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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:21 Di 29.06.2004 | | Autor: | EvaKerstin |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:Berechne [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(n^2+a^2)}[/mm]. Dafür soll man die Fourierreihe der [mm]2\pi[/mm]-periodischen Funktion f mit [mm] f(x)=\cosh(ax) [/mm] bestimmen.
[mm]c_0[/mm] habe ich ausgerechnet, da kommt [mm]\bruch{1}{\pi a}\sinh(a\pi)[/mm] raus. Ich hänge allerdings an der Berechnung von [mm]c_k[/mm] fest: Ich habe versucht das Integral [mm]\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}\cosh(ax)e^{-ikt}\,dt[/mm] zu bestimmen. Es ähnelt jedoch in keinster Weise meiner Reihe, do dass ich danach auflösen könnte, wenn ich zum Schluss wieder in die Fourierreihe einsetze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Di 29.06.2004 | | Autor: | felixs |
> Dafür soll man die Fourierreihe der [mm]2\pi[/mm]-periodischen
> Funktion f mit f(x)=cosh(ax) bestimmen.
hi
fuer mich ist cosh(ax) nicht [mm] $2\pi$ [/mm] periodisch. was meinst du genau?
vielleicht meinst du etwa das was ich denke, aber damit konnte ich dein [mm] $c_0$ [/mm] nicht wirklich nachvollziehen.
-- felix
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Also, die Aufgabe stand da so. Auch mit dem [mm]2\pi[/mm]periodisch. An das [mm]c_0[/mm] bin ich gekommen in dem ich einfach das Integral [mm]\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}cosh(at)\,dt[/mm] berechnet habe. Als Ergebnis bekomme ich [mm]\bruch{1}{\pia}sinh(at)[/mm] raus. Das [mm]c_k[/mm] habe ich mit dem Integral [mm]\bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}cosh(at)e^{-ikt}\,dt[/mm] ausgerechnet.
Bin heute jetzt erst wieder heute nachmittag im Netz, also nicht wundern, wenn ich nicht antworte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Do 01.07.2004 | | Autor: | felixs |
in dem ergebnis von gestern war natuerlich der wurm drin, hier vielleicht wieder, aber mindestens einer weniger :)
also ...
ich nehme mal an du meinst mit [mm] $2\pi$ [/mm] periodisch sowas wie $f(x)=cosh(ax), [mm] ax\in ]-\pi,\pi]$.
[/mm]
die fourierreihe sieht bei mir so aus:
[mm] P_f(x)=a_0+\sum_{n \in \mathbb{N} a_n cos(nx)}
[/mm]
sinusterme fliegen raus wegen $f$ gerade oder eben $f(x)=f(-x)$.
[mm] a_0 [/mm] ist tatsaechlich [mm] $\frac{1}{2 a \pi} (e^{a \pi} [/mm] - [mm] e^{-a \pi}) [/mm] = [mm] \frac{1}{a \pi} [/mm] sinh(a [mm] \pi)$.
[/mm]
und $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] (ich spar mir hier mal die rechnung, hoffe das stimmt so):
$ [mm] a_n=\int_{-\pi}^{\pi} cosh(ax)\cdot [/mm] cos{nx}dx = -2 [mm] \frac{a\cdot cos(n\pi) sinh(a\pi)}{\pi(n^2+a^2)} [/mm] $.
das gibt dann eingesetzt
[mm] $cosh(ax)=\frac{1}{a \pi}sinh(a \pi) [/mm] - [mm] \sum \frac{2a cos(n \pi) sinh(a \pi) \cdot cos(nx) }{n^2+a^2}$
[/mm]
in der reihe setz ich jetzt mal [mm] $x=\pi$ [/mm] (das sollte moeglich sein, da der links und rechtsseitige grenzwert an der stelle gleich ist) und erhalte:
$cosh(a [mm] \pi) [/mm] = [mm] \frac{1}{a \pi} [/mm] sinh(a [mm] \pi) [/mm] - 2a sinh(a [mm] \pi) \cdot \sum \frac{\cos(n \pi)^2}{a^2+n^2}$.
[/mm]
weil $cos(n [mm] \pi)^2 [/mm] =1 $, kannich das nach [mm] $\sum$ [/mm] aufloesen.
sieht dann so aus:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+a^2} [/mm] = [mm] \frac [/mm] {-cosh(a [mm] \pi) [/mm] + [mm] \frac{1}{a \pi} [/mm] sinh(a [mm] \pi)}{2a sinh(\pi a)} [/mm] = - [mm] \frac [/mm] {1}{2a tanh(a [mm] \pi)} [/mm] + [mm] \frac{1}{2a^2 \pi}$
[/mm]
hth
-- felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mi 30.06.2004 | | Autor: | felixs |
ich hab mal ein wenig rumgerechnet, bin gerdade bei [mm] $\sum [/mm] = [mm] \frac{1}{a^2 \cdot cos(a\pi)}$ [/mm] angekommen.
wahrscheinlich habich mich verrechnet, aber es funktioniert mit fourier...
werde den rechenweg heut nacht irgendwann posten, falls niemand anders eine bessere loesung finden sollte.
-- felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Mi 30.06.2004 | | Autor: | EvaKerstin |
Danke schön, das ist sehr nett! Muss das nämlich morgen abgeben. Aber dein Ergebnis kommt der Reihe ja schon sehr nahe! Bin mal gespannt, was ich falsch gemacht habe. Tschö Eva
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