1}[/mm]
> monoton fällt.
Wunderbar. Dann fehlt ja nicht mehr viel.
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben höchstens einen
> Wert e gibt, so dass obige Bedingung erfüllt ist.
> Üblicherweise nimmt man bei so einem Beweis ja an, dass es
> zwei Zahlen gibt die die Bedingung erfüllen und zeigt
> dann, dass die beiden Zahlen gleich sind. Nur komme ich
> dabei nicht so recht voran.
>
> Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz liefern
> könnte.
Zeige: [mm] \lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}-\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}\right)=0
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 11.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Sorry. Ich hatte mich etwas blöd in meinem Anfangstext ausgedrückt. Ich habe nicht gezeigt, dass die Folgen monoton wachsen oder fallen (diese Begriffe von Monotonie und Grenzwerten hatten wir noch nicht), sondern dass gilt:
[mm] (1+\frac{1}{n})^n \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} [/mm] und [mm] (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \le (1+\frac{1}{n})^{n+1}
[/mm]
Gruß
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Hallo nochmal,
> Sorry. Ich hatte mich etwas blöd in meinem Anfangstext
> ausgedrückt. Ich habe nicht gezeigt, dass die Folgen
> monoton wachsen oder fallen (diese Begriffe von Monotonie
> und Grenzwerten hatten wir noch nicht), sondern dass gilt:
>
> [mm](1+\frac{1}{n})^n \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/mm] und
> [mm](1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \le (1+\frac{1}{n})^{n+1}[/mm]
Gut. Das reicht doch trotzdem.
Nimm an, es gebe zwei verschiedene Grenzwerte, wie vorher: $e,e'$.
Also [mm] \lim()^n=e [/mm] und [mm] \lim()^{n+1}=e'.
[/mm]
Bin gerade schreibfaul, aber Du weißt,was ich meine...
Wenn Du den von mir genannten Grenzwert [mm] \lim(()^{n+1}-()^n)=0 [/mm] zeigen kannst, bist Du doch trotzdem fertig. Das kann ja nur sein, wenn $e=e'$ ist (Sandwich-Lemma).
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 11.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Danke :). Ich dachte nur, dass es vielleicht noch eine Möglichkeit gäbe den Beweis zu führen ohne Grenwertsätze zu verwenden. Aber ich machs jetzt einfach so.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 So 11.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> Danke :). Ich dachte nur, dass es vielleicht noch eine
> Möglichkeit gäbe den Beweis zu führen ohne
> Grenwertsätze zu verwenden.
So geht es doch ohne Grenzwertsätze!
> Aber ich machs jetzt einfach
> so.
Dann mal los.
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 So 11.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo reverend,
> Hallo,
>
> > Danke :). Ich dachte nur, dass es vielleicht noch eine
> > Möglichkeit gäbe den Beweis zu führen ohne
> > Grenwertsätze zu verwenden.
>
> So geht es doch ohne Grenzwertsätze!
Naja, nicht ganz. Immerhin benutzt du hier den einfachsten Grenzwertsatz den es wohl gibt:
[mm] \lim{a_n}+\lim{b_n}=\lim{(a_n+b_n)}
[/mm]
(ich bin auch ein bisschen schreibfaul, wegen [mm] n\to\{n_0})
[/mm]
>
> > Aber ich machs jetzt einfach
> > so.
>
> Dann mal los.
>
> lg
> rev
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mo 12.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Richie,
wir haben die Annahme [mm] a_n\le e\blue{<}e'\le b_n
[/mm]
[mm] \gdw\quad a_n-b_n\le e-b_n\blue{<}e'-b_n\le{0}
[/mm]
Wenn nun [mm] \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0 [/mm] ist, dann brauche ich hier keinen Grenzwertsatz mehr, oder?
Sauberer ist dennoch, auf [mm] (a_n-b_n) [/mm] das [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] anzuwenden, was letztlich auf Wolfgangs Vorgehen hinausläuft, weiter unten im Thread.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo reverend,
das stimmt natürlich. Ich habe deinen Gedankengang anders interpretiert.
Ich entschuldige mich.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass es höchstens eine Zahl e [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm](1+(1/n))^n \le[/mm] e [mm]\le (1+(1/n))^{n+1}[/mm]
> Hallo,
>
> bräuchte bitte einen kleinen Anstoß zu der Aufgabe. Ich
> habe bereits gezeigt, dass die Folge [mm]f_n=(1+(1/n))^n[/mm]
> monoton anwächst und dass die Folge [mm]k_n=(1+(1/n))^{n+1}[/mm]
> monoton fällt.
>
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben höchstens einen
> Wert e gibt, so dass obige Bedingung erfüllt ist.
> Üblicherweise nimmt man bei so einem Beweis ja an, dass es
> zwei Zahlen gibt die die Bedingung erfüllen und zeigt
> dann, dass die beiden Zahlen gleich sind. Nur komme ich
> dabei nicht so recht voran.
>
> Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz liefern
> könnte.
>
> Gruß
>
>
Mein Vorschlag: Zeige zunächst, dass [mm] (f_n) [/mm] beschränkt ist. Es gibt also ein c>0 mit [mm] f_1 \le f_n \le [/mm] c für alle n.
Dann zeige:
0 [mm] \le k_n-f_n [/mm] = [mm] \bruch{f_n}{n}
[/mm]
Also: 0 [mm] \le k_n-f_n [/mm] = [mm] \bruch{c}{n} [/mm] für alle n.
Vergiss Herrn Archimedes nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 11.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Hallo,
hätte ich dann nicht nur gezeigt, dass es überhaupt eine solche Zahl e gibt? Was ist mit der Eindeutigkeit der Zahl?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> hätte ich dann nicht nur gezeigt, dass es überhaupt eine
> solche Zahl e gibt? Was ist mit der Eindeutigkeit der
> Zahl?
Also gut: wir nehmen an, es gäbe a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a<b und [mm] f_n \le [/mm] a<b [mm] \le k_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann wäre 0<b-a [mm] \le k_n-f_n \le [/mm] c/n für alle .
Es würde folgen: n [mm] \le \bruch{c}{b-a} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Da hat aber Herr Arcimedes gewaltig was dagegen !
FRED
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 So 11.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Vielen Dank! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zeige, dass es höchstens eine Zahl e [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm](1+(1/n))^n \le[/mm] e [mm]\le (1+(1/n))^{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo,
>
>
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass es eben höchstens einen
> Wert e gibt, so dass obige Bedingung erfüllt ist.
> Üblicherweise nimmt man bei so einem Beweis ja an, dass es
> zwei Zahlen gibt die die Bedingung erfüllen und zeigt
> dann, dass die beiden Zahlen gleich sind. Nur komme ich
> dabei nicht so recht voran.
>
> Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz liefern
> könnte.
Einen Widerspruchsbeweis anzugehen ist schon mal eine gute Idee.
Nimm also an, es gäbe zwei verschiedene Zahlen $a$ und $b$, $a<b$, so daß
$\left(1+\frac 1 n\right)^n \le a < b \le \left(1+\frac 1 n\right)^{n+1}$ für alle $n\in \IN$.
Dann ist
$\left(1+\frac 1 n\right)^{n+1}- \left(1+\frac 1 n\right)^{n} \ge b-a\,.$
Jetzt kannst Du $\left(1+\frac 1 n\right)^{n$ auf der linken Seite ausklammern und ein $n$ finden, das die Ungleichung verletzt.
Versuch es mal!
Gruß,
Wolfgang
PS. Hierzu brauchst Du keine Grenzwertsätze. Die könnten wir auch gar nicht anwenden, da wir nicht wissen, ob die Folgen konvergieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 So 11.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Ich danke dir :).
Gruß
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