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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Funktion diffbar
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Funktion diffbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Di 20.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
[mm] f:R^2->R [/mm] mit folgender Bedingung [mm] 0\le f(x,y)\le x^2+y^2 [/mm] für alle (x,y) aus [mm] R^2 [/mm]
Welche Aussage gilt?
a) f ist diffbar in (0,0)
b)f nicht diffbar in (0,0)
c) keine Aussage möglich

Hallo
Um Diffbarkeit zu zeigen, muss man erst beweisen, dass die partiellen Ableitungen existieren.
Ok, also
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] für die erste partielle Ableitung und hier würde ich sagen, dass die Angaben nicht ausreichen.
Ich weiß zwar, dass die Funktion [mm] g(x,y)=x^2+y^2 [/mm] in (0,0) diffbar ist, aber das reicht doch nicht, oder?
Oder kann man bei der partiellen Ableitung der Term abschätzen? So in etwa
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} \le \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^2}{h}=0 [/mm]
Ich freue mich über jede Antwort

TheBozz-mismo


        
Bezug
Funktion diffbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Di 20.09.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,
> [mm]f:R^2->R[/mm] mit folgender Bedingung (*) [mm]0\le f(x,y)\le x^2+y^2[/mm] für alle (x,y) aus [mm]R^2[/mm]
>  Welche Aussage gilt?
>  a) f ist diffbar in (0,0)
>  b)f nicht diffbar in (0,0)
>  c) keine Aussage möglich
>  Hallo
>  Um Diffbarkeit zu zeigen, muss man erst beweisen, dass die
> partiellen Ableitungen existieren.
>  Ok, also
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm] für die
> erste partielle Ableitung und hier würde ich sagen, dass
> die Angaben nicht ausreichen.
>  Ich weiß zwar, dass die Funktion [mm]g(x,y)=x^2+y^2[/mm] in (0,0)
> diffbar ist, aber das reicht doch nicht, oder?
>  Oder kann man bei der partiellen Ableitung der Term
> abschätzen? So in etwa
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} \red{=} \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^2}{h}=0[/mm]

Die Gleichheit gilt wegen (*), also f(0,0)=0. So kannst du zeigen, dass beide partiellen Ableitungen in 0 den Wert 0 haben.
Ist f differenzierbar in (0,0), so würde mit x als Vektor gelten

   [mm] f(x)=f(0)+D_f(0)*(x-0)+\varphi(x)=0+0+\varphi(x)=\varphi(x), [/mm]
   wobei [mm] \frac{\varphi(x)}{\parallel x\parallel}\to0, x\to0. [/mm]
Zum Nachweis der Differenzierbarkeit musst du [mm] \lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{\parallel x\parallel}=0 [/mm] zeigen.


LG

Bezug
                
Bezug
Funktion diffbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 20.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Kannst du mir erklären, was dein e(x) bedeutet?

Also mit den partiellen Ableitungen hab ich verstanden.

Ich würde jetzt zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x,y)-(f(0,0)+M(x-a))}{\parallel x \parallel }=0, [/mm] wobei M die beiden partiellen Ableitungen darstellen.

Dann folgt


[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x,y)}{\parallel (x,y) \parallel } \le \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^2+y^2}{\parallel (x,y) \parallel } [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(\parallel (x,y) \parallel )^2 }{\parallel (x,y) \parallel } [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0} \parallel [/mm] (x,y) [mm] \parallel [/mm]  =0

Also ist f(x,y) in (0,0) diffbar.

Ist das richtig so?

Vielen Danks chonmal für die Hilfe

TheBozz-mismo

Bezug
                        
Bezug
Funktion diffbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Di 20.09.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> Kannst du mir erklären, was dein e(x) bedeutet?

Du meinst [mm] $\varphi(x)\,,$ [/mm] wobei Du hier eigentlich besser [mm] $x=(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] schreiben würdest. Die Notation oben wurde etwas unglücklich gewählt, weil damit
$$x=(x,y)$$
gemeint war, wobei linkerhand das [mm] $x\,$ [/mm] ein $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist und rechterhand [mm] $x\,$ [/mm] die erste Komponente dieses [mm] $x\,$ [/mm] linkerhand ist. Besser könnte man etwa schreiben:
[mm] $$\IR^2 \ni r=(x,y)\,,$$ [/mm]
dann hat man nicht eine Variable mit 2 Bedeutungen!

> Also mit den partiellen Ableitungen hab ich verstanden.
>  
> Ich würde jetzt zeigen:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x,y)-(f(0,0)+M(x-a))}{\parallel x \parallel }=0,[/mm]
> wobei M die beiden partiellen Ableitungen darstellen.
>  
> Dann folgt
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x,y)}{\parallel (x,y) \parallel } \le \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^2+y^2}{\parallel (x,y) \parallel }[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(\parallel (x,y) \parallel )^2 }{\parallel (x,y) \parallel }[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow 0} \parallel[/mm] (x,y) [mm]\parallel[/mm]  =0
>
> Also ist f(x,y) in (0,0) diffbar.

  
Da sind einige Notationsmängel (wichtigster Hinweis: Oft gehört anstelle des von Dir notierten [mm] $\lim_{x \to 0}$ [/mm] dort eigentlich [mm] $\lim_{(x,y) \to (0,0)}$ [/mm] hin; denn in Deiner Notation ist (meist?) $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] da Komponente.). Schreibe es erst nochmal sauber auf, dann klären sich in einem auch einige Fragen:

Das, was Du hier machst, ist die []Fréchet-Diffbarkeit in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] zu prüfen. Nach einem Satz der Analysis ist das äquivalent dazu, die totale Diffbarkeit in $(0,0)$ zu prüfen. (Sowas sollte in einem Analysis-Skript, welches Funktionen zwischen [mm] $\IR^n$ [/mm] und [mm] $\IR^m$ [/mm] behandelt, so oder in ähnlicher Form irgendwo stehen. Beachte auch: Normen auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] sind äquivalent, und der [mm] $\IR^n$ [/mm] ist vollständig.)

Beachte unten auch, dass für $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] die Notation $x [mm] \to [/mm] 0$ (rechterhand ist die [mm] $0=(0,\ldots,0) \in \IR^n$ [/mm] gemeint!) oder [mm] $\lim_{x \to 0}$ [/mm] aufzufassen ist als [mm] $\|(x_1,\ldots,x_n)\|_2 \to [/mm] 0$ bzw. in äquivalenter Weise:
"Für jede Folge [mm] $(x_k)_{k=1}^\infty=((x_{1,k},\ldots,x_{n,k}))_{k=1}^\infty$ [/mm] in [mm] $\IR^n$ [/mm] mit
[mm] $$x_{j,k} \to [/mm] 0 [mm] \;\;\;\;(k \to \infty)$$ [/mm]
für alle [mm] $j=1,\ldots,n\,.$" [/mm]

(Kurzgesagt: Das sind die Folgen im [mm] $\IR^n$ [/mm] so, dass jede Komponentenfolge eine Nullfolge in [mm] $\IR$ [/mm]  ist!)


1.) Klar ist, dass aus
$$0 [mm] \le [/mm] f(x,y)=|f(x,y)| [mm] \le x^2+y^2=:\|(x,y)\|_2^2$$ [/mm]
folgt
[mm] $$f(0,0)=0\,:$$ [/mm]
Aus $|f(0,0)| [mm] \le 0^2+0^2=\|(0,0)\|_2^2=0$ [/mm] folgt nämlich [mm] $|f(0,0)|=0\,$ [/mm] und damit [mm] $f(0,0)=0\,.$ [/mm]



2.) Mit 1.) folgt
[mm] $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{0 \not= \Delta x \to 0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0))}{\Delta x}=\lim_{0 \not=h \to 0} \frac{f(h,0)}{h}\,.$$ [/mm]
Wegen $0 [mm] \le [/mm] f(h,0) [mm] \le h^2$ [/mm] folgt aber für $h [mm] \not=0$ [/mm] aus
$$0 [mm] \le [/mm] |f(h,0)/h| [mm] \le h^2/|h|=|h|$$ [/mm]
sodann
[mm] $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|=0\,,$$ [/mm]
und damit
[mm] $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0\,.$$ [/mm]

Analog sieht man
[mm] $$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0\,.$$ [/mm]

Damit folgt [mm] $D_f(0)=\pmat{0 &0}\,.$ [/mm]


3.) Setze für [mm] $h=(\Delta x,\Delta [/mm] y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und $a=(0,0)$ nun
[mm] $$\varphi(h)=\varphi(\Delta [/mm] x, [mm] \Delta y):=\underbrace{f((0,0)\,+\,(\Delta x,\Delta y))}_{=f(a+h)}\;-\underbrace{f(0,0)}_{=f(a)=f(0,0)}-\underbrace{D_f(0,0)}_{=D_f(a)=D_f(0,0)} \cdot (\Delta x,\Delta y)^T\,.$$ [/mm]

Dann folgt mit den Ergebnissen von oben

[mm] $$\varphi(h)=\varphi(\Delta x,\Delta y)=f(\Delta x,\Delta y)-0-\pmat{0 & 0}*\vektor{\Delta x \\ \Delta y}=f(\Delta [/mm] x, [mm] \Delta y)=f(h)\,.$$ [/mm]

Genau dann ist daher [mm] $f\,$ [/mm] (total) diffbar in [mm] $a=(0,0)\,,$ [/mm] wenn
[mm] $$\lim_{(0,0) \not= h \to (0,0)} (|\varphi(h)|/\|h\|_2)=0\,.$$ [/mm]

Aus obigem folgt
[mm] $$\lim_{(0,0) \not= h \to (0,0)} (|\varphi(h)|/\|h\|_2)=\lim_{(0,0) \not= h \to 0} |f(h)|/\|h\|_2$$ [/mm]

und nun bedenke, dass letztstehender Grenzwert nichts anderes bedeutet als

[mm] $$\lim_{\|(\Delta x, \Delta y)\|_2 \to 0} (|f(\Delta x,\Delta y)|/\|(\Delta x,\Delta y)\|_2)\,.$$ [/mm]

Was aber passier nun bei $(0,0) [mm] \not=(\Delta [/mm] x, [mm] \Delta [/mm] y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ (beachte, dass hier nun [mm] $\Delta [/mm] x$ und [mm] $\Delta [/mm] y$ beide "gleichzeitig" gegen $0 [mm] \in \IR$ [/mm] streben!)?

Nun ja: Die Voraussetzung $0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le x^2+y^2=\|(x,y)\|_2^2$ [/mm] liefert für $h [mm] \not=(0,0) \in \IR^2$ [/mm]

$$0 [mm] \le |f(h)|/\|h\|_2=f(h)/\|h\|_2 \le \|h\|_2^2/\|h\|_2=\|h\|_2=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\,.$$ [/mm]

Was passiert nun bei [mm] $h=(\Delta x,\Delta [/mm] y) [mm] \to [/mm] (0,0)$? Naja, dann geht [mm] $\|h\|_2 \to \ldots$ [/mm] ... und daher ...
(Bzw. Du kannst auch sagen: Dann müssen [mm] $\Delta [/mm] x, [mm] \Delta [/mm] y [mm] \to \ldots$ [/mm] streben und daher folgt ...)

Gruß,
Marcel

Bezug
                                
Bezug
Funktion diffbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:03 Fr 23.09.2011
Autor: TheBozz-mismo

Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort. Du hast mir echt sehr geholfen.

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