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| Aufgabe | sei h(x) eine positive wachsende funktion. Dann gilt
[mm] h(c)\IP[X\ge c]\le \mathbbm{E}[h(X)] [/mm] |
Guten Tag allerseits,
Im Beweis steht, dass [mm] h(c)\mathbbm{1}_{X\ge c}\le [/mm] h(X) ist (das ist mir auch klar)
Wenn man den Erwartungswert nimmt, so folgt die Aussage ...
Mein Problem ist, weswegen denn [mm] \mathbbm{E}[\mathbbm{1}_{X\ge c}]=\IP[X\ge [/mm] c] ist? Kann mir das vielleicht einer von euch erklären?
Besten Gruß,
Alex
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Guten Tag,
ich glaub dazu braucht man nur die Definitonen, d.h. [mm] A:=\{X\geq c\}
[/mm]
[mm] P(A)=\int \I1_A dP=\int id\circ\I1_A dP=E(\I1_A).
[/mm]
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Also diese Definition kenne ich so nicht ...
wir haben [mm] F_X(x) [/mm] := [mm] \IP[X\le [/mm] x] bzw. [mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(z) dz}
[/mm]
Der Erwartungswert lautet [mm] \mathbbm{E}[X]=\integral_{-\infty}^{\infty}{x f(x) dx}
[/mm]
Wahrscheinlich ist es total simpel, aber irgendwie bekomme ich den Zusammenhang gerade nicht hin ...
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ich glaube ich hab es, aber es wäre noch nett, wenn das jemand bestätigen könnte:
[mm] \mathbbm{E}[\mathbbm{1}_{X\le c}]=\mathbbm{E}[1\cdot\mathbbm{1}_{X\le c}]=\integral_{-\infty}^{c}{1\cdot f(x) dx}=F_X(c)=\IP[X\le$c$]
[/mm]
und analog
[mm] \mathbbm{E}[\mathbbm{1}_{X\ge c}]=\mathbbm{E}[1\cdot\mathbbm{1}_{X\ge c}]=\integral_{c}^{\infty}{1\cdot f(x) dx}=\IP[X\ge$c$]?
[/mm]
Argh ... jetzt bin ich dann doch wieder unsicher, ob das so stimmen kann. Ich glaube, dass mein Problem darin liegt, was überhaupt unter [mm] \mathbbm{1}_{X\le c} [/mm] verstanden wird
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Quadratur,
das ist genau der Zusammenhang und damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der größer als das vorgegebene c ist.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
siehe weiter unten im Thread nach, die Antwort hast du Dir schon selbst gegeben.
Viele Grüße,
Infinit
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