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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält
Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 23:45 Mo 23.08.2004
Autor: Stefan

Zeige:

Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit

[mm] $a_n [/mm] = [mm] \sqrt{24n+1}$ [/mm]

enthält alle Primzahlen außer $2$ und $3$.

Liebe Grüße
Stefan

        
Bezug
Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Di 24.08.2004
Autor: Fermat2k4

Hi @ all,

ich hätte da einen Lösungsvorschlag, den ich für recht vielversprechend halte :
Das Problem lässt sich relativ elegant mit vollständiger Induktion angehen:
Für den Induktionsanfang gilt: A(1) =  [mm] \wurzel{24+1} [/mm] = 5
Damit wäre schonmal gezeigt, dass es in dieser Reihe keine kleinere Primzahl geben kann!
Induktionsvorraussetzung: A(n) gilt !
Im Induktionsschritt wird gezeigt, dass es auch für jeden beliebigen nat. Nachfolger einer Zahl  [mm] \in \IN [/mm] gilt.
A(n+1) = [mm] \wurzel{24*(n+1)+1} [/mm] = [mm] \wurzel{24*n+25} [/mm] folgt nach Induktionsvorraussetzung !

Gruß

Alex

Bezug
                
Bezug
Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Di 24.08.2004
Autor: Stefan

Hallo fermat!

> ich hätte da einen Lösungsvorschlag, den ich für recht
> vielversprechend halte :

Ich nicht. ;-) (Nimm mir das bitte nicht übel.)

>  Das Problem lässt sich relativ elegant mit vollständiger
> Induktion angehen:
>  Für den Induktionsanfang gilt: A(1) =  [mm]\wurzel{24+1}[/mm] = 5
>  Damit wäre schonmal gezeigt, dass es in dieser Reihe keine
> kleinere Primzahl geben kann!
>  Induktionsvorraussetzung: A(n) gilt !

Was soll denn $A(n)$ sein???

>  Im Induktionsschritt wird gezeigt, dass es auch für jeden
> beliebigen nat. Nachfolger einer Zahl  [mm]\in \IN[/mm] gilt.
>  A(n+1) = [mm]\wurzel{24*(n+1)+1}[/mm] = [mm]\wurzel{24*n+25}[/mm] folgt nach
> Induktionsvorraussetzung !

Das macht meines Erachtens nach keinen Sinn.

Du sollst zeigen, dass alle Primzahlen in der Folge enthalten sind (und auch andere Zahlen, aber das spielt keine Rolle).

Ich sehe nicht, wie da ein Induktionsbeweis fruchtbar sein soll (insbesondere der hier vorgestellte).

Wie wäre es mit einem neuen Versuch?

Viele Grüße
Stefan


Bezug
                        
Bezug
Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:02 Di 24.08.2004
Autor: Fermat2k4

Hallo Stefan,

es sollte doch wohl mindestens einleuchten warum man bei Beweisen über Aussagen über nat. Zahlen auf Induktion zurückgreift!

Was A(n) bedeutet ? Es sagt lediglich, dass ich davon ausgehe (eben vorraussetze), dass die Aussage für das n-te Glied stimmt.

Des Weiteren geht es bei der Induktion doch um eine Verallgemeinerung (aber das brauche ich dir ja nicht zu erzählen :-) ) der Aussage aus einem Spezialfall heraus, hier :A(1)!!!

Es wird also von n [mm] \to [/mm] n+1 geschlossen und die Vorraussetzung angewendet !
A(n+1) sind doch offensichtlich auch Primzahlen, dies folgt doch aus der Vorraussetzung !

Gruß

Alex


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Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:15 Di 24.08.2004
Autor: Stefan

Hallo Alex!

Es tut mir leid, aber das macht wirklich überhaupt keinen Sinn. Es geht um die ganze Folge: Über Teilfolgen kann man hier keine Aussagen treffen, daher macht eine Induktion hier keinen Sinn.

Viele Grüße
Stefan

Bezug
        
Bezug
Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Di 24.08.2004
Autor: Hanno

Hi!
Endlich Schulschluss - puh!

Ich will auch mal wieder meinen Senf dazu abgeben.
Sei [mm]p[/mm] die Primzahl, für die wir prüfen wollen, ob sie in der Folge vorkommt.
Dann soll also gelten:
[mm]\sqrt{24n+1}=p[/mm]
[mm]\gdw 24n=p^2-1[/mm]
[mm]\gdw 24n=(p+1)(p-1)[/mm]

Die rechte Seite ist durch acht teilbar, da einer der beiden Faktoren durch 2, der andere durch 4 teilbar sein muss. Da zudem [mm]p[/mm] nach Voraussetzung nicht durch [mm]3[/mm] teilbar ist, ist der Term auch durch 3 teilbar, d.h. auch durch 24. Das heißt, dass die rechte Seite ein Vielfaches von 24 ist. Für jedes dieser Vielfachen kann ein [mm]n[/mm] gefunden werden, sodass [mm]24n=(p+1)(p-1)[/mm].
Damit ist die Behauptung bewiesen.

Gruß,
Hanno

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Bezug
Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Di 24.08.2004
Autor: Marc

Lieber Hanno!

>  Damit ist die Behauptung bewiesen.

Ich denke, einen schöneren Beweis gibt es nicht! [respekt]

Viele Grüße,
Marc

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Bezug
Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Di 24.08.2004
Autor: Hanno

Danke Marc :-))

*freu*

Gruß,
Hanno

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Bezug
Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Di 24.08.2004
Autor: AT-Colt

*lol*

Ich wollte gerade eine Argumentation schreiben, dass man diesen Nachweis nicht führen kann, weil man gar nicht alle Primzahlen kennt und deswegen nicht die Formel überprüfen kann...

Naja, letztendlich hast Du die Primzahlen auch nicht benutzt, nur die Zahlen in der Umgebung, sehr schön, gefällt mir (auch, wenns kein Widerspruchsbeweis ist ;) )

greetz

AT-Colt

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