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Forum "Zahlentheorie" - Euklidischer Algorithmus-Ringe
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Euklidischer Algorithmus-Ringe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:18 So 19.10.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Ich habe da vier Fragen, die aufgetaucht sind beim lernen ;)

1)Seien a,b und d positive natürliche Zahlen. Wenn d|a, d|b - wieso folgt dann d|ggT(a,b)?

2)
Definition:
Seien zwei Elemente a und b eines kommutativen RInges R mit Einselement gegeben.
(i) Wir sagen, dass d [mm] \in [/mm] R ein gemeinsamer Teiler von a und b ist, falls d|a und d|b gelten.
(ii) Ein gemeinsamer Teiler d heißt ein größter gemeinsamer Teiler oder ggT von a und b, falls für alle anderen gemeinsamen teiler c von a und b folgt c|d.
(iii) Für je zwei a und b sind die Elemente von [mm] R^{\*}(=Einheiten [/mm] von R) immer gemeinsame Teiler. Sind das die einzigen gemeinsamen Teiler von a und b, so nennen wir a und b relativ prim.

3) Den euklidischen Algorithmus kann man ja auch in Ringen anwenden, jedoch braucht man dazu eine Bewertungsfunktion| |: [mm] \IR [/mm] -> IN (da ja die Ordnungsrelation < z.B. in [mm] \IZ [/mm] nicht funktioniert) und einen Integritätsbereich.
Woher weiß ich was ich verlangen muss von der Bewertungsfunktion? Wir definieren hier den euklidischen Ring:
Ein Integritätsbereich R heißt euklidischer Ring, falls eine euklidische Funktion ||: R -> [mm] \IN [/mm] existiert mit
(i) |0|=0
(ii) |xy| [mm] \ge [/mm] |x| für 0 [mm] \not= [/mm] x,y [mm] \in [/mm] R
(iii) für a,b [mm] \in [/mm] R mit b [mm] \not=0 [/mm] gibt es ein d und r in R mit a=db + r und r=0 oder |r| < |b|

Eukldiische Algorithmus in eukldischen Ringen:
Seien a, b zwei Elemente ungleich 0 eines eukldischen Ringes R. Wir definieren rekursiv eine Folge:
[mm] g_0=a [/mm]
[mm] g_1 [/mm] =b
[mm] g_{n-1}= q_n g_n [/mm] + [mm] g_{n+1} [/mm]
wobei wir [mm] q_n [/mm] und [mm] g_{n+1} [/mm] durch Division von [mm] g_{n-1} [/mm] und [mm] g_n [/mm] mit Rest bestimmen. Die Rekursion bricht nach endlich vielen Schritten ab, d.h. es gibt es kleinsten m mit [mm] g_{m+1} [/mm] =0. Dann gilt ggT(a,b)= [mm] g_m. [/mm]


4)
Beim Vereinfachen des euklidischen Algorithmus in Ringen steht folgendes im Buch:

"Es ist auch(um die Rechnung zu vereinfachen) noch wichtig zu beobachten, dass wir im euklidischen Algorithmus die Elemente [mm] g_n [/mm] durch [mm] u_n g_n [/mm] ersetz können für beliebige Einheiten [mm] u_n [/mm] ohne die Eigenschaft zu verliegen, dass das Endergebnis ein größter gemeinsamer Teiler ist."

Hallo zusammen,

1) Diesen Schritt brauche ich nämlich beim Beweis, dass  es m,n [mm] \in \IZ [/mm] gibt mit ggT(a,b)=ma + nb
Also das darf ich dann natürliche beim Beweis für Aussage 1) nicht verwenden.
m= $ [mm] \prod_{j=1}^M p_j^{k_j} [/mm] $
n= $ [mm] \prod_{i=1}^M p_i^{l_i} [/mm] $
ggT(m,n)= $ [mm] \prod_{i=1}^M p_i^{min(k_i, l_i)} [/mm] $
d|a : [mm] \exists [/mm] g [mm] \in \IZ [/mm] :a*g = a
d|b : [mm] \exists [/mm] h [mm] \in \IZ [/mm] :a*h = b

2) Ich weiß Definitionen muss man schlucken, aber ich kann mit (iii) gar nichts anfangen. Wieso sollen die Einheiten eines Ringes immer Teiler von den Elementen des Ringes sein??

3) Es ist klar, dass wir den Punkt (iii) brauchen so dass wir den euklidischen Algorithmus im Ring durchführen können. Aber woher kommen die Punkte (i) und (ii)?
Hat das was damit zu tun, dass wir sicherstellen, dass die Rekursion nach endlich vielen Schritten abbricht?

4) Hier verstehe ich den Punkt mit den Einheiten nicht, warum kann man die weglassen?


Würd mich freuen über Austausch ;)
LG,
sissi

        
Bezug
Euklidischer Algorithmus-Ringe: 1. Frage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 19.10.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissi,

> Ich habe da vier Fragen, die aufgetaucht sind beim lernen
> ;)
>  
> 1)Seien a,b und d positive natürliche Zahlen. Wenn d|a,
> d|b - wieso folgt dann d|ggT(a,b)?

Du selbst hast ergänzt:

> 2)
>  Definition:
>  Seien zwei Elemente a und b eines kommutativen RInges R
> mit Einselement gegeben.
>  (i) Wir sagen, dass d [mm]\in[/mm] R ein gemeinsamer Teiler von a
> und b ist, falls d|a und d|b gelten.
>  (ii) Ein gemeinsamer Teiler d heißt ein größter
> gemeinsamer Teiler oder ggT von a und b, falls für alle
> anderen gemeinsamen teiler c von a und b folgt c|d.

und da steht doch die Antwort in der Definition:
Da $d | [mm] a\,$ [/mm] und $d | [mm] b\,$ [/mm] gilt, ist [mm] $d\,$ [/mm] ein gemeinsamer Teiler von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,.$ [/mm]
Per Definitionem von [mm] $\ggT(a,b)$ [/mm] gilt somit sofort $d [mm] |\ggT(a,b)\,.$ [/mm]

(Übrigens ist die Eindeutigkeit hier durch die Positivität der Zahlen gegeben,
siehe die folgende Anmerkung bzgl. des Rings der ganzen Zahlen!)

Und nur eine Anmerkung: Man schreibt auch im Ring der ganzen Zahlen
zwar

    $d [mm] \red{\,=\,}\ggT(a,b),$ [/mm]

aber das ist dort nur eine "Gleichheit bis auf Assoziiertheit".

So gilt in diesem Falle etwa

    [mm] $\ggT(9,12)=3\,,$ [/mm]

richtig wäre aber auch

    [mm] $\ggT(9,12)=-3\,.$ [/mm]

Die Einheiten sind halt [mm] $\pm 1\,.$ [/mm]

Wenn Du magst, so kannst Du Dich auch mal mit

    [mm] $\IZ[i]:=\IZ+i\cdot \IZ:=\{x+i*y \mid x,y \in \IZ\}$ [/mm]

befassen und Dir überlegen, was da die Einheiten sind.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Euklidischer Algorithmus-Ringe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:02 Mo 20.10.2014
Autor: sissile

Hallo Marcel,

> > 1)Seien a,b und d positive natürliche Zahlen. Wenn d|a,
> > d|b - wieso folgt dann d|ggT(a,b)?
>  
> Du selbst hast ergänzt:
>  
> > 2)
>  >  Definition:
>  >  Seien zwei Elemente a und b eines kommutativen RInges R
> > mit Einselement gegeben.
>  >  (i) Wir sagen, dass d [mm]\in[/mm] R ein gemeinsamer Teiler von
> a
> > und b ist, falls d|a und d|b gelten.
>  >  (ii) Ein gemeinsamer Teiler d heißt ein größter
> > gemeinsamer Teiler oder ggT von a und b, falls für alle
> > anderen gemeinsamen teiler c von a und b folgt c|d.
>  
> und da steht doch die Antwort in der Definition:
>  Da [mm]d | a\,[/mm] und [mm]d | b\,[/mm] gilt, ist [mm]d\,[/mm] ein gemeinsamer
> Teiler von [mm]a\,[/mm] und [mm]b\,.[/mm]
>  Per Definitionem von [mm]\ggT(a,b)[/mm] gilt somit sofort [mm]d |\ggT(a,b)\,.[/mm]

Ja das stimmt, aber wir hatten ja ggT zuvor definiert nur in [mm] \IN [/mm] bevor wir uns überhaupt mit Ringen befasst haben - deshalb hat man die Aussage schon davor gebraucht.
Deshalb war ich eigentlich auf einen Beweis aus, wo ich mit der Definition in [mm] \IN [/mm] arbeite - wo ggT definiert wird als Teiler von m,n und jeder andere Teiler s, der m und n teilt ist kleiner als ggT(m,n).
Vlt. hast du da nochmal einen Tipp ;)

> Wenn Du magst, so kannst Du Dich auch mal mit

>    $ [mm] \IZ[i]:=\IZ+i\cdot \IZ:=\{x+i\cdot{}y \mid x,y \in \IZ\} [/mm] $

> befassen und Dir überlegen, was da die Einheiten sind.

Ich hatte schonmal das Bsp, wo ich zeigen musste, das gilt:
[mm] (\IZ[i])^{\*} [/mm] = [mm] \{i,-i,1,-1\}. [/mm]
Also genau die wo die Norm [mm] N(z)=N(a+ib)=a^2+b^2=1 [/mm] ist.
Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Euklidischer Algorithmus-Ringe: zur 2. Frage und Rückfrage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 So 19.10.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissi,

> Ich habe da vier Fragen, die aufgetaucht sind beim lernen
> ;)
>  
> 1)Seien a,b und d positive natürliche Zahlen. Wenn d|a,
> d|b - wieso folgt dann d|ggT(a,b)?
>  
> 2)
>  Definition:
>  Seien zwei Elemente a und b eines kommutativen RInges R
> mit Einselement gegeben.
>  (i) Wir sagen, dass d [mm]\in[/mm] R ein gemeinsamer Teiler von a
> und b ist, falls d|a und d|b gelten.
>  (ii) Ein gemeinsamer Teiler d heißt ein größter
> gemeinsamer Teiler oder ggT von a und b, falls für alle
> anderen gemeinsamen teiler c von a und b folgt c|d.
>  (iii) Für je zwei a und b sind die Elemente von
> [mm]R^{\*}(=Einheiten[/mm] von R) immer gemeinsame Teiler. Sind das
> die einzigen gemeinsamen Teiler von a und b, so nennen wir
> a und b relativ prim.
>  
> 3) Den euklidischen Algorithmus kann man ja auch in Ringen
> anwenden, jedoch braucht man dazu eine Bewertungsfunktion|

Rückfrage: Nennt ihr vielleicht einfach das, was Du unten als euklidische
Funktion bezeichnest, Bewertungsfunktion? Ich kenne den Begriff der
"Norm-Funktion" (siehe 'Elementare und algebraische Zahlentheorie von
Müller-Stach, Piontkowski'). Vielleicht sind diese Definitionen äquivalent?

> |: [mm]\IR[/mm] -> IN (da ja die Ordnungsrelation < z.B. in [mm]\IZ[/mm]
> nicht funktioniert) und einen Integritätsbereich.
>  Woher weiß ich was ich verlangen muss von der
> Bewertungsfunktion? Wir definieren hier den euklidischen
> Ring:
>  Ein Integritätsbereich R heißt euklidischer Ring, falls
> eine euklidische Funktion ||: R -> [mm]\IN[/mm] existiert mit
>  (i) |0|=0
>  (ii) |xy| [mm]\ge[/mm] |x| für 0 [mm]\not=[/mm] x,y [mm]\in[/mm] R
>  (iii) für a,b [mm]\in[/mm] R mit b [mm]\not=0[/mm] gibt es ein d und r in R
> mit a=db + r und r=0 oder |r| < |b|

Da stehen jedenfalls doch zu erfüllende Bedingungen an die euklidische
Funktion?!
  

> Eukldiische Algorithmus in eukldischen Ringen:
>  Seien a, b zwei Elemente ungleich 0 eines eukldischen
> Ringes R. Wir definieren rekursiv eine Folge:
>  [mm]g_0=a[/mm]
>  [mm]g_1[/mm] =b
>  [mm]g_{n-1}= q_n g_n[/mm] + [mm]g_{n+1}[/mm]
>  wobei wir [mm]q_n[/mm] und [mm]g_{n+1}[/mm] durch Division von [mm]g_{n-1}[/mm] und
> [mm]g_n[/mm] mit Rest bestimmen. Die Rekursion bricht nach endlich
> vielen Schritten ab, d.h. es gibt es kleinsten m mit
> [mm]g_{m+1}[/mm] =0. Dann gilt ggT(a,b)= [mm]g_m.[/mm]
>  
>
> 4)
>  Beim Vereinfachen des euklidischen Algorithmus in Ringen
> steht folgendes im Buch:
>  
> "Es ist auch(um die Rechnung zu vereinfachen) noch wichtig
> zu beobachten, dass wir im euklidischen Algorithmus die
> Elemente [mm]g_n[/mm] durch [mm]u_n g_n[/mm] ersetz können für beliebige
> Einheiten [mm]u_n[/mm] ohne die Eigenschaft zu verliegen, dass das
> Endergebnis ein größter gemeinsamer Teiler ist."
>  Hallo zusammen,
>  
> 1) Diesen Schritt brauche ich nämlich beim Beweis, dass  
> es m,n [mm]\in \IZ[/mm] gibt mit ggT(a,b)=ma + nb
>  Also das darf ich dann natürliche beim Beweis für
> Aussage 1) nicht verwenden.
>  m= [mm]\prod_{j=1}^M p_j^{k_j}[/mm]
>  n= [mm]\prod_{i=1}^M p_i^{l_i}[/mm]
>  
> ggT(m,n)= [mm]\prod_{i=1}^M p_i^{min(k_i, l_i)}[/mm]
> d|a : [mm]\exists[/mm] g [mm]\in \IZ[/mm] :a*g = a
>  d|b : [mm]\exists[/mm] h [mm]\in \IZ[/mm] :a*h = b
>  
> 2) Ich weiß Definitionen muss man schlucken, aber ich kann
> mit (iii) gar nichts anfangen. Wieso sollen die Einheiten
> eines Ringes immer Teiler von den Elementen des Ringes
> sein??

Du kannst auch, ich hoffe, dass bei Euch Ringe halt Ringe mit einem
Einselement sind, sagen:
Die Einheiten sind genau die Teiler der 1.
  
Nebenbei: Kennst Du Dich ein wenig in Algebra aus? Ich habe z.B. das
Buch 'Algebra von Meyberg, Karpfinger', dort wird definiert:
"Jede Halbgruppe [mm] $H\,$ [/mm] mit neutralem Element besitzt eine besonders wichtige,
nichtleere Unterhalbgruppe: die Menge [mm] $H^\times$ [/mm] der invertierbaren Elemente."

Was hat das mit den Einheiten des Ringes zu tun? Naja, der Ring ist ein
Tripel [mm] $(R,+,\;\cdot)\,.$ [/mm] Dabei ist $(R, [mm] \cdot)$ [/mm] insbesondere auch eine Halbgruppe
(d.h. es gilt Assoziativität und Abgeschlossenheit bzgl. [mm] $\cdot$), [/mm]  dessen neutrales Element
wir mit [mm] $1:=1_R$ [/mm] bezeichnen.

[mm] $R^\times$ [/mm] ist also die Menge der "multiplikativ invertierbaren Elemente".
(Ist Dir übrigens klar, wieso oben steht, dass das eine Unterhalbgruppe ist?
Nebenbei: Ist [mm] $(H,\circ)$ [/mm] eine Halbgruppe mit neutralem Element und ist $a [mm] \in H^{\times},$ [/mm]
so folgt [mm] $a^{-1} \in H^{\times}.$ [/mm] Beachte: Aus $a [mm] \in H^\times$ [/mm] folgt ja sofort,
dass es ein zu [mm] $a\,$ [/mm] inverses Element $b [mm] \in [/mm] H$ gibt, also eines, welches, wenn
$e [mm] \in [/mm] H$ das neutrale Element in [mm] $H\,$ [/mm] ist, dann [mm] $a\circ b=e=b\circ a\,$ [/mm] erfüllt. Dadurch,
dass hier "links- und rechtsinvertierbar" steht, und auch, weil das neutrale Element
als "links- und rechtsneutral gefordert" wird, eindeutig ist, ist auch ein zu [mm] $a\,$ [/mm]
inverses Element eindeutig, es macht also Sinn, von DEM inversen zu reden.
Falls also [mm] $b\in [/mm] H$ das zu [mm] $a\,$ [/mm] inverse (Element) ist, dann schreiben wir, wie
üblich, auch [mm] $a^{-1}:=b\,.$) [/mm]

Und zum Begriff "relativ prim":
Zwei Elemente [mm] $a,b\,$ [/mm] eines Rings heißen genau dann relativ prim, wenn gilt:
Ist [mm] $d\,$ [/mm] irgendein Ringelement mit

    [mm] $d|a\,$ [/mm] und [mm] $d|b\,,$ [/mm]

so muss [mm] $d\,$ [/mm] schon eine Einheit sein.

Schauen wir uns diesen Begriff mal im Ring [mm] $(\IZ,+,\cdot)$ [/mm] an:
Hier ist

    [mm] $\IZ^\times=\{-1,\;+1\}\,.$ [/mm]
(Allg..: Es wird immer [mm] $1_R \in R^\times$ [/mm] sein - wieso? Oben siehst Du insbesondere:
[mm] $1=1_{\IZ} \in \IZ^\times.$) [/mm]

Beweis?

Weiter gilt etwa:

    [mm] $9\,$ [/mm] und [mm] $12\,$ [/mm] sind NICHT relativ prim.

Denn:

    $3 | [mm] 9\,$ [/mm] und $3 | [mm] 12\,,$ [/mm] aber $3 [mm] \notin \IZ^\times.$ [/mm]

Zudem gilt etwa

    [mm] $8\,$ [/mm] und [mm] $15\,$ [/mm] sind relativ prim.

Beweis: Sei [mm] $d\,$ [/mm] ein Teiler sowohl von [mm] $8\,$ [/mm] als auch von [mm] $15\,.$ [/mm] Dann gibt es
wegen "der" (eigentlich sollte man *einer* schreiben) Primfaktorzerlegung von
[mm] $8\,$ [/mm] und [mm] $15\,$ [/mm] ein primes Element in [mm] $(\IZ,+,\cdot),$ [/mm] dass sowohl $8=2*2*2$ als
auch [mm] $15=3*5\,$ [/mm] teilt. Da Primfaktorzerlegungen bis auf Assoziiertheit eindeutig
sind, wir aber oben i.W. "die" Primfaktorzerlegung von [mm] $8\,$ [/mm] und [mm] $15\,$ [/mm] hingeschrieben
haben, kann das aber nicht sein.
Daraus folgt, dass [mm] $d\,$ [/mm] keinen Primteiler haben kann, also...?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Euklidischer Algorithmus-Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Mo 20.10.2014
Autor: sissile

Hallo Marcel,
> Rückfrage: Nennt ihr vielleicht einfach das, was Du unten
> als euklidische
>  Funktion bezeichnest, Bewertungsfunktion? Ich kenne den
> Begriff der
>  "Norm-Funktion" (siehe 'Elementare und algebraische
> Zahlentheorie von
>  Müller-Stach, Piontkowski'). Vielleicht sind diese
> Definitionen äquivalent?

Ja, mit Bewertungsfunktion oder euklidische Funktion ist das selbe gemeint.

> $ [mm] R^\times [/mm] $ ist also die Menge der "multiplikativ invertierbaren Elemente".
> (Ist Dir übrigens klar, wieso oben steht, dass das eine Unterhalbgruppe ist?

Gilt das nicht nur in kommutativen Gruppen?
Sie ist nie leer, da das Einselement drinnen liegt.
Angenommen a,b [mm] \in H^{\times} [/mm] => [mm] \exists [/mm] c,d [mm] \in [/mm] H : [mm] a\circ [/mm] c = b [mm] \circ [/mm] d = 1 => [mm] (a\circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (c [mm] \circ [/mm] d) = (a [mm] \circ [/mm] c) [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] d) = 1 [mm] \circ [/mm] 1= 1 => a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in H^{\times} [/mm]
1 [mm] \in H^{\times} [/mm] da 1 [mm] \circ [/mm] 1 =1
Wenn a [mm] \in H^{\times} [/mm] ist klar, dass [mm] a^{-1} [/mm] auch [mm] \in H^{\times} [/mm]


> (Allg..: Es wird immer $ [mm] 1_R \in R^\times [/mm] $ sein - wieso? Oben siehst Du insbesondere:

$ [mm] 1=1_{\IZ} \in \IZ^\times. [/mm] $)

> Beweis?

Naja nach Ringaxiom: [mm] \exists [/mm] 1 [mm] \in [/mm] R: [mm] 1\not= [/mm] 0 [mm] \wedge \forall [/mm] a [mm] \in R\setminus \{0\}: [/mm] a1 =a = 1 a
Wenn ich a=1 setze: 1*1=1
=> Das Einselement ist imemr zu sich selbst invers.

> Zudem gilt etwa

>    $ [mm] 8\, [/mm] $ und $ [mm] 15\, [/mm] $ sind relativ prim.

> Beweis : Sei $ [mm] d\, [/mm] $ ein Teiler sowohl von $ [mm] 8\, [/mm] $ als auch von $ [mm] 15\,. [/mm] $ Dann gibt es
> wegen "der" (eigentlich sollte man *einer* schreiben) Primfaktorzerlegung von
> $ [mm] 8\, [/mm] $ und $ [mm] 15\, [/mm] $ ein primes Element in $ [mm] (\IZ,+,\cdot), [/mm] $ dass sowohl $ > [mm] 8=2\cdot{}2\cdot{}2 [/mm] $ als
> auch $ [mm] 15=3\cdot{}5\, [/mm] $ teilt. Da Primfaktorzerlegungen bis auf Assoziiertheit eindeutig
> sind, wir aber oben i.W. "die" Primfaktorzerlegung von $ [mm] 8\, [/mm] $ und $ [mm] 15\, [/mm] $ > hingeschrieben
> haben, kann das aber nicht sein.
> Daraus folgt, dass $ [mm] d\, [/mm] $ keinen Primteiler haben kann, also...?

Langsam ;)
Primes Element haben wir so definiert in einen kommutativen Ring mit Einselement. Falls a [mm] \not\in R^{\*} [/mm] und a [mm] \not=0 [/mm] und für alle r,s [mm] \in [/mm] R gilt, dass:
a|rs => a|r [mm] \vee [/mm] a|s

d|8 [mm] \wedge [/mm] d|15
[mm] =>\exists 0\not=b \in \IZ, 0\not=c \in \IZ [/mm] mit d*b=8, d*c=15
Primfaktorzerlegungen: [mm] 8=2\cdot{}2\cdot{}2 ,15=3\cdot{}5 [/mm]
Ich versteh nicht ganz wie du nun das prime Element ins Spiel bringst.


LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Euklidischer Algorithmus-Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mo 20.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  > Rückfrage: Nennt ihr vielleicht einfach das, was Du

> unten
> > als euklidische
>  >  Funktion bezeichnest, Bewertungsfunktion? Ich kenne den
> > Begriff der
>  >  "Norm-Funktion" (siehe 'Elementare und algebraische
> > Zahlentheorie von
>  >  Müller-Stach, Piontkowski'). Vielleicht sind diese
> > Definitionen äquivalent?
>  
> Ja, mit Bewertungsfunktion oder euklidische Funktion ist
> das selbe gemeint.
>  
> > [mm]R^\times[/mm] ist also die Menge der "multiplikativ
> invertierbaren Elemente".
>  > (Ist Dir übrigens klar, wieso oben steht, dass das eine

> Unterhalbgruppe ist?
> Gilt das nicht nur in kommutativen Gruppen?

ich denke, das hängt davon ab, wie man "invertierbar" definiert, nämlich
hier, dass es sowohl links- als auch rechtsinverse gibt.

>  Sie ist nie leer, da das Einselement drinnen liegt.
>   Angenommen a,b [mm]\in H^{\times}[/mm] => [mm]\exists[/mm] c,d [mm]\in[/mm] H :

> [mm]a\circ[/mm] c = b [mm]\circ[/mm] d = 1 => [mm](a\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] (c [mm]\circ[/mm] d) =
> (a [mm]\circ[/mm] c) [mm]\circ[/mm] (b [mm]\circ[/mm] d) = 1 [mm]\circ[/mm] 1= 1 => a [mm]\circ[/mm] b
> [mm]\in H^{\times}[/mm]
>  1 [mm]\in H^{\times}[/mm] da 1 [mm]\circ[/mm] 1 =1
>  Wenn a [mm]\in H^{\times}[/mm] ist klar, dass [mm]a^{-1}[/mm] auch [mm]\in H^{\times}[/mm]
>  
>
> > (Allg..: Es wird immer [mm]1_R \in R^\times[/mm] sein - wieso? Oben
> siehst Du insbesondere:
>  [mm]1=1_{\IZ} \in \IZ^\times. [/mm])
>  > Beweis?

> Naja nach Ringaxiom: [mm]\exists[/mm] 1 [mm]\in[/mm] R: [mm]1\not=[/mm] 0 [mm]\wedge \forall[/mm]
> a [mm]\in R\setminus \{0\}:[/mm] a1 =a = 1 a
>  Wenn ich a=1 setze: 1*1=1
>  => Das Einselement ist imemr zu sich selbst invers.

>  
> > Zudem gilt etwa
>  
> >    [mm]8\,[/mm] und [mm]15\,[/mm] sind relativ prim.

>  
> > Beweis : Sei [mm]d\,[/mm] ein Teiler sowohl von [mm]8\,[/mm] als auch von
> [mm]15\,.[/mm] Dann gibt es
>  > wegen "der" (eigentlich sollte man *einer* schreiben)

> Primfaktorzerlegung von
>  > [mm]8\,[/mm] und [mm]15\,[/mm] ein primes Element in [mm](\IZ,+,\cdot),[/mm] dass

> sowohl [mm]> 8=2\cdot{}2\cdot{}2[/mm] als
>  > auch [mm]15=3\cdot{}5\,[/mm] teilt. Da Primfaktorzerlegungen bis

> auf Assoziiertheit eindeutig
>  > sind, wir aber oben i.W. "die" Primfaktorzerlegung von

> [mm]8\,[/mm] und [mm]15\,[/mm] > hingeschrieben
>  > haben, kann das aber nicht sein.

>  > Daraus folgt, dass [mm]d\,[/mm] keinen Primteiler haben kann,

> also...?
> Langsam ;)
>  Primes Element haben wir so definiert in einen
> kommutativen Ring mit Einselement. Falls a [mm]\not\in R^{\*}[/mm]
> und a [mm]\not=0[/mm] und für alle r,s [mm]\in[/mm] R gilt, dass:
>  a|rs => a|r [mm]\vee[/mm] a|s

Na, [mm] $(\IZ,+,\cdot)$ [/mm] ist sogar ein faktorieller Ring, dort sind genau die
irreduziblen Elemente prim.
  

> d|8 [mm]\wedge[/mm] d|15
>  [mm]=>\exists 0\not=b \in \IZ, 0\not=c \in \IZ[/mm] mit d*b=8,
> d*c=15
>  Primfaktorzerlegungen: [mm]8=2\cdot{}2\cdot{}2 ,15=3\cdot{}5[/mm]
>  
> Ich versteh nicht ganz wie du nun das prime Element ins Spiel bringst.

Na, überlege Dir mal, dass eine Zahl $z [mm] \in \IZ$ [/mm] genau dann prim ist, wenn es
KEINE Primzahl $p [mm] \in \IP$ [/mm] gibt mit $p [mm] \mid z\,.$ [/mm]

Und dass [mm] $8\,$ [/mm] und [mm] $15\,$ [/mm] keine gemeinsame Zahl $p [mm] \in \IP$ [/mm] als Teiler haben,
folgt, weil in

    [mm] $8=2*2*2\,$ [/mm] und [mm] $15=3*5\,$ [/mm]

ersichtlich ist, dass in der Primfaktorzerlegung rechterhand keine *gleichen*
Primzahlen stehen - wenn wir mit "primen Elementen" argumentieren
wollten, würden wir sagen:
Dass es keine assoziierten prime Elemente gibt.
[mm] ($2\,$ [/mm] ist weder assoziiert zu [mm] $3\,$ [/mm] noch zu [mm] $5\,.$) [/mm]

Gruß,
  Marcel

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Euklidischer Algorithmus-Ringe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Di 21.10.2014
Autor: matux

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