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Fourier-Polynome: Herleitung der Koeffizienten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 So 03.02.2019
Autor: sancho1980

Hallo

in meinem Buch geht es diesmal um Fourier-Polynome.
Diese werden zunächst definiert:

[mm] F_n(t) [/mm] = [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (a_k cos(\bruch{2\pi kt}{T}) [/mm] + [mm] b_k sin(\bruch{2\pi kt}{T}) [/mm]

Dann werden die Formeln zur Berechnung der Koeffizienten vorgestellt:

[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{T} \integral_{-\bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}}{cos(\bruch{2 \pi kt}{T}) f(x) dt} [/mm]

[mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{T} \integral_{-\bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}}{sin(\bruch{2 \pi kt}{T}) f(x) dt} [/mm]

Später werden diese Formeln erläutert.

Zunächst wird das Skalarprodukt zweier stetiger Funktionen definiert:

<f(x), g(x)> = [mm] \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x)g(x) dx} [/mm]

Dann wird folgendes Orthonormalsystem auf dem Intervall [mm] [-\pi, \pi] [/mm] vorgestellt:

[mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}, \bruch{cos(nx)}{\wurzel{\pi}}, \bruch{sin(nx)}{\wurzel{\pi}} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm]

Dann steht da:

"Die Fourierkoeffizienten [mm] a_n, b_n [/mm] sind nichts anderes als die Projektionen in die Richtung der Basisvektoren:

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\pi}} [/mm] <cos(nx), f(x)>, [mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\pi}} [/mm] <sin(nx), f(x)>"

Zunächst einmal habe ich mit dem Satz das Problem, dass m.E.

[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\pi}} [/mm] <cos(nx), f(x)>, [mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\pi}} [/mm] <sin(nx), f(x)>

einfach nur Skalarprodukte sind; die Projektionen wären doch definitionsgemäß:

<cos(nx), f(x)> [mm] \bruch{cos(nx)}{\pi} [/mm]

und

<sin(nx), f(x)> [mm] \bruch{sin(nx)}{\pi} [/mm]

Sehe ich das richtig?

Aber mein eigentliches Verständnisproblem:

Wenn ich in der eingangs vorgestellten Formel

[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{T} \integral_{-\bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}}{cos(\bruch{2 \pi kt}{T}) f(x) dt} [/mm]

T := 2 [mm] \pi [/mm] setze, dann lande ich doch bei

[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{cos(kt) f(t) dt} \not= \bruch{1}{\wurzel{\pi}} \integral_{- \pi}^{\pi}{cos(kt) f(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\pi}} [/mm] <cos(nt), f(t)>

        
Bezug
Fourier-Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 So 03.02.2019
Autor: leduart

Hallo
ich denke due hast einfach übersehen, dass die Basisvektoren des Ortjonormalsystems nicht cos(nx) sondern [mm] cos(nx)/sqrt(\pi) [/mm] sind, wenn du alles mit denen schreibst kommt alles in Ordnung. das [mm] sqrt(\pi)pi [/mm] im Nenner braucht man wegen [mm] Gruß ledum

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Fourier-Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Do 07.02.2019
Autor: sancho1980

Ich seh leider nicht wo ich was falsch angeschrieben hab. Kannst du's bitte mal konkretisieren?

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Fourier-Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Fr 08.02.2019
Autor: sancho1980

Kann mir hier wirklich keiner weiterhelfen?

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Fourier-Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Fr 08.02.2019
Autor: donquijote

Hallo,
ein Basisvektor hat die Form [mm]g(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos kx[/mm] (bzw. analog mit Sinus).
Die orthogonale Projektion auf g(x) ist dann
[mm]*g(x)=\left(\int_{-\pi}^{\pi} f(x)*\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos kx dx\right)*\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos kx=\left(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)*\cos kx dx\right)*\cos kx=a_k\cos kx[/mm].

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Fourier-Polynome: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:01 Sa 09.02.2019
Autor: sancho1980

Ok danke, da werd ich die Autoren mal auf den Fehler aufmerksam machen.

Aber zwei Sachen in Bezug auf Fourierpolynome sind mir immer noch unklar. Vielleicht kann mir das einer noch erläutern:

Wie ich das verstehe, ist eine Fourierreihe vom Prinzip her die Linearkombination der Orthogonalprojektionen. Aber wenn ich mir die Formel:

[mm] F_n(t) [/mm] = [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (a_k cos(\bruch{2\pi kt}{T}) [/mm] + [mm] b_k sin(\bruch{2\pi kt}{T}) [/mm]

anschaue, dann frage ich mich:

1) Wo zum Kuckuck steckt die Projektion:

[mm] <\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}, [/mm] f(x)> [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} [/mm]

2) Für [mm] a_0 [/mm] müsste die Projektion doch streng genommen so aussehen:

[mm] a_0 [/mm] cos(0) = [mm] a_0 [/mm]

stattdessen ist der Summand

[mm] \bruch{a_0}{2} [/mm]

In meinem Buch steht da ein Bisschen lapidar:

"Beachten Sie weiters, dass im Fourierpolynom der konstante Anteil gleich [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] (und nicht [mm] a_0) [/mm] ist. Der Wert [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] ist der lineare Mittelwert von f(t). Er wird in den technischen Anwendungen auch oft als Gleichanteil bezeichnet."

Ist ja schön und gut. Aber kann man das auch irgendwie formal herleiten, waum [mm] \bruch{a_0}{2}? [/mm]

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Bezug
Fourier-Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 So 10.02.2019
Autor: sancho1980

Also wenn ich beispielsweise die Projektionen der folgenden zwei "Vektoren" bilde:

[mm] <\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}, [/mm] f(x)> [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm]

und für n = 0:

[mm] <\bruch{cos(nx)}{\wurzel{\pi}}, [/mm] f(x)> [mm] \bruch{cos(nx)}{\wurzel{\pi}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm]

Das müssten doch dann die ersten beiden Summanden der Fourier-Reihe sein:

F(x) = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] + ... = [mm] \bruch{3}{2 \pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] + ...

Wenn ich jetzt rechne:

[mm] \bruch{3}{2 \pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] : [mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2 \pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] : [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm]

Dann müsste doch die Formel statt:

[mm] F_n(t) [/mm] = [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (a_k cos(\bruch{2\pi kt}{T}) [/mm] + [mm] b_k sin(\bruch{2\pi kt}{T}) [/mm]

... folgender maßen lauten:

[mm] F_n(t) [/mm] = [mm] \bruch{3 a_0}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (a_k cos(\bruch{2\pi kt}{T}) [/mm] + [mm] b_k sin(\bruch{2\pi kt}{T}) [/mm]

Versteht mich einer?

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Fourier-Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 So 10.02.2019
Autor: chrisno

$ [mm] \bruch{cos(0 \cdot x)}{\wurzel{\pi}} [/mm] $ ist kein Basisvektor im Orthonormalsystem, da die Normierung nicht eingehalten wird. Daher beginnt die Summe auch erst bei 1, also mit [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $b_1$. [/mm]
Damit die Normierung stimmt, muss $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} [/mm] $ als Basisvektor gewählt werden.


> Das müssten doch dann die ersten beiden Summanden der Fourier-Reihe sein:

> F(x) = $ [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] $ + ... = $ [mm] \bruch{3}{2 \pi} \integral_{- \pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] $ + ...

Den zweiten Summanden hast Du dazu gemogelt. Er gehört da einfach nicht hin. Sobald du ihn weg lässt, ist die Welt auch in Ordnung.


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