Folge zum konvergieren bringen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x für welche die folgenden Reihen konvergieren.
1) [mm] $\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^k \frac{2^k}{k}*x^k$
[/mm]
2) [mm] $\summe_{i=1}^{\infty} \frac{1}{8^k*k^2}*x^{3k}$ [/mm] |
Wie gehe ich da heran? Ich bin leider nicht gut darin.
Wäre für eine ausführliche Erklärung sehr dankbar.
mfg Duckx
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Hallo,
was hast du denn in deinen Unterlagen so unter dem Stichwort Konvergenzradius stehen? Da gibt es zwei sehr einfache Ansätze über das Wurzel- bzw. das Quotientenkriterium, die für gewöhnlich in keinem Analysis-1-Skript bzw. -Buch fehlen.
Schlage das mal nach, du wirst garantiert eigene Ansätze hinbekommen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
In unerer Vorlesung hatten wir noch keinen Konvergenzradius. Geht das auch irgendwie anders zu lösen?
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Hallo,
nun, es ist nicht ungewöhnlich, dass man auch mal Übungsaufgaben bekommt, bei denen Konzepte benötigt werden, die demnächst anstehen (bei mir damals im Studium war es jedenfalls eher die Regel als die Ausnahme).
Im Prinzip geht es ja um eine Anwendung von Wurzel- bzw. Quotientenkriterium (im ersten Fall heißt das hier auch Formel von Cauchy-Hadamard). Wenn du wirklich in deinem Skript nichts zum Konvergenzradius stehen hast, dann schau mal die ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Seite dazu an, die ist gar nicht so schlecht.
> In unerer Vorlesung hatten wir noch keinen
> Konvergenzradius. Geht das auch irgendwie anders zu lösen?
Schwierig, denn es geht um Konvergenzradien. 
Gruß, Diophant
PS: dein Titel ist schlecht gewählt. Zwar kann man eine Reihe stets auch als Folge ihrer Partialsummen auffassen, aber der Begriff Potenzreihen wäre hier angebrachter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
zu 1)
also [mm] $r=\frac{1}{\limes_{k\rightarrow\infty} sup \wurzel[k]{a_k}}$
[/mm]
[mm] $a_k$ [/mm] geht für $k [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] ja gegen 0 oder?
dann ist r also [mm] $\infty$ [/mm] ist. Ist das gleichzeitig auch die Lösung für x oder wie fahre ich dann fort?
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Hallo,
> zu 1)
> also [mm]r=\frac{1}{\limes_{k\rightarrow\infty} sup \wurzel[k]{a_k}}[/mm]
>
> [mm]a_k[/mm] geht für [mm]k \rightarrow \infty[/mm] ja gegen 0 oder?
Nein, IMO nicht.
> dann ist r also [mm]\infty[/mm] ist. Ist das gleichzeitig auch die
> Lösung für x oder wie fahre ich dann fort?
Wenn das gegen Null gegangen wäre, würde diese Argumentation stimmen. Aber: es ist
[mm]\wurzel[k]{\bruch{2^k}{k}}=\bruch{\wurzel[k]{2^k}}{\wurzel[k]{k}}[/mm]
Schaue dir nochmal ganz genau an, was da für [mm] k->\infty [/mm] passiert.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
Achso ja es geht gegen 2 also ist r=1/2
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Hallo,
> Achso ja es geht gegen 2 also ist r=1/2
Viiiel besser. 
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
Ist das dann nun die Lösung für x oder muss ich noch etwas berechnen?
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Hallo,
deine Potenzreihe besitzt den Entwicklungspunkt bzw. das Zentrum [mm] x_0=0. [/mm] Dein Ergebnis besagt nun zunächst, dass die Reihe auf dem offenen Intervall (-2;2) konvergiert. Die beiden Punkte auf dem Rand, also bei -2 und 2, muss man jeweils noch gesondert untersuchen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
aber r= 1/2?
wieso nun der Intervall -2;2?
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Hallo,
> aber r= 1/2?
> wieso nun der Intervall -2;2?
sorry: meine Dusseligkeit.
Das Intervall ist natürlich [mm] \left(-\bruch{1}{2};\bruch{1}{2}\right).
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
ok also [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*\frac{2^k}{k}*0,5^k=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*\frac{1}{k}$ [/mm] also dort konvergiert die reihe nicht oder?
Folglich auch nicht bei -0,5 da da sich dort nur das vorzeichen ändern würde bei ungeraden k?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
ok also [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*\frac{2^k}{k}*0,5^k=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*\frac{1}{k}$ [/mm] also dort konvergiert die reihe nicht oder?
und bei -0,5 auch nich da sich da nur das vorzeichen ändert
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Hallo,
> ok also [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*\frac{2^k}{k}*0,5^k=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*\frac{1}{k}[/mm]
> also dort konvergiert die reihe nicht oder?
So ist es.
> und bei -0,5 auch nich da sich da nur das vorzeichen
> ändert
Hier irrst du: die Reihe
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}*\bruch{1}{k}[/mm]
ist konvergent mit dem Grenzwert ln(2). Das ist zwar ordentlich schwierig zu zeigen, aber es sollte irgendwann mal drangekommen sein, so dass man darauf zurückgreifen darf.
EDIT: falsches Reihenglied ausgebssert & vielen Dank an Marcel fürs Aufpassen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
Ja aber diese Reihe behandeln wir hier doch garnich oder?
wenn x =-1/2 ist
[mm] §\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k\cdot{}\frac{2^k}{k}\cdot{}-0,5^k=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k\cdot{}\frac{-1^k}{k} [/mm] $
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Hallo,
> Ja aber diese Reihe behandeln wir hier doch garnich oder?
> wenn x =-1/2 ist
> [mm]§\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k\cdot{}\frac{2^k}{k}\cdot{}-0,5^k=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k\cdot{}\frac{-1^k}{k}[/mm]
hast du im Prinzip auch wieder Recht:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k}=ln(2) [/mm]
Die alternierende harmoniosche Reihe also. Die meinte ich, und ich glaube, es ist Zeit für mich, Feierabend zu machen...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok danke :)
bei 2)
kann ich ja das Quotientenkriterium anwenden oder?
[mm] $a_n=\frac{1}{8^k*k^2}$
[/mm]
also ist
[mm] $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{8^{k+1}*(k+1)^2}{8^k*k^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{8*(k+1)^2}{k^2}$
[/mm]
und wenn k gegen unendlich geht kommt dort 8 raus für r?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
Mein problem ist, dass da mit [mm] $x^{3k}$ [/mm] multipliziert wird. wie berechne ich also bei der 2. reihe das x damit sie konvergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mein problem ist, dass da mit [mm]x^{3k}[/mm] multipliziert wird.
> wie berechne ich also bei der 2. reihe das x damit sie
> konvergiert?
vielleicht schreibst Du mal die Reihen nochmal hin, von denen Du sprichst.
Denn nicht jeder weiß das, außer den Beteiligten.
Es war
[mm] $$\summe_{\red{k}=1}^{\infty} \frac{1}{8^k\cdot{}k^2}\cdot{}x^{3k}$$
[/mm]
Überlege Dir, dass diese Reihe das gleiche Konvergenzverhalten hat wie
die Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty a_n x^{n}\,,$$
[/mm]
wobei
[mm] $$a_n:=\begin{cases} 0, & \text{ falls} 3 \!\not|n \text{ (d.h. 3 ist kein Teiler von }n\text{)}\\ \frac{1}{8^k\cdot{}k^2}, & \text{falls }n=3k \text{ mit (genau) einem }k \in \IN \end{cases}\,.$$
[/mm]
Es gibt übrigens durchaus noch eine Alternative, die vielleicht auch
einfacher ist:
Setze [mm] $y:=x^3\,,$ [/mm] dann gilt
[mm] $$\summe_{\red{k}=1}^{\infty} \frac{1}{8^k\cdot{}k^2}\cdot{}x^{3k}=\summe_{\red{k}=1}^{\infty} \frac{1}{8^k\cdot{}k^2}\cdot{}y^k\,,$$
[/mm]
und nun untersuchst Du das Konvergenzverhalten der letzten Reihe
erstmal in [mm] $y\,$ [/mm] und resubstituierst danach dann wieder.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
für y wäre r doch dann 8 wie ich schon geschrieben habe oder?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:50 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
für y ist es doch dann r =8 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> für y ist es doch dann r =8 oder?
ich find's echt ein wenig nervig, wenn Du einfach "Brocken" hier herwirfst:
Benutze einfach mal die Zitierfunktion, oder geh' in die entsprechende
Frage/Antwort und kopiere Dir die Teile raus, auf die Du Dich beziehst
und füge sie nochmal ein. Du musst ja nicht alles von Neuem rechnen -
und wenn Du das nicht so machst, wie ich es vorschlage, dann setze
wenigstens einen Link auf die Rechnung, bzgl. der Du die Frage gestellt hast (und benutze die Vorschaufunktion und teste, ob der Link auch
korrekt ist!).
Überlege Dir doch mal, wie Du selbst derartige Fragen beantworten
würdest: Erstmal mit der Gegenfrage: "Um was geht es nun eigentlich?"
Ich meine: Ich hab' Deine Rechnung schonmal gelesen und kann sie auch
wieder raussuchen, aber ich erwarte, dass Du wenigstens Deine Fragen
so stellst, dass ich mir da nicht unnötige Arbeit machen muss. (Wobei das
schreiben dieser "Antwort" eh schon wieder eigentlich eine solche ist!)
Also denke drüber nach: "Wie formuliere ich Fragen vernünftig, präzise
und dennoch prägnant?" Oder wenigstens: "Ist meine Frage so
VOLLSTÄNDIG formuliert - oder gibt's verstreute Puzzleteile, die ich
hier mit erwähnen/aufnehmen sollte?"
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Do 06.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel, hallo Duckx,
> > für y ist es doch dann r =8 oder?
>
> ich find's echt ein wenig nervig, wenn Du einfach "Brocken"
> hier herwirfst:
> [...]
> Also denke drüber nach: "Wie formuliere ich Fragen
> vernünftig, präzise
> und dennoch prägnant?" Oder wenigstens: "Ist meine Frage
> so
> VOLLSTÄNDIG formuliert - oder gibt's verstreute
> Puzzleteile, die ich
> hier mit erwähnen/aufnehmen sollte?"
Aus genau dem Grund, dass die Fragen nur zu verstehen sind, wenn man immer und immer wieder den ganzen Thread liest, bin ich hier längst ausgestiegen. Das ist mir viel zu aufwändig; ich habe auch noch andere Möglichkeiten, meine Freizeit einzusetzen.
Grüße
reverend
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Hallo,
> Ok danke :)
> bei 2)
> kann ich ja das Quotientenkriterium anwenden oder?
> [mm]a_n=\frac{1}{8^k*k^2}[/mm]
> also ist
> [mm]\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{8^{k+1}*(k+1)^2}{8^k*k^2}[/mm]
> [mm]=\frac{8*(k+1)^2}{k^2}[/mm]
> und wenn k gegen unendlich geht kommt dort 8 raus für r?
Nein! Der Grenzwert ist 8, aber du musst bedenken, dass in deiner Reihe nur jede dritte Potenz von x vorkommt, wegen dem Exponenten [mm] x^{3k}.
[/mm]
Substituiere am besten
[mm] y=x^3
[/mm]
Der Konvergenzradius für y 0st dann r=8, den für x bekommst du durch Rücksubstitution, das hat dir ja Marcel auch schon geschrieben.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:44 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dio,
> Hallo,
>
> > ok also [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*\frac{2^k}{k}*0,5^k=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k*\frac{1}{k}[/mm]
> > also dort konvergiert die reihe nicht oder?
>
> So ist es.
>
> > und bei -0,5 auch nich da sich da nur das vorzeichen
> > ändert
>
> Hier irrst du: die Reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}*2^k[/mm]
>
> ist konvergent mit dem Grenzwert ln(2).
Du hast es ja schon geschrieben, dass Du eine andere Reihe meintest.
Aber korrigierst Du das hier auch nochmal? Denn [mm] $(-1)^{k+1}*2^k \not\to 0\,,$ [/mm]
daher kann die Reihe nicht konvergieren. (Das wäre ja das erste, was
jemand prüft, wenn man eine Reihe auf Konvergenz testen will: Dieses
oft sogenannte "Trivialkriterium": Aus der Existenz von [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm]
(oder [mm] $\IC$) [/mm] folgt [mm] $|a_k|\to 0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 08:35 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> Du hast es ja schon geschrieben, dass Du eine andere Reihe
> meintest.
> Aber korrigierst Du das hier auch nochmal? Denn
> [mm](-1)^{k+1}*2^k \not\to 0\,,[/mm]
> daher kann die Reihe nicht konvergieren. (Das wäre ja das
> erste, was
> jemand prüft, wenn man eine Reihe auf Konvergenz testen
> will: Dieses
> oft sogenannte "Trivialkriterium": Aus der Existenz von
> [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm] in [mm]\IR[/mm]
> (oder [mm]\IC[/mm]) folgt [mm]|a_k|\to 0\,.[/mm])
ja klar, ich habe es gerade korrigiert, ich war ehrlich gesagt gestern abend ein wenig müde...
Vielen Dank für den Hinweise!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In unerer Vorlesung hatten wir noch keinen
> Konvergenzradius. Geht das auch irgendwie anders zu lösen?
indirekt - man macht alles wie bei Potenzreihen, und sieht dann, wie der
Begriff des Potenzradius motiviert wird:
Ist [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k$ [/mm] eine (formale) Potenzreihe mit
Entwicklungsmittelpunkt [mm] $x_0\,,$ [/mm] so gilt doch gemäß des Wurzelkriteriums,
dass die Reihe [mm] $f(x)\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert, für die
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|*|x-x_0|^k} [/mm] < 1$$
ist, und dass die Reihe [mm] $f(x)\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] divergiert, für die
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|*|x-x_0|^k} [/mm] > 1$$
ist.
(Bei [mm] $=1\,$ [/mm] läßt sich i.a. keine Aussage treffen!)
Denke das mal zu Ende, und Du wirst sehe, wie der Begriff Potenzradius
[mm] $$r=r_f=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}$$
[/mm]
motiviert wird - und warum es dann sinnvoll ist, im Falle von
[mm] $\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}=0$ [/mm] hier [mm] $1/0:=\infty$ [/mm] zu
verwenden!
Tipp: Beachte bzw. begründe
[mm] $$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|*|x-x_0|^n}=|x-x_0|*\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}$$
[/mm]
Und genau diese Überlegungen kannst Du doch auf
[mm] $$\summe_{\red{k}=1}^{\infty} (-1)^k \frac{2^k}{k}\cdot{}x^k$$
[/mm]
anwenden:
Es ist hier
[mm] $$a_k=(-1)^k \frac{2^k}{k} \text{ und }x_0=0\,.$$
[/mm]
Anders gesagt: Du könntest eigentlich auch direkt das WK auf
[mm] $$\summe_{\red{k}=1}^{\infty} (-1)^k \frac{2^k}{k}\cdot{}x^k$$
[/mm]
anwenden - und der Rest ergibt sich genau mit den Überlegungen wie
oben. (Natürlich gibt es dann noch zwei separate [mm] $x\,,$ [/mm] bei denen man
nochmal jeweils gucken sollte, was die Potenzreihe dort macht!)
Gruß,
Marcel
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