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Forum "Fourier-Transformation" - Fouriertransformierte
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Fouriertransformierte: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:10 Mi 13.07.2011
Autor: kaschina

Aufgabe
Die Funktion F: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IC [/mm] wird definiert durch f(x):= max { 0 , [mm] 1-x^2 [/mm] }
a) Berechnen Sie [mm] \hat f (s) [/mm]für alle s [mm] \in \IR. [/mm]
b) Es sei [mm] f_n(x) [/mm] := n f(nx) für alle x [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm]

Berechnen Sie für alle s [mm] \in \IR[/mm]  [mm] \hat f_n(s)[/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]  [mm]\hat f_n(s)[/mm]


Für die Teilaufgabe a) habe ich die Funktion zuerst untergliedert:
Für x > 1 wird "x - 1" ausgeführt, ansonsten wird die Funktion kleiner 0 und
damit wird der Wert 0.


[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix} 1-x^2, & \mbox{wenn }-1 <= x <= 1 \\ 0 \mbox{ sonst} \end{matrix}\right. [/mm]

Für s =0 folgt dann:
f(0) = [mm] \bruch{1}{2Pi} *\integral_{-1}^{1}{f(t) * E^{-I*0*t}dt}\\ [/mm]
=> [mm] \bruch{1}{2Pi} [/mm]  * [mm] \bruch{4}{3}\\ [/mm]
f(0) = [mm] \bruch{2}{3Pi} [/mm]


für s [mm] \not= [/mm] 0:
f(s) = [mm] \bruch{1}{2Pi} *\integral_{-1}^{1}{f(t) * E^{-I*s*t}dt}\\ \\ [/mm]
=> f(s) = [mm] \bruch{1}{2Pi} [/mm] * [mm] \bruch{4*sin(s)-4s cos(s)}{s^3}\\ \\ [/mm]
=>f(s) = [mm] \bruch{2(\bruch{sin(s)}{s}-cos(s)}{Pi*s^2}\\ [/mm]

Kann man da noch irgendwo vereinfachen?
Bzw - hab ich das überhaupt richtig verstanden??

Für Aufgabe b:

[mm] f_n(x) [/mm] = nf(nx)

=> meine Bedingung muss abgeändert werden zu:

[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix} 1-(nx)^2, & \mbox{wenn }-1 <= nx <= 1 \\ 0 \mbox{ sonst} \end{matrix}\right. [/mm]

Kann man nx einfach so stehenlassen? Oder muss man genauer unterscheiden?

Bzw, wie mache ich das mit den Integralsgrenzen?



        
Bezug
Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Mi 13.07.2011
Autor: kaschina

Ist es denn kompletter Blödsinn, was ich bisher gemacht habe?
Kann mir bitte jemand sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin oder komplett auf dem falschen Dampfer?

Bezug
        
Bezug
Fouriertransformierte: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 15.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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