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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Existenz der Ableitung
Existenz der Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Existenz der Ableitung: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 So 17.02.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Betrachten wir die Funktion [mm] f(x_1, x_2) [/mm] = [mm] \bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2} [/mm] an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = (0,0). Sie ist unstetig bei [mm] x_0 [/mm] = (0,0), aber wegen [mm] f(x_1, [/mm] 0) = f(0, [mm] x_2) [/mm] = 0 existiert sowohl [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1} [/mm] (0,0) = 0 als auch [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2} [/mm] (0,0) = 0.


Kann mir jemand helfen, diese Aussage zu verstehen. Es ist doch:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x_2^3 - x_1^2x_2}{(x_1^2 + x_2^2)^2} [/mm]

Das ist doch für x = (0,0) genau so wenig definiert wie [mm] f(x_1, x_2) [/mm] = [mm] \bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2}. [/mm] Wieso gilt dann angeblich [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1} [/mm] (0,0) = 0 bzw. [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2} [/mm] (0,0) = 0?


Was soll ich von dieser Ausführung nun halten?

        
Bezug
Existenz der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 So 17.02.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du hast völlig recht.
Schon der erste Satz:

> Betrachten wir die Funktion [mm]f(x_1, x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2}[/mm]
> an der Stelle [mm]x_0[/mm] = (0,0)

macht gar keinen Sinn,  da die Funktion an der Stelle gar nicht definiert ist. Ist das die vollständige Aufgabenstellung oder unterschlägst du uns den Funktionswert einfach?

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Existenz der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 So 17.02.2019
Autor: fred97


> Betrachten wir die Funktion [mm]f(x_1, x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2}[/mm]
> an der Stelle [mm]x_0[/mm] = (0,0). Sie ist unstetig bei [mm]x_0[/mm] =
> (0,0), aber wegen [mm]f(x_1,[/mm] 0) = f(0, [mm]x_2)[/mm] = 0 existiert
> sowohl [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}[/mm] (0,0) = 0 als auch
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2}[/mm] (0,0) = 0.
>  Kann mir jemand helfen, diese Aussage zu verstehen. Es ist
> doch:
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{x_2^3 - x_1^2x_2}{(x_1^2 + x_2^2)^2}[/mm]
>  
> Das ist doch für x = (0,0) genau so wenig definiert wie
> [mm]f(x_1, x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2}.[/mm] Wieso gilt
> dann angeblich [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}[/mm] (0,0) = 0
> bzw. [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2}[/mm] (0,0) = 0?


Ich vermute, dass die Definition f(0,0):=0 oben vergessen wurde.




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Existenz der Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mo 18.02.2019
Autor: sancho1980


> Ich vermute, dass die Definition f(0,0):=0 oben vergessen
> wurde.

Mitnichten! Nachzulesen []hier auf Seite 167. Ich zitiere mal mit ein Bisschen mehr Kontext:

"Mehr noch: Es gibt sogar Funktionen, für die die partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren, die in diesem Punkt aber nicht einmal stetig sind (von einer Tangentialebene kann dann gleich gar keine Rede sein, denn wo sollte man sie auch ankleben?)!

Ein Beispiel dazu: Betrachten wir nochmals die Funktion [mm] f(x_1, x_2) [/mm] = [mm] \bruch{x_1x_2}{x_1^2 + x_2^2} [/mm] aus Beispiel 23.8 an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = (0,0). Sie ist unstetig bei [mm] x_0 [/mm] = (0,0), aber wegen [mm] f(x_1, [/mm] 0) = f(0, [mm] x_2) [/mm] = 0 existiert sowohl [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1}(0,0) [/mm] = 0 als auch [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2}(0,0) [/mm] = 0."

Bezug
                        
Bezug
Existenz der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:48 Mo 18.02.2019
Autor: fred97


> > Ich vermute, dass die Definition f(0,0):=0 oben vergessen
> > wurde.
>  
> Mitnichten!

und mit Neffen?


> Nachzulesen
> []hier auf
> Seite 167. Ich zitiere mal mit ein Bisschen mehr Kontext:
>  
> "Mehr noch: Es gibt sogar Funktionen, für die die
> partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren, die in
> diesem Punkt aber nicht einmal stetig sind (von einer
> Tangentialebene kann dann gleich gar keine Rede sein, denn
> wo sollte man sie auch ankleben?)!
>  
> Ein Beispiel dazu: Betrachten wir nochmals die Funktion
> [mm]f(x_1, x_2)[/mm] = [mm]\bruch{x_1x_2}{x_1^2 + x_2^2}[/mm] aus Beispiel
> 23.8 an der Stelle [mm]x_0[/mm] = (0,0). Sie ist unstetig bei [mm]x_0[/mm] =
> (0,0), aber wegen [mm]f(x_1,[/mm] 0) = f(0, [mm]x_2)[/mm] = 0 existiert
> sowohl [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}(0,0)[/mm] = 0 als auch
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2}(0,0)[/mm] = 0."


Ich habs nachgelesen. Die Def. f(0,0)=0 wurde vergessen.  


Bezug
                                
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Existenz der Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:14 Di 19.02.2019
Autor: sancho1980

Achso, ich hatte das mit "vergessen" zuerst verstanden, dass du unterstellen wolltest, ich hätte das, was im Buch steht, falsch wiedergegeben...

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Bezug
Existenz der Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:51 Di 19.02.2019
Autor: chrisno

Schreibst Du den Autoren oder dem Verlag, auf dass der Fehler in der nächsten Auflage nicht mehr erscheint?

Bezug
                                                
Bezug
Existenz der Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Di 19.02.2019
Autor: sancho1980

Grad geschehen ...

Bezug
                                
Bezug
Existenz der Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Di 19.02.2019
Autor: sancho1980


> Ich habs nachgelesen. Die Def. f(0,0)=0 wurde vergessen.  

Ich verstehe wirklich nicht, wie du darauf kommst, dass f(0,0):=0 "vergessen" wurde.  Es wird ja explizit auf Beispiel 23.8 verwiesen. Dort steht wiederum explizit, dass D = {x [mm] \in \IR^2 [/mm] | x [mm] \not= [/mm] 0}.

Bezug
                                        
Bezug
Existenz der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Di 19.02.2019
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> > Ich habs nachgelesen. Die Def. f(0,0)=0 wurde vergessen.  
>
> Ich verstehe wirklich nicht, wie du darauf kommst, dass
> f(0,0):=0 "vergessen" wurde.  Es wird ja explizit auf
> Beispiel 23.8 verwiesen. Dort steht wiederum explizit, dass
> D = {x [mm]\in \IR^2[/mm] | x [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

0}.

In dem Buch wird doch davon  gesprochen,  dass  f in  (0,0) nicht stetig sei, und von den partiellen Ableitungen in (0,0) ist  ebenfalls die Rede.  Das alles geht  doch nur,  wenn  f in (0,0) definiert  ist.


Bezug
                                        
Bezug
Existenz der Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Di 19.02.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich verstehe wirklich nicht, wie du darauf kommst, dass f(0,0):=0 "vergessen" wurde.  

Alternativ kannst du doch einfach mal versuchen, die Definition der partiellen Ableitung anzuwenden.

1.) Halten wir fest, der Begriff (Un-)Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] macht nur Sinn, wenn die Funktion an dieser Stelle überhaupt definiert ist.

2.) Nun überlegen wir mal, was $f(0,0)$ sein muss, damit die partielle Ableitung nach [mm] $x_1$ [/mm] in $(0,0)$ existiert und gleich Null ist.
Dazu verwenden wir die Definition der partiellen Ableitung:

[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,0) [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0} \frac{f(0 + h,0) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] -\lim_{h\to 0} \frac{f(0,0)}{h}$ [/mm]

Nun gilt für $f(0,0) [mm] \not= [/mm] 0$ dass $ [mm] \lim_{h\to 0} \left|\frac{f(0,0)}{h}\right| \to \infty$, [/mm] d.h. in diesem Fall existiert die partielle Ableitung gar nicht.

Einzig für $f(0,0) = 0$ folgt [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,0) [/mm] = 0$

D.h. $f(0,0) = 0$ gilt genau dann, wenn die partielle Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] in (0,0) existiert und gleich Null ist.
Da gibt es nix zu rütteln...

Für jede andere Festlegung von $f(0,0)$ wäre f an der Stelle nicht nur unstetig, sondern nicht mal partiell diffbar.

Gruß,
Gono



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