Existenz mit Hilfe des ZWS < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f [mm] \in [/mm] C°([0,1], [mm] \IR) [/mm] gegeben mit den Eigenschaften f(0)=f(1)=1, f(x)<1 für alle x [mm] \in [/mm] (0,1). Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes: Für jedes s [mm] \in [/mm] (0,1) existiert ein x [mm] \in [/mm] (0,s) mit f(x)=f(x+1-s). |
Hallo erstmal zusammen :)
Ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, aber komme einfach nicht weiter. Meine bisherigen Gedanken dazu:
Die Funktion f ist ein Element aus dem Funktionenraum der 0-mal stetig differenzierbaren Funktionen [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig
Dann habe ich mir eine Hilfsfunktion g:[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] g(z)=f(z)-f(z+1-s) definiert.
Diese ist als Komposition stetiger Funktionen auch stetig. Nach dem Satz von Minimum und Maximum nimmt g auf jeden Fall ein Minimum und Maximum an.
An der Stelle hänge ich nun fest, da ich nicht weiß, wie ich weiter verfahren soll. Wäre für jeden Tipp dankbar.
Vielen Dank schon mal im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Fr 03.08.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir mal g(0) und g(s) an, nachden du das schon so geschickt definiert hast.
Gruß ledum
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Vielen Dank für den Tipp, konnte die Aufgabe lösen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Fr 03.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Sei f [mm]\in[/mm] C°([0,1], [mm]\IR)[/mm] gegeben mit den Eigenschaften
> f(0)=f(1)=1, f(x)<1 für alle x [mm]\in[/mm] (0,1). Zeigen Sie mit
> Hilfe des Zwischenwertsatzes: Für jedes s [mm]\in[/mm] (0,1)
> existiert ein x [mm]\in[/mm] (0,s) mit f(x)=f(x+1-s).
> Hallo erstmal zusammen :)
>
> Ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, aber komme
> einfach nicht weiter. Meine bisherigen Gedanken dazu:
>
> Die Funktion f ist ein Element aus dem Funktionenraum der
> 0-mal stetig differenzierbaren Funktionen [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> stetig
> Dann habe ich mir eine Hilfsfunktion g:[0,1] [mm]\to \IR,[/mm]
> g(z)=f(z)-f(z+1-s) definiert.
> Diese ist als Komposition stetiger Funktionen auch stetig.
> Nach dem Satz von Minimum und Maximum nimmt g auf jeden
> Fall ein Minimum und Maximum an.
>
> An der Stelle hänge ich nun fest, da ich nicht weiß, wie
> ich weiter verfahren soll. Wäre für jeden Tipp dankbar.
> Vielen Dank schon mal im Voraus :)
leduart hat das Wesentliche gesagt.
Ich bin nur verwundert : zum einen definierst Du Dir genau das richtige Hilfsmittel, nämlich die Funktion g und zum anderen steht in der Aufgabenstellung ".... mit Hilfe des Zwischenwertsatzes ".
Schade, dass Du beides nicht zusammengebracht hast. Aber das kannst Du jetzt ja nachholen.
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