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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Do 04.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Hallo zusammen,
Ich brauche eine Funktion, die sich komplett unter der x-Achse befindet. Der Graph geht im Plus-Unendlich gegen 0. Seine größte Steigung hat der Graph bei einem x-Wert um 0 herum. Die Funktion geht im Minus-Unendlich gegen Minus-Unendlich, jedoch nur sehr langsam. Im Minus-Unendlich hat die Funktion somit eine relativ geringe Steigung. Der Graph ist streng monoton steigend. Wenn mann -200 für x einsetzt, sollte ein Wert von ungefähr 14-15 rauskommen. Könntet ihr mir da weiterhelfen.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
- Gute-Mathe-Fragen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Do 04.04.2013 | | Autor: | Valerie20 |
Hi!
> Ich brauche eine Funktion, die sich komplett unter
Für was genau brauchst du denn diese Funktion?
Falls das eine Übungsaufgabe sein soll, wäre es natürlich hilfreich wenn du diese vollständig widergibst.
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Do 04.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> Ich brauche eine Funktion, die sich komplett unter der
> x-Achse befindet. Der Graph geht im Plus-Unendlich gegen 0.
> Seine größte Steigung hat der Graph bei einem x-Wert um 0
> herum. Die Funktion geht im Minus-Unendlich gegen
> Minus-Unendlich, jedoch nur sehr langsam. Im
> Minus-Unendlich hat die Funktion somit eine relativ geringe
> Steigung. Der Graph ist streng monoton steigend. Wenn mann
> -200 für x einsetzt, sollte ein Wert von ungefähr 14-15
> rauskommen. Könntet ihr mir da weiterhelfen.
da gibt es sehr viele Funktionen - Du fordest ja noch nicht mal Stetigkeit
noch sonst was. Allerdings sollte die Funktion wohl diff'bar sein, wenn
"man beim Graphen stets Steigungen ablesen können soll".
Aber bastel Dir doch einfach was zusammen: Stückweise kannst Du Dir da
passendes definieren. Musst halt nur gucken, dass "an den Nahtstellen"
die Differenzierbarkeit erhalten bleibt.
Ansonsten sind die Forderungen, die Du stellst, zu wenig, um eine
eindeutige Funktion zu erhalten! Ich kann nachher mal gucken, ob ich auch
eine "geschlossene Form" für so eine Funktion finde, wo Du quasi "die
Steigung an der Stelle [mm] $0\,$" [/mm] und "den Funktionswert für [mm] $x=-200\,$"
[/mm]
'einstellen' kannst. Aber erstmal abwarten, was Al anbietet... und dann
muss ich erstmal weg!
Gruß,
Marcel
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> Hallo zusammen,
>
> Ich brauche eine Funktion, die sich komplett unter der
> x-Achse befindet. Der Graph geht im Plus-Unendlich gegen 0.
> Seine größte Steigung hat der Graph bei einem x-Wert um 0
> herum. Die Funktion geht im Minus-Unendlich gegen
> Minus-Unendlich, jedoch nur sehr langsam. Im
> Minus-Unendlich hat die Funktion somit eine relativ geringe
> Steigung. Der Graph ist streng monoton steigend. Wenn mann
> -200 für x einsetzt, sollte ein Wert von ungefähr 14-15
> rauskommen. Könntet ihr mir da weiterhelfen.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
Hallo Estroy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wenn keine Vorgaben über die Art der Funktionen
vorliegen, die hier zur Auswahl stehen sollen,
ist die Aufgabe natürlich sehr (vielleicht allzu)
offen gestellt.
Man könnte die Funktion z.B. aus passenden
Stücken von Potenz- oder Exponentialfunktionen
zusammenschnipseln.
Vielleicht erwartest du aber zumindest eine
Funktion, die durch einen einzigen, möglichst
einfachen Term für alle [mm] x\in\IR [/mm] definiert ist.
Die Funktion soll (vermutlich) auch stetig und
(beliebig oft ?) differenzierbar sein.
Ferner ist nicht ganz klar, was du mit "ungefähr 14-15"
meinst. Nach meiner Rechnung ist 14-15 = -1 .
Soll also $\ f(-200)\ [mm] \approx\ [/mm] -1$ sein, oder hast du
etwas anderes gemeint ?
(es soll ja f(x)<0 für alle x gelten !)
Ich könnte mir vorstellen, dass du so ungefähr
etwas in der beschriebenen Art erzielen könntest
mit einer Funktion von folgender Form:
$\ f(x)\ =\ [mm] k*\left(\,x\,-\,\sqrt{x^2+c}\,\right)$
[/mm]
LG
Al-Chwarizmi
Fehlerkorrektur:
Ich habe festgestellt, dass ich die Funktionsgleichung
nicht so dargestellt habe, wie sie eigentlich geplant
war. Eine Wurzel ist leider untergegangen.
Richtig hätte es so lauten sollen:
$\ f(x)\ =\ [mm] k*\sqrt{\,-x\,+\,\sqrt{x^2+c}\,}$
[/mm]
In ähnlicher Art wären natürlich auch weitere
Funktionen möglich, bei denen man mit Wurzeltermen
auskommt und nicht zu Exponentialfunktionen und tanh
etc. greifen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Die Funtion ist stetig steigend und sollte überall differenzierbar sein. Die Funktion [mm] k*(x-\wurzel{x²+c}) [/mm] hat nicht den größten Wert der Ableitung bei 0, sondern im Minus-unendlich. f(-200) = -14,5. Die Funktion darf ein Exponentialfunktion sein, wenn ln und e vorkommt, wäre das auch nicht schlecht.
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> Die Funtion ist stetig steigend und sollte überall
> differenzierbar sein. Die Funktion [mm]k*(x-\wurzel{x²+c})[/mm] hat
> nicht den größten Wert der Ableitung bei 0, sondern im
> Minus-unendlich. f(-200) = -14,5. Die Funktion darf ein
> Exponentialfunktion sein, wenn ln und e vorkommt, wäre das
> auch nicht schlecht.
Hallo Estroy,
ich habe gemerkt, dass mir bei meiner Antwort ein
Fehler unterlaufen war, den ich nun oben korrigiert
habe. Die Funktionsschar, die ich meinte, war:
$ \ f(x)\ =\ [mm] k\cdot{}\sqrt{\,-x\,+\,\sqrt{x^2+c}\,} [/mm] $
Ich habe zwar nicht dafür gesorgt, dass die
größte Steigung exakt bei x=0 liegt. Falls dies wichtig
sein sollte, kann man dies aber durch eine einfache
Verschiebung des Graphen in x-Richtung erzielen.
In deiner Frage hattest du ja aber auch formuliert:
"Seine größte Steigung hat der Graph bei einem
x-Wert um 0 herum."
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Do 04.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Estroy,
probiere es doch einmal aus mit der Funktion [mm] $f(x)=1.01^{-x}(\tanh(x)-1)$
[/mm]
Sie verläuft komplett unterhalb der x-Achse.
Die maximale Steigung ist bei [mm] $x\approx-0.01$, [/mm] die Funktion ist streng
monoton wachsend und [mm] $f(-200)\approx [/mm] -14.63203570$
EDIT : sorry, die maximale Steigung ist nur lokal bei [mm] $x\approx-0.01$.
[/mm]
Das globale Maximum ist in diesem Beispiel bei [mm] $x\to-\infty$
[/mm]
Sie geht für [mm] $x\to -\infty$ [/mm] "langsam" gegen [mm] $-\infty$ [/mm] und für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen 0.
EDIT : "langsam" bezieht sich wiederum auf das
lokale Verhalten
Vielleicht kannst Du ja argumentieren, wie man
schrittweise auf die Funktion kommt?
EDIT : Das erübrigt sich leider.
Gruß
Kai
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> [mm]f(x)=1.01^{-x}(\tanh(x)-1)[/mm]
>
> Die maximale Steigung ist bei [mm]x=0[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
naja, fast exakt bei x=0
mein Rechner sagt: bei [mm] x\approx-0.01 [/mm]
Hi Kai,
gratuliere zu der sehr schönen Lösung. Ich stelle
fest: du gehörst offenbar ebenfalls zu den Tüftlern,
die gerne mal eine schöne Lösung zu einer nicht
so "runden" Aufgabe suchen 
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Do 04.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
> naja, fast exakt bei x=0
> mein Rechner sagt: bei [mm]x\approx-0.01[/mm]
Jetzt bin ich schlauer, danke.
Ich hatte den Wert am Graphen abgelesen.
Bei Bestimmung der Nullstellen der zweiten
Ableitung habe ich auch [mm] $x\approx-0.01$ [/mm] raus.
Danke für das Kompliment.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Do 04.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kai,
> > [mm]f(x)=1.01^{-x}(\tanh(x)-1)[/mm]
aus Faulheit habe ich mir gerade mal nur den Graphen angeguckt - aber
kann es sein, dass diese Funktion nicht erfüllt, dass [mm] $f\,$ [/mm] "langsamer
gegen [mm] $-\infty$ [/mm] strebt" mit $x [mm] \to -\infty$?
[/mm]
(Ich müßte es jetzt nachrechnen, dafür bin ich zu faul.)
Ich habe aber auch mit der [mm] "$\tanh(x)-1$"-Funktion [/mm] rumgespielt. Man
könnte bei mir aber auch anderes nehmen, irgendwas wie [mm] $-\exp(-x)\,,$
[/mm]
mit gewissen Parametern ausstatten und die dann passend "rumschieben".
Ich definiere so eine Funktion halt stückweise.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Do 04.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
mir ist bewusst, dass meine Funktion die Bedingung
des sehr langsamen Strebens gegen [mm] $-\infty$ [/mm] für [mm] $x\to-\infty$
[/mm]
nicht erfüllt.
> (Ich müßte es
> jetzt nachrechnen, dafür bin ich zu faul.)
>
Da musst Du gar nicht rechnen. Ich weiss um diesen
Pferdefuß. Das liegt zum Teil daran, dass ich die "14-15"
anders interpretiert habe als Du. Die Aufgabenstellung
ist da mehrdeutig. Ich wollte fordern, dass [mm] $f(-200)\in[-15;-14]$
[/mm]
> Ich habe aber auch mit der "[mm]\tanh(x)-1[/mm]"-Funktion
> rumgespielt. Man
> könnte bei mir aber auch anderes nehmen, irgendwas wie
> [mm]-\exp(-x)\,,[/mm]
wenn Du den Fall $x>0$ meinst, stimme ich Dir zu.
Für $x<0$ verletzt [mm] $-e^{-x}$ [/mm] wieder oben genannte Bedingung.
> mit gewissen Parametern ausstatten und die dann passend
> "rumschieben".
> Ich definiere so eine Funktion halt stückweise.
>
Ich wollte eben keine Fallunterscheidung machen.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 04.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
jetzt muss ich doch eine Art Fallunterscheidung machen :
Sei $H(x):=Heaviside(x)$
Lass [mm] $f(x)=H(x)\cdot(tanh(x)-1)$ [/mm] und [mm] $g(x)=(1-H(x))\cdot(-1-\ln(1-x))$.
[/mm]
Desweiteren betrachte ich die Summe : $h(x)=f(x)+g(x)$.
Nun müsste - bis auf einige Parameter - die Funktion $h(x)$
den angegebenen Forderungen genügen.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:57 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> jetzt muss ich doch eine Art Fallunterscheidung machen :
>
> Sei [mm]H(x):=Heaviside(x)[/mm]
na, das ist ja schon selbst eine Funktion, die per Fallunterscheidung
definiert ist. (Ja, ich weiß: Mit der Indikatorfunktion läßt sich das
beheben... aber das kann man eigentlich bei allen Funktionen, in
denen (endlich viele) Fallunterscheidungen drinstecken. Wobei ich das
nun nicht beweisen will...)
> Lass [mm]f(x)=H(x)\cdot(tanh(x)-1)[/mm] und
> [mm]g(x)=(1-H(x))\cdot(-1-\ln(1-x))[/mm].
>
> Desweiteren betrachte ich die Summe : [mm]h(x)=f(x)+g(x)[/mm].
>
> Nun müsste - bis auf einige Parameter - die Funktion [mm]h(x)[/mm]
> den angegebenen Forderungen genügen.
Ehrlich gesagt: Am liebsten würde ich einfach mal den Graphen der
Funktion sehen, wenn Du die Parameter bestimmt hast. Bei meiner
Funktion, ich schreibe sie mal so:
[mm] $$f(x):=\mathds{1}_{|[0,\infty)}(x)\cdot s\cdot{}(\tanh(x)-1)+\mathds{1}_{(-\infty,0)}(x)\cdot \left( \,s\cdot{}\frac{200a}{a-s}\cdot{}\ln(\tfrac{200a}{s-a}-x)+s\cdot{}\left(\frac{200a}{s-a}\,\ln(\tfrac{200a}{s-a})\,-\,1\right)\right)\;\;\;\;\text{ (für alle }x \in \IR\text{)}\,,$$
[/mm]
( Du siehst: KEINE Fallunterscheidung mehr )
habe ich mich laufend (bei der "Konstruktion") verrechnet und mit
Testparametern dann am Ende mal geguckt, ob das gefundene Ergebnis
zusammenpasst - natürlich entsprechend den Forderungen, wie ich sie
auch verstanden hatte!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:43 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> mir ist bewusst, dass meine Funktion die Bedingung
> des sehr langsamen Strebens gegen [mm]-\infty[/mm] für
> [mm]x\to-\infty[/mm]
> nicht erfüllt.
>
> > (Ich müßte es
> > jetzt nachrechnen, dafür bin ich zu faul.)
> >
>
> Da musst Du gar nicht rechnen. Ich weiss um diesen
> Pferdefuß. Das liegt zum Teil daran, dass ich die
> "14-15"
> anders interpretiert habe als Du. Die Aufgabenstellung
> ist da mehrdeutig. Ich wollte fordern, dass
> [mm]f(-200)\in[-15;-14][/mm]
joa, da wäre mal eine Rückmeldung vom Fragesteller toll, ob nun $f(-200)$
in [mm] $[-15,-14]\,$ [/mm] liegen soll, oder ob [mm] $\red{f\,'}(-200)$ [/mm] in [mm] $[14,15]\,$ [/mm] sein soll!
> > Ich habe aber auch mit der "[mm]\tanh(x)-1[/mm]"-Funktion
> > rumgespielt. Man
> > könnte bei mir aber auch anderes nehmen, irgendwas wie
> > [mm]-\exp(-x)\,,[/mm]
>
> wenn Du den Fall [mm]x>0[/mm] meinst, stimme ich Dir zu.
Ja, bei dem anderen Teil benutze ich ja nirgends etwas mit [mm] $\tanh(x)-1\,.$
[/mm]
> Für [mm]x<0[/mm] verletzt [mm]-e^{-x}[/mm] wieder oben genannte Bedingung.
Da kann man sich wieder was zusammenbasteln, entsprechend, wie ich
das getan habe!
> > mit gewissen Parametern ausstatten und die dann passend
> > "rumschieben".
>
> > Ich definiere so eine Funktion halt stückweise.
> >
>
> Ich wollte eben keine Fallunterscheidung machen.
Verständlich. Ist ja auch nicht eine schöne geschlossene Form. Aber man
kann vielleicht auch eine passende "geschlossene Funktionsbeschreibung"
mal mit gewissen Parametern versehen. Ich finde es sinnvoll, wenn man
halt diesen "Wert für $x [mm] \approx [/mm] -200$" rausbekommt - wie auch immer das
nun gemeint war - aber vor allem schön, wenn man "die maximale Steigung"
auch vorgeben kann. Das war meine Motivation für diese
"zusammengebastelte Funktion".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Fr 05.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
> joa, da wäre mal eine Rückmeldung vom Fragesteller toll,
> ob nun [mm]f(-200)[/mm]
> in [mm][-15,-14]\,[/mm] liegen soll, oder ob [mm]\red{f\,'}(-200)[/mm] in
> [mm][14,15]\,[/mm] sein soll!
Letzteres passt eigentlich nicht dazu, dass die maximale
Steigung um x=0 liegen soll. Zu fordern, dass $f'(0)>14$ schränkt
die zu findende Funktion stark ein.
Wie auch immer, wenn $ [mm] g(x)=(1-Heaviside(x))\cdot(-1-\ln(1-3647\cdot [/mm] x)) $,
so ist [mm] $f(-200)\in[-15;-14]$
[/mm]
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kai,
> Hallo Marcel,
>
> > joa, da wäre mal eine Rückmeldung vom Fragesteller toll,
> > ob nun [mm]f(-200)[/mm]
> > in [mm][-15,-14]\,[/mm] liegen soll, oder ob [mm]\red{f\,'}(-200)[/mm] in
> > [mm][14,15]\,[/mm] sein soll!
>
> Letzteres passt eigentlich nicht dazu, dass die maximale
> Steigung um x=0 liegen soll. Zu fordern, dass [mm]f'(0)>14[/mm]
> schränkt die zu findende Funktion stark ein.
tut's nicht - lass' Dir mal einen Graphen von meinen Funktionen plotten.
Übrigens gibt's hier nicht "DIE zu findende Funktion", sondern "EINE zu
findende Funktion".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 05.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
> > > joa, da wäre mal eine Rückmeldung vom Fragesteller toll,
> > > ob nun [mm]f(-200)[/mm]
> > > in [mm][-15,-14]\,[/mm] liegen soll, oder ob [mm]\red{f\,'}(-200)[/mm]
> in
> > > [mm][14,15]\,[/mm] sein soll!
> >
> > Letzteres passt eigentlich nicht dazu, dass die maximale
> > Steigung um x=0 liegen soll. Zu fordern, dass [mm]f'(0)>14[/mm]
> > schränkt die zu findende Funktion stark ein.
>
> tut's nicht - lass' Dir mal einen Graphen von meinen
> Funktionen plotten.
>
Meinst Du
[mm]f(x):=\mathds{1}_{|[0,\infty)}(x)\cdot s\cdot{}(\tanh(x)-1)+\mathds{1}_{(-\infty,0)}(x)\cdot \left( \,s\cdot{}\frac{200a}{a-s}\cdot{}\ln(\tfrac{200a}{s-a}-x)+s\cdot{}\left(\frac{200a}{s-a}\,\ln(\tfrac{200a}{s-a})\,-\,1\right)\right)\;\;\;\;\text{ (für alle }x \in \IR\text{)}\,, [/mm]?
Wie wähle ich a und s?
> Übrigens gibt's hier nicht "DIE zu findende Funktion",
> sondern "EINE zu
> findende Funktion".
Du hast natürlich Recht.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kai,
> Hallo Marcel,
>
> > > > joa, da wäre mal eine Rückmeldung vom Fragesteller toll,
> > > > ob nun [mm]f(-200)[/mm]
> > > > in [mm][-15,-14]\,[/mm] liegen soll, oder ob
> [mm]\red{f\,'}(-200)[/mm]
> > in
> > > > [mm][14,15]\,[/mm] sein soll!
> > >
> > > Letzteres passt eigentlich nicht dazu, dass die maximale
> > > Steigung um x=0 liegen soll. Zu fordern, dass
> [mm]f'(0)>14[/mm]
> > > schränkt die zu findende Funktion stark ein.
> >
> > tut's nicht - lass' Dir mal einen Graphen von meinen
> > Funktionen plotten.
> >
> Meinst Du
> [mm]f(x):=\mathds{1}_{|[0,\infty)}(x)\cdot s\cdot{}(\tanh(x)-1)+\mathds{1}_{(-\infty,0)}(x)\cdot \left( \,s\cdot{}\frac{200a}{a-s}\cdot{}\ln(\tfrac{200a}{s-a}-x)+s\cdot{}\left(\frac{200a}{s-a}\,\ln(\tfrac{200a}{s-a})\,-\,1\right)\right)\;\;\;\;\text{ (für alle }x \in \IR\text{)}\,, [/mm]?
>
> Wie wähle ich a und s?
na, gemäß meinen Forderungen $0 < a < [mm] s\,$ [/mm] mit $a [mm] \in [14,15]\,.$ [/mm] Ich
hatte mal [mm] $s=18\,$ [/mm] und $a=14,5$ gewählt. Und ja: Das ist die Funktion,
aber wenn Du die Indikatorfunktion nicht plotten lassen kannst, dann
kannst Du sie per Fallunterscheidung plotten lassen (in gnuplot etwa).
Auf die Schnelle kannst Du auch einfach beide der Funktionen, die da
zusammengesetzt sind, auf [mm] $\IR$ [/mm] plotten und Dir dann angucken, wie die
"durch Fallunterscheidung zusammengesetzte Funktion" aussehen würde,
so habe ich das mit Funkyplot gemacht. Aber eigentlich interessiert Dich
hier doch eh nur
$$x [mm] \mapsto \,s\cdot{}\frac{200a}{a-s}\cdot{}\ln(\tfrac{200a}{s-a}-x)+s\cdot{}\left(\frac{200a}{s-a}\,\ln(\tfrac{200a}{s-a})\,-\,1\right)$$ [/mm]
für $x < [mm] 0\,.$
[/mm]
> > Übrigens gibt's hier nicht "DIE zu findende Funktion",
> > sondern "EINE zu
> > findende Funktion".
>
> Du hast natürlich Recht.
Das gleiche gilt übrigens auch, wenn man das mit dem, was der Lehrer
da mitgibt, zusammensetzt. Denn er macht keine wirklichen Vorgaben
über den Graphen der Funktion, die er da plottet, und außerhalb des
Bereichs, wo man den Plot sieht, kann man daher mit der Funktion
machen, was man will. Und selbst, wenn man Stetigkeit oder Diff'barkeit
fordert, hat man zu viel Spielraum. In diesem Sinne: Ich frag' mich
manchmal, was so mancher Lehrer mit "solch' einer Aufgabe" eigentlich
bezweckt. ("Schreibe mir eine der unendlich vielen Lösungen dieser
'Aufgabe' explizit hin!")
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Fr 05.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
ich habe mir die Funktion mal für $a=14.5$ und $s=18$
plotten lassen.
Muss sie aussehen wie eine Gerade oder habe ich mich
da irgendwo vertippt?
Die Ableitung ist für $x=-200 : 14.5=a$ und $x=0 : 18=s$ und damit
größer. Da hast Du recht.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo Marcel,
>
> ich habe mir die Funktion mal für [mm]a=14.5[/mm] und [mm]s=18[/mm]
> plotten lassen.
>
> Muss sie aussehen wie eine Gerade
?? Sicher nicht.
> oder habe ich mich
> da irgendwo vertippt?
>
> Die Ableitung ist für [mm]x=-200 : 14.5=a[/mm] und [mm]x=0 : 18=s[/mm] und
> damit
> größer. Da hast Du recht.
Ich zeige Dir nachher mal den Plot (den man sich so nur für $x < [mm] 0\,$ [/mm]
angucken sollte).
Gruß,
Marcel
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Pferdefüße und andere nicht unbedingt erwünschte
Teile werden doch ohnehin zu ganz appetitlich
erscheinenden Produkten weiterverarbeitet ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Do 04.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> Ich brauche eine Funktion, die sich komplett unter der
> x-Achse befindet. Der Graph geht im Plus-Unendlich gegen 0.
> Seine größte Steigung hat der Graph bei einem x-Wert um 0
> herum. Die Funktion geht im Minus-Unendlich gegen
> Minus-Unendlich, jedoch nur sehr langsam. Im
> Minus-Unendlich hat die Funktion somit eine relativ geringe
> Steigung. Der Graph ist streng monoton steigend. Wenn mann
> -200 für x einsetzt, sollte ein Wert von ungefähr 14-15
> rauskommen. Könntet ihr mir da weiterhelfen.
okay, was wissen wir: $f(x) < [mm] 0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Zudem soll, auch, wenn
Du das nicht genau so formuliert hast, [mm] $f\,'$ [/mm] an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] maximal
sein, weiterhin [mm] $f\,$ [/mm] streng monoton wachsend, also können wir auch
direkt mal [mm] $f\,' [/mm] > 0$ fordern.
Für [mm] $x=-200\,$ [/mm] soll - ansonsten macht die Forderung $f < [mm] 0\,$ [/mm] ja keinen Sinn,
wohl [mm] $\red{f\;'}(x)=f\,'(-200) \in [/mm] [14,15]$ liegen, fordern wir einfach mal [mm] $f\,'(-200)=a$ [/mm]
mit $a [mm] \in [14,15]\,.$
[/mm]
Weiterhin $f(x) [mm] \to [/mm] 0$ bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] und $f(x) [mm] \to -\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Ich definiere [mm] $f(x)\,$ [/mm] wie folgt ($s > [mm] 0\,$ [/mm] sei freier Paramter):
[mm] $$f(x):=s*(\tanh(x)-1)\, \text{ für }x \ge 0\,.$$
[/mm]
Die Funktion $x [mm] \mapsto \tanh(x)\,$ [/mm] ist diff'bar mit Ableitung $x [mm] \mapsto \frac{1}{\cosh^2(x)}\,,$
[/mm]
demnach hat obiges [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] die rechtsseitige Ableitung
[mm] $f\,'_+(0)=s\,.$
[/mm]
Nun definieren wir für $x < [mm] 0\,$ [/mm] einfach
[mm] $$f(x):=\;m\;\ln(x_0-x)+n\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $m,n\,$ [/mm] und [mm] $x_0 [/mm] > 0$ noch zu bestimmen sind.
1. Aus
[mm] $$f\,'(x)=\frac{-\;m}{x_0-x}$$
[/mm]
und [mm] $\lim_{0 > x \to 0}f\,'(x)=s$ [/mm] folgt
[mm] $$m=\;-\;s\,x_0\,.$$
[/mm]
Also [mm] $f(x)=\,-\,s\,x_0\;\ln(x_0-x)+n\,.$
[/mm]
2. Wegen [mm] $\lim_{0 > x \to 0}f(x)=s*(\tanh(0)-1)=-s$ [/mm] folgt
[mm] $$-\,s\,x_0\,\ln(x_0)+n=-s\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$n=s*(x_0\,\ln(x_0)\,-\,1)\,.$$
[/mm]
Daher
[mm] $$f(x)=\,-\,s\,x_0\;\ln(x_0-x)+s*(x_0\,\ln(x_0)\,-\,1)\;\;\;\; \text{ für }\;\;x [/mm] < [mm] 0\,.$$
[/mm]
3. Wegen [mm] $f\,'(-200)=a\,$ [/mm] folgt
[mm] $$\frac{sx_0}{x_0+200}=a$$
[/mm]
[mm] $$\iff x_0\cdot [/mm] (s-a)=200a$$
[mm] $$\iff x_0=\frac{200a}{s-a}\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$f(x)=\,s*\frac{200a}{a-s}*\ln(\tfrac{200a}{s-a}-x)+s*\left(\frac{200a}{s-a}\,\ln(\tfrac{200a}{s-a})\,-\,1\right)\,$$
[/mm]
für $x < [mm] 0\,.$
[/mm]
Fazit:
[mm] $$f(x)=\begin{cases} s*(\tanh(x)-1), & \mbox{für } x \ge 0 \\ \,s*\frac{200a}{a-s}*\ln(\tfrac{200a}{s-a}-x)+s*\left(\frac{200a}{s-a}\,\ln(\tfrac{200a}{s-a})\,-\,1\right), & \mbox{für } x < 0 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Hier ist allerdings stets die Forderung $s > [mm] a\,$ [/mm] zu beachten!
P.S. Wenn Du "die größte Steigung um den x-Wert [mm] $0\,$ [/mm] herum" noch
einbauen willst, so nimmst Du obige Funktion [mm] $f\,$ [/mm] und "schiebst sie ein
wenig nach rechts oder links". Oben ist [mm] $f\,'$ [/mm] wirklich für [mm] $x=0\,$ [/mm] maximal,
und [mm] $f\,'\,$ [/mm] hat dort den Wert $s > [mm] 0\,,$ [/mm] den Du vorgeben kannst (es sollte,
wie gesagt, $s > [mm] a\,$ [/mm] sein, und wenn Du $a [mm] \in [/mm] [14,15]$ hast, kannst Du
mit Sicherheit jedes $s > [mm] 15\,$ [/mm] wählen!)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
du hast da einen ziemlichen Aufwand getrieben, um
eine geschlossen darstellbare Funktion aufzustellen,
welche möglicherweise etwa dem entsprechen könnte,
was der Fragende gesucht hat.
Da dieser (Estroy) sich bisher aber noch nicht einmal
die Mühe genommen hat, auf die allererste Mitteilung
(von Valerie20) zu antworten, welche nach einer Präzi-
sierung und einem Zweck fragte, ist es vielleicht fast
zuviel der Mühe, welche umgekehrt du, kaju35 und ich
schon investiert haben, um auf eine recht ungenaue
Fragestellung möglichst gute Antworten zu liefern ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:49 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo Marcel,
>
> du hast da einen ziemlichen Aufwand getrieben, um
> eine geschlossen darstellbare Funktion aufzustellen,
> welche möglicherweise etwa dem entsprechen könnte,
> was der Fragende gesucht hat.
ich bastel sowas aber auch gerne - brauchte etwas ähnliches schonmal
bei meiner letzten Arbeitsstelle, wobei die Forderungen da ein wenig
anders waren.
> Da dieser (Estroy) sich bisher aber noch nicht einmal
> die Mühe genommen hat, auf die allererste Mitteilung
> (von Valerie20) zu antworten, welche nach einer Präzi-
> sierung und einem Zweck fragte, ist es vielleicht fast
> zuviel der Mühe, welche umgekehrt du, kaju35 und ich
> schon investiert haben, um auf eine recht ungenaue
> Fragestellung möglichst gute Antworten zu liefern ...
Es wirkt ein wenig enttäuschend, dass sich Estroy bisher noch nicht zu
Wort gemeldet hat, da gebe ich Dir recht. Aber andererseits: Ein bisschen
Zeit müssen wir schon noch gewähren, wenn bis übermorgen keine
Reaktion kommt, dann frage ich mich auch nach dem "Dringlichkeitsbedarf"
der Frage bzw. dem Interesse an einer Lösung. Aber nicht jeder stellt eine
Frage und schaut permanent nach einer Antwort - da können ruhig auch
mal mehrere Stunden oder 1 bis 2 Tage dazwischenliegen. Manche haben
ja auch noch Zeitdruck, um andere Dinge zu erledigen, oder müssen/wollen
vielleicht auch noch nebenher jobben. Ein bisschen in Geduld müssen wir
uns da schon üben.
P.S. Bei der letzten Frage hatte Estroy sich auch "erst" am nächsten Tag
wieder zu Wort gemeldet! Ich denke also, dass wir vermutlich eher
morgen (d.h. eigentlich heute, da nach 0 Uhr) mit einer Rückmeldung
rechnen sollten.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Es tut mir Leid, dass ich meine Aufgabe nicht besonders präzise formulieren kann, zudem konnte ich gestern nicht antworten, weil komplett in meine Arbeit versunken war. Vielen Dank von euch, dass ihr so schnell auf meine Frage geantwortet habt. Ich meinte mit 14-15, dass wenn man einen x-Wert von -200 einsetzt kommt ein y Wert von -14,5 usw. raus. Ich suche eigentlich eine möglichst einfache Funktion, ohne diverse Parameter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Fr 05.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Estroy,
ich bezweifel, dass Du für die angegebenen
Eck-Daten eine einfachere Funktion findest.
Abgesehen davon, dass Du auf einmal schreibst
für $x=200$ anstatt wie in der ursprünglichen
Frage $x=-200$?
Magst Du uns verraten, wofür du die
Funktion denn brauchst?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Tut mir leid, natürlich meine ich -200 für den x-Wert, da habe ich mich wohl verschrieben. Ich versuche komplexe Funktionen zu einfachen Termen zu verbinden, um am Ende schöne Funktionen zu erhalten.
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> Tut mir leid, natürlich meine ich -200 für den x-Wert, da
> habe ich mich wohl verschrieben. Ich versuche komplexe
> Funktionen zu einfachen Termen zu verbinden, um am Ende
> schöne Funktionen zu erhalten.
Mit "komplexe Funktionen" meinst du wohl hier
so etwas wie "Funktionen mit komplizierten Funk-
tionstermen" oder "stückweise definierte Funktionen" ?
Oder denkst du etwa doch an eigentliche "komplexe
Funktionen" , d.h. Funktionen $\ [mm] f:\,\IC\to\IC$ [/mm] ?
Es wäre immer noch nützlich, wenn du uns einen
irgendwie "praktischen" Grund angeben könntest,
der zu der Vorgabe (mit f(x)<0 und [mm] f(-200)\approx [/mm] -14 etc.)
geführt hat.
Von welchen (noch nicht ganz so "schönen") Funktionen
ausgehend kommst du denn zu dieser Frage ?
Also nochmals: was soll das Ganze wirklich ?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Mein Mathematiklehrer hat mir einen Funktionsgraphen gezeigt, der die, wie oben beschriebenen Angaben enthält. Meine Aufgabe ist es einen möglichen Funktionsterm zu suchen. Die Funktion sollte so aussehen. Der Term sollte eine möglichst einfache Struktur aufweisen (Keine Paramater, kein erf, keine Betragsfunktionen)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Fr 05.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Estroy,
wenn Du sicherstellen willst, dass [mm] $f(-200)\approx [/mm] -14.5$
ist, brauchst Du doch einen Parameter, an dem Du
"drehen" kannst, oder nicht?
Anhand des Graphen kann ich $f(-200)$ nicht ersehen.
Eine elegante Lösung würde mich aber auch interessieren.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Das wäre jetzt Der Graph der Funktion, jedoch ist dieser stark verkürzt (siehe Sprung -5, -200, dies nur aus Platzgründen), jedoch lässt sich an diesem Graphen erkennen, dass sich bei f(-200)=-14,5 ergibt. So sollte der Graph des Funktionsterms ungefähr aussehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Fr 05.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Estroy,
ich weiß beim besten Willen nicht, wie der
Graph zustande kommt. Was hast Du / Dein
Lehrer denn in den Funktionsplotter eingegeben
um diesen Funktionsverlauf zu erhalten?
Ja : [mm] $f(-200)\approx-14.5$, [/mm] aber die maximale
Steigung ist nicht bei [mm] $x\approx0$.
[/mm]
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Mein Lehrer hat mir insgesamt 30 x-Werte und die dazu gehörigen y-Werte gegeben. Ich habe die Werte in Excel eingegeben und mir ein Liniendiagramm erstellen lassen. Die Aufgabe, die sich dahinter verbirgt, ist die Suche nach einem Funktionsterm, der diesen Graphen repräsentiert. Die größte Steigung ist wirklich im Bereich um 0 herum.
LG, Daniel
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> Mein Lehrer hat mir insgesamt 30 x-Werte und die dazu
> gehörigen y-Werte gegeben. Ich habe die Werte in Excel
> eingegeben und mir ein Liniendiagramm erstellen lassen. Die
> Aufgabe, die sich dahinter verbirgt, ist die Suche nach
> einem Funktionsterm, der diesen Graphen repräsentiert. Die
> größte Steigung ist wirklich im Bereich um 0 herum.
>
> LG, Daniel
Aha, dein Lehrer geht also irgendwie nach dem
Prinzip vor: "schaut mal her, ich weiß etwas, das
ihr nicht wisst" , zeigt euch einen Graph und eine
Wertetabelle - und ihr sollt bitte die dahinter
steckende Funktion herausfinden ...
Ich denke aber, dass es nicht zu viel verlangt
wäre, dass er wenigstens gewisse kleine Hinweise
geben würde, in welchem Bereich von Funktionen
man etwa suchen solle. Hinweise in der Art wie "man
kommt mit rationalen Termen und Quadratwurzeln
aus" oder "eine Exponentialfunktion steckt drin"
oder eine genauere Angabe über das Verhalten
für [mm] x\to-\infty [/mm] könnten da sehr hilfreich sein.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das wäre jetzt Der Graph der Funktion, jedoch ist dieser
> stark verkürzt (siehe Sprung -5, -200, dies nur aus
> Platzgründen), jedoch lässt sich an diesem Graphen
> erkennen, dass sich bei f(-200)=-14,5 ergibt. So sollte der
> Graph des Funktionsterms ungefähr aussehen.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
na toll - was will denn Dein Mathelehrer damit eigentlich bezwecken? Aber
egal:
An Deiner Stelle würde ich mir auch mal überlegen, wo Du hier
"Wendepunkte" in etwa siehst. Übrigens sieht dieser Graph dort nicht
wirklich wie der Graph einer diff'baren Funktion aus - ich hoffe, dass das
nur an dem "Stauchen" liegt, was gemacht wurde, damit man "mehr" vom
Graph erkennt!
Ansonsten, neben den bisherigen Lösungen: Vielleicht bastel ich
demnächst mal noch was zusammen. Das Ding hier ist ja eigentlich: Man
kann sehr viele Ansätze verfolgen und muss sich erstmal klarmachen, ob
der Ansatz, den man verfolgt, irgendwie "sinnvoll" ist... Und da hätte der
Lehrer eigentlich mehr Vorgaben machen müssen/sollen...
Gruß,
Marcel
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> Mein Mathematiklehrer hat mir einen Funktionsgraphen
> gezeigt, der die, wie oben beschriebenen Angaben enthält.
> Meine Aufgabe ist es einen möglichen Funktionsterm zu
> suchen. Die Funktion sollte so aussehen. Der Term sollte
> eine möglichst einfache Struktur aufweisen (Keine
> Paramater, kein erf, keine Betragsfunktionen)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Na schön ...
Nett wäre es eigentlich gewesen, wenn du uns gleich
von Anfang an diesen Graph geliefert hättest - dann
wären eine ganze Reihe Spekulationen nicht nötig
gewesen.
Da dieser Graph nun offensichtlich computergeneriert
ist, ist die Frage von Kai berechtigt: nach welchem
Rezept hat denn der Computer die Kurve gezeichnet ?
Ausgehend von meinem Ansatz mittels Wurzeltermen
$ \ f(x)\ =\ [mm] k\cdot{}\sqrt{\,-x\,+\,\sqrt{x^2+c}\,} [/mm] $
könnte man nun mit den darin vorhandenen Parametern
c und k etwas rumspielen und vielleicht noch weitere
Parameter einführen, z.B. etwa so:
$ [mm] \mbox{\LARGE{ f(x)\ =\ k\,\cdot{}\,\sqrt[r]{\,-x\,+\,\sqrt[n]{x^n+c}\,}}} [/mm] $
Ich bin mir ziemlich sicher, dass auf dieser Schiene
mittels Probieren etwas recht gut passendes
gefunden werden könnte. Zum Probieren würde
man am besten ein Hilfsprogramm (aus dem Netz)
einsetzen, bei dem man die Parameterwerte
mittels Schiebereglern variieren kann.
Dieses Pröbeln überlasse ich jetzt aber gerne dir
oder anderen ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Danke erstmal für deine Hilfe. Diese Art von Funktionsskelett sieht gar nicht so schlecht aus.
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Fr 05.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Estroy,
inspiriert von Al-Chwarizmi's klasse Lösung
bin ich hergegangen und habe etwas mit
den Parametern gespielt.
Die Funktion, auf die ich gekommen bin
lautet : [mm] $f(x)=-0.725\cdot\sqrt{-x+\sqrt[4]{x^4+1}}$
[/mm]
Gruß
Kai
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> Hallo Estroy,
>
> inspiriert von Al-Chwarizmi's klasse Lösung
> bin ich hergegangen und habe etwas mit
> den Parametern gespielt.
>
> Die Funktion, auf die ich gekommen bin
> lautet : [mm]f(x)=-0.725\cdot\sqrt{-x+\sqrt[4]{x^4+1}}[/mm]
>
> Gruß
> Kai
Hallo Kai ,
super !
jetzt brauchen wir nur noch die exakten Werte aus
Estroys Tabelle, um den geheimnisvollen Term seines
Lehrers ganz exakt festzunageln !
Hübsch, was vereinte Kräfte zustande bringen können
Schönen Abend noch !
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Fr 05.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Estroy,
meinst Du etwa eine Art Teleskop-Term, wo sich ein
langer Term zu einem kurzen, "schönen" Ausdruck
reduzieren lässt?
Ich verstehe nicht, was Du mit "verbinden" meinst.
Für Dein Beispiel hätte ich in kurzer Form anzubieten :
[mm] $f(x)=\begin{cases} tanh(x)-1, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -1-ln(1-3647.08\cdot x), & \mbox{für }x<0 \end{cases}$
[/mm]
Aber ich vermute, dass das, was Du suchst, etwas Anderes
ist.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wenn man nun anstatt [mm] $f\,'(-200) \approx [/mm] 14$ die Forderung $f(-200)=a [mm] \in [/mm] [14,15]$ stellt, dann hätte man hier:
> Hallo,
>
> > Hallo zusammen,
> >
> > Ich brauche eine Funktion, die sich komplett unter der
> > x-Achse befindet. Der Graph geht im Plus-Unendlich gegen 0.
> > Seine größte Steigung hat der Graph bei einem x-Wert um 0
> > herum. Die Funktion geht im Minus-Unendlich gegen
> > Minus-Unendlich, jedoch nur sehr langsam. Im
> > Minus-Unendlich hat die Funktion somit eine relativ geringe
> > Steigung. Der Graph ist streng monoton steigend. Wenn mann
> > -200 für x einsetzt, sollte ein Wert von ungefähr 14-15
> > rauskommen. Könntet ihr mir da weiterhelfen.
>
> okay, was wissen wir: [mm]f(x) < 0\,[/mm] für alle [mm]x \in \IR\,.[/mm]
> Zudem soll, auch, wenn
> Du das nicht genau so formuliert hast, [mm]f\,'[/mm] an der Stelle
> [mm]x=0\,[/mm] maximal
> sein, weiterhin [mm]f\,[/mm] streng monoton wachsend, also können
> wir auch
> direkt mal [mm]f\,' > 0[/mm] fordern.
>
> Für [mm]x=-200\,[/mm] soll - ansonsten macht die Forderung [mm]f < 0\,[/mm]
> ja keinen Sinn,
> wohl [mm]\red{f\;'}(x)=f\,'(-200) \in [14,15][/mm] liegen, fordern
> wir einfach mal [mm]f\,'(-200)=a[/mm]
> mit [mm]a \in [14,15]\,.[/mm]
>
> Weiterhin [mm]f(x) \to 0[/mm] bei [mm]x \to \infty[/mm] und [mm]f(x) \to -\infty[/mm]
> bei [mm]x \to \infty\,.[/mm]
>
> Ich definiere [mm]f(x)\,[/mm] wie folgt ([mm]s > 0\,[/mm] sei freier
> Paramter):
> [mm]f(x):=s*(\tanh(x)-1)\, \text{ für }x \ge 0\,.[/mm]
>
> Die Funktion [mm]x \mapsto \tanh(x)\,[/mm] ist diff'bar mit
> Ableitung [mm]x \mapsto \frac{1}{\cosh^2(x)}\,,[/mm]
> demnach hat
> obiges [mm]f\,[/mm] an der Stelle [mm]0\,[/mm] die rechtsseitige Ableitung
> [mm]f\,'_+(0)=s\,.[/mm]
>
> Nun definieren wir für [mm]x < 0\,[/mm] einfach
> [mm]f(x):=\;m\;\ln(x_0-x)+n\,,[/mm]
>
> wobei [mm]m,n\,[/mm] und [mm]x_0 > 0[/mm] noch zu bestimmen sind.
>
>
> 1. Aus
> [mm]f\,'(x)=\frac{-\;m}{x_0-x}[/mm]
> und [mm]\lim_{0 > x \to 0}f\,'(x)=s[/mm] folgt
> [mm]m=\;-\;s\,x_0\,.[/mm]
>
> Also [mm]f(x)=\,-\,s\,x_0\;\ln(x_0-x)+n\,.[/mm]
>
>
> 2. Wegen [mm]\lim_{0 > x \to 0}f(x)=s*(\tanh(0)-1)=-s[/mm] folgt
> [mm]-\,s\,x_0\,\ln(x_0)+n=-s\,,[/mm]
> also
> [mm]n=s*(x_0\,\ln(x_0)\,-\,1)\,.[/mm]
>
> Daher
>
> [mm]f(x)=\,-\,s\,x_0\;\ln(x_0-x)+s*(x_0\,\ln(x_0)\,-\,1)\;\;\;\; \text{ für }\;\;x < 0\,.[/mm]
>
>
> 3. Wegen [mm]f\,'(-200)=a\,[/mm] folgt
> [mm]\frac{sx_0}{x_0+200}=a[/mm]
> [mm]\iff x_0\cdot (s-a)=200a[/mm]
> [mm]\iff x_0=\frac{200a}{s-a}\,.[/mm]
halt 3. zu ersetzen durch
[mm] $$f(-200)=a\,$$
[/mm]
[mm] $$\iff -s\,x_0 \ln(x_0+200)+s\,(x_0\,\ln(x_0)-1)=a$$
[/mm]
[mm] $$\iff x_0*(\,\ln(x_0)-\ln(x_0+200)\,)=\frac{a+s}{s}\,.$$
[/mm]
Ich sehe allerdings gerade nicht, wie man diese Gleichung "elementar"
nach [mm] $x_0$ [/mm] auflösen kann - eventuell geht das auch nicht (so einfach).
Ist halt die Frage, wie "gut" der gegebene Graph approximiert werden soll.
Wenn ich mal Zeit und Lust habe, denke ich mir vielleicht mal für [mm] $f_{|(-\infty,0)}$
[/mm]
eine andere, noch passende Funktionsbeschreibung aus. Ich würde
übrigens dazu tendieren, entgegen dem Rat des Lehrers erstmal
Parameter mitzunehmen - wenn man etwa durch rumspielen diese
passend angepasst hat, gibt man sie am Ende konkret an und hat dann
eine Funktionsbeschreibung ohne Parameter!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Danke für den Tipp mit den Parametern.
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Wie wäre es mit der (an Einfachheit schwer zu über-
treffenden) Funktion
$\ [mm] y\mapsto\ [/mm] x\ =\ [mm] -\,y^2\,-\,\frac{1}{y}$ [/mm] ??
Definitionsbereich: [mm] $\IR^{-}\ [/mm] =\ [mm] \{\,y\in\IR\ :\ y<0\,\}$
[/mm]
(es hat ja niemand vorgeschrieben, dass es sich
um eine Funktion $\ [mm] x\mapsto [/mm] y$ handeln müsse ... )
[Dateianhang nicht öffentlich]
( zu vergleichen mit der Version von Estroy )
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Sa 06.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Dein Graph sieht sehr schön aus.
Wie kommst Du auf ihn? Er ist so wie
ich das verstehe die Umkehrfunktion
von [mm] $y\to x=-y^2-\frac{1}{y}$ [/mm] für $y<0$?
Wie stelle ich das um nach y?
Oder gibt es so etwas wie "inverseplot"?
Ansonsten : genialer Ansatz 
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Dein Graph sieht sehr schön aus.
> Wie kommst Du auf ihn?
gute Frage - die hätte ich auch gestellt!
> Er ist so wie
> ich das verstehe die Umkehrfunktion
So sehe ich das auch!
> von [mm]y\to x=-y^2-\frac{1}{y}[/mm] für [mm]y<0[/mm]?
> Wie stelle ich das um nach y?
ich würde sagen:
[mm] $$x=-y^2-\frac{1}{y}$$
[/mm]
mit [mm] $y\,$ [/mm] multiplizieren, alles auf eine Seite und dann gibt's die
Cardanische Formel(n).
(Ich habe gerade übrigens mit Googel bei der Suche nach dem Namen da,
als ich einfach "Nullstellen kubischer Gleichungen" gesucht habe, irgendwo
den Unsinn gelesen, dass es bei Polynomen dritten Grades und höher
keine Formel zur Nullstellenberechnung gibt. Das ist bei Polynomen dritten
Grades Unsinn, wofür gibt's denn die Cardanische Formeln?)
Wird vielleicht unschön wegen Fallunterscheidungen.
P.S. Wieso Inverseplot? Umkehrfunktionen haben einfach was mit "Spiegelung
des Graphen an der Geraden mit der Geradengleichung [mm] $y=x\,$" [/mm] zu tun.
Wenn man den Graphen einer umkehrbaren Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] kennt, ist es
fast trivial, den der Umkehrfunktion zu zeichnen. Übrigens ergibt sich dieser
"geometrische Zusammenhang" gerade per Definitionem, und passt auch
zu dem, was man algebraisch macht: "Vertausche $x [mm] \leftrightarrow y$ (und stelle nach $y\,$ um)".
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Sa 06.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
> P.S. Wieso Inverseplot? Umkehrfunktionen haben einfach was
> mit "Spiegelung
> des Graphen an der Geraden mit der Geradengleichung [mm]y=x\,[/mm]"
> zu tun.
Ja, das weiß ich.
> Wenn man den Graphen einer umkehrbaren Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm]
> kennt, ist es
> fast trivial, den der Umkehrfunktion zu zeichnen. Übrigens
Trivial für Menschen, aber auch für die Mathe-Software?
> ergibt sich dieser
> "geometrische Zusammenhang" gerade per Definitionem, und
> passt auch
> zu dem, was man algebraisch macht: "Vertausche [mm]x \leftrightarrow y[/mm]
> (und stelle nach [mm]y\,[/mm] um)".
>
> Gruß,
> Marcel
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kai,
> Hallo Marcel,
>
> > P.S. Wieso Inverseplot? Umkehrfunktionen haben einfach was
> > mit "Spiegelung
> > des Graphen an der Geraden mit der Geradengleichung
> [mm]y=x\,[/mm]"
> > zu tun.
>
> Ja, das weiß ich.
>
> > Wenn man den Graphen einer umkehrbaren Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm]
> > kennt, ist es
> > fast trivial, den der Umkehrfunktion zu zeichnen. Übrigens
>
> Trivial für Menschen, aber auch für die Mathe-Software?
ich bin kein Programmierer (jedenfalls kein wirklich guter), aber solche
"symmetrischen Operationen" auf ein Bild anzuwenden, sollte doch drin
sein?
Ich meine, neben der Spiegelung an einer speziellen Geraden kannst Du
das auch so machen: Drehe das Koordinatensystem um [mm] $\,-\,90$° [/mm] Grad,
d.h. in einem neuen Koordinatensystem wäre die alte [mm] $y\,$-Achse [/mm] die neue
[mm] $x\,$-Achse [/mm] (beides kartesische Kordinatensysteme mit gleichen "Einheitslängen")
und spiegele den gedrehten Graphen an der "gedrehten [mm] $y\,$-Achse", [/mm] also
der [mm] $x\,$-Achse [/mm] des neuen Koordinatensystems.
Grund: Ein Punkt [mm] $(x|y)\,$ [/mm] wird durch die Drehung im neuen
Koordinatensystem auf den den Punkt [mm] $(y|-x)\,$ [/mm] gebracht, die Spiegelung
führt dann zu dem Punkt [mm] $(y|x)\,.$ [/mm] Mir ist aber schon bewußt, dass man
beim Plotten von Graphen schon "Hilfsmittel" benutzt. Keine Ahnung, ob
und wie das Softwaretechnisch funktioniert. Aber Du kannst doch einfach
Dir den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] angucken, und schlimmstenfalls speicherst Du
das als Bilddatei ab und läßt irgendein Bildbearbeitungsprogramm diese
Operationen durchführen. Dass die Beschriftungen dann nicht mehr so
schön aussehen, ist eine andere Sache...
> > ergibt sich dieser
> > "geometrische Zusammenhang" gerade per Definitionem,
> und
> > passt auch
> > zu dem, was man algebraisch macht: "Vertausche [mm]x \leftrightarrow y[/mm]
> > (und stelle nach [mm]y\,[/mm] um)".
> >
> > Gruß,
> > Marcel
Gruß,
Marcel
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Dein Graph sieht sehr schön aus.
> Wie kommst Du auf ihn? Er ist so wie
> ich das verstehe die Umkehrfunktion
> von [mm]y\to x=-y^2-\frac{1}{y}[/mm] für [mm]y<0[/mm]?
> Wie stelle ich das um nach y?
>
> Oder gibt es so etwas wie "inverseplot"?
>
> Ansonsten : genialer Ansatz
>
> Gruß
> Kai
Die Gleichung nach y aufzulösen ist eigentlich
nicht das Ziel. Man kann es tun, und ich habe mir
mal das Ergebnis angeschaut, welches Mathematica
dafür liefert. Hier ist es:
[mm] \documentclass{article}
[/mm]
[mm] \usepackage{amsmath, amssymb, graphics}
[/mm]
[mm] \newcommand{\mathsym}[1]{{}}
[/mm]
[mm] \newcommand{\unicode}{{}}
[/mm]
[mm] \begin{document}
\noindent\(\pmb{\text{Assuming}[y<0,\text{Solve}[x\text{==}-y{}^{\wedge}2-1/y,y]]}\)
\noindent\(\left\{\left\{y\to -\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{1/3} x}{\left(-9+\sqrt{3} \sqrt{27+4 x^3}\right)^{1/3}}+\frac{\left(-9+\sqrt{3} \sqrt{27+4
x^3}\right)^{1/3}}{2^{1/3} 3^{2/3}}\right\},\right.\\
\left\{y\to \frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) x}{2^{2/3} 3^{1/3} \left(-9+\sqrt{3} \sqrt{27+4 x^3}\right)^{1/3}}-\right.\\
\left.\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \left(-9+\sqrt{3} \sqrt{27+4 x^3}\right)^{1/3}}{2 2^{1/3} 3^{2/3}}\right\},\\
\left\{y\to \frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) x}{2^{2/3} 3^{1/3} \left(-9+\sqrt{3} \sqrt{27+4 x^3}\right)^{1/3}}-\right.\\
\left.\left.\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(-9+\sqrt{3} \sqrt{27+4 x^3}\right)^{1/3}}{2 2^{1/3} 3^{2/3}}\right\}\right\}\)
\end{document}
[/mm]
Natürlich ist hier nur die reelle Lösung
(erste Zeile des Outputs) von Interesse.
Ich gebe aber gerne an, wie ich die Gleichung
gefunden habe. Schon zu Anfang war mir aufge-
fallen, dass die Angabe -15 < f(-200) < -14 damit
zu tun haben könnte, dass -15 < [mm] -\sqrt{200} [/mm] <-14 .
Das "langsame Streben gegen [mm] -\infty [/mm] " könnte also
vielleicht bedeuten, dass sich f(x) asymptotisch
für $\ [mm] x\to-\infty$ [/mm] an den unteren Ast der Parabel mit
x = [mm] -y^2 [/mm] annähert.
Ferner ist klar, dass für [mm] x\to+\infty [/mm] die x-Achse
Asymptote sein muss. Die Vereinigungsmenge V aus
Parabel und x-Achse hat die Gleichung
V: $\ [mm] (x+y^2)*y\ [/mm] =\ 0$
Um eine Kurve bzw. Kurven zu erhalten, welche
geringfügig von dieser ![[]](/images/popup.gif) Neptun- oder Poseidon-Gabel"
abweichen, ersetzte ich einfach mal die 0 probeweise
durch eine 1 bzw. durch -1
..... et voilà !
Nun würde mich aber echt noch die Wertetabelle
interessieren, die Estroy von seinem Lehrer erhalten
hat, um die Kurve zu zeichnen ! Bin wirklich gespannt,
was nun die genaue Idee hinter der Kurve war.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Sa 06.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
> Die Gleichung nach y aufzulösen ist eigentlich
> nicht das Ziel.
Vielleicht bin ich etwas dumm, aber ich verstehe nicht,
wie Du den Funktionsgraphen aufstellen lassen kannst,
wenn Du keine explizite Funktion angibst.
> Die Vereinigungsmenge V aus
> Parabel und x-Achse hat die Gleichung
>
> V: [mm]\ (x+y^2)*y\ =\ 0[/mm]
>
Das hatten wir noch in keiner Vorlesung. Warum
hat die Vereinigungsmenge die Gleichung [mm] $(x+y^2)\cdot [/mm] y=0$?
> Um eine Kurve bzw. Kurven zu erhalten, welche
> geringfügig von dieser
> Neptun- oder Poseidon-Gabel"
> abweichen, ersetzte ich einfach mal die 0 probeweise
Warum ist das nötig?
> durch eine 1 bzw. durch -1
> ..... et voilà !
>
> Nun würde mich aber echt noch die Wertetabelle
> interessieren, die Estroy von seinem Lehrer erhalten
> hat, um die Kurve zu zeichnen ! Bin wirklich gespannt,
> was nun die genaue Idee hinter der Kurve war.
Ja, geht mir genau so.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Vielleicht hilft euch das ein wenig weiter. Ich bin mir nicht ganz sicher, aber irgendwie haben diese Werte auch etwas mit den cardanischen Formeln zu tun.
Das war die Wertetabelle:
-200| -14,653
-20| -5,022
-10| -3,743
-5| -2,866
-4,5| -2,761
-4| -2,651
-3,5| -2,536
-3| -2,414
-2,5| -2,285
-2| -2,148
-1,5| -2
-1| -1,839
-0,5| -1,662
0| -1,466
0,5| -1,244
1| -1
1,5| -0,759
2| -0,57
2,5| -0,444
3| -0,361
3,5| -0,304
4| -0,263
4,5| -0,231
5| -0,207
5,5| -0,187
6| -0,171
6,5| -0,157
7| -0,145
7,5| -0,135
8| -0,127
8,5| -0,119
9| -0,112
9,5| -0,106
10| -0,101
10,5| -0,096
11| -0,092
11,5| -0,088
12| -0,084
12,5| -0,08
13| -0,077
13,5| -0,074
14| -0,072
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Hallo Kai !
> > Die Gleichung nach y aufzulösen ist eigentlich
> > nicht das Ziel.
>
> Vielleicht bin ich etwas dumm, aber ich verstehe nicht,
> wie Du den Funktionsgraphen aufstellen lassen kannst,
> wenn Du keine explizite Funktion angibst.
Wir haben ja eine explizite Funktion ! Nur ist halt
da einmal y die unabhängige Variable (mit Werten
aus [mm] \IR^- [/mm] ) und x die abhängige (für die Funktions-
werte).
Gezeichnet habe ich den Graph mit einem eigenen
kleinen Programm.
> > Die Vereinigungsmenge V aus
> > Parabel und x-Achse hat die Gleichung
> >
> > V: [mm]\ (x+y^2)*y\ =\ 0[/mm]
> >
>
> Das hatten wir noch in keiner Vorlesung.Warum
> kannst Du mit der Vereinigungsmenge
> argumentieren, um die Funktion aufzustellen?
So habe ich das seinerzeit auch nie in einer Vorlesung
oder sonstwo angetroffen, aber die Idee ist recht
simpel: Die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen
der beiden Gleichungen [mm] x+y^2=0 [/mm] und y=0 ist die
Lösungsmenge der Gleichung [mm] (x+y^2-0)*(y-0)=0
[/mm]
Wenn ich nun an der Konstanten 0 auf der rechten
Seite dieser Gleichung ein bisschen was ändere,
so werde ich als Ergebnis Kurven erhalten, die
sich von der anfänglichen Kurve V (also der Vereini-
gungsmenge von Parabel und Gerade) minimal
unterscheiden, und zwar am ehesten da, wo keiner
der beiden Faktoren sehr große Werte hat. Und das
ist genau das Gewünschte: ich will ja, dass die
entstehende Kurve (bzw. einer deren Äste) rechts
außen die x-Achse und links außen den unteren
Parabelast als Asymptote besitzt.
Vergleiche dies z.B. mit folgendem Beispiel:
Ich möchte eine Kurve mit den beiden Geraden
y=x und y=-x als Asymptoten. Die Vereinigungs-
menge der beiden Geraden wird beschrieben durch
die Gleichung (x-y)*(x+y)=0 bzw. [mm] x^2-y^2=0 [/mm] .
Was erhalte ich, wenn ich rechts statt der Null
eine Konstante c setze ? Naja,
[mm] x^2-y^2=c
[/mm]
Diese Gleichung stellt je nach dem Wert von c
jeweils eine gleichseitige Hyperbel mit den
gewünschten beiden Asymptoten dar.
Insgesamt bilden alle diese Hyperbeln eine
einparametrige Kurvenschar. Der Sonderfall
c=0 liefert dabei gerade die zum Geradenpaar
"ausgeartete" Quasi-Hyperbel ...
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Sa 06.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
im großen und ganzen scheint es mir richtig und
vernünftig zu sein, was Du schreibst.
Mir ist nur manches noch etwas unklar.
Ich brauch einfach noch Zeit, das eine oder andere
nachzuvollziehen.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Sa 06.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
entschuldige erst mal meine Fehleinschätzung, dass
das Tauschen der Rollen der Achsen in irgend einer
Weise "schwierig" sei.
Ich habe meinen Plotter (C++) geringfügig modifiziert
und jetzt tut er, was er soll : Wie Du gesagt hast
in zwei geänderten Programmzeilen
Das Resultat siehst Du im Anhang
(eigentlich überflüssig, weil Du es ja mittlerweile
zur Genüge kennst)
Ach b.t.w.: Kannst Du etwas mit Estroy's Daten / Hint
anfangen?
Gruß
Kai
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Guten Abend Kai
> Ich habe meinen Plotter (C++) geringfügig modifiziert
> und jetzt tut er, was er soll : Wie Du gesagt hast
> in zwei geänderten Programmzeilen
>
> Das Resultat siehst Du im Anhang
> (eigentlich überflüssig, weil Du es ja mittlerweile
> zur Genüge kennst)
Da benützt du solch edle Fonts ! Wäre schön, wenn du
damit auch noch die Achsen (Skalen) beschriften
würdest ...
> Ach b.t.w.: Kannst Du etwas mit Estroy's Daten / Hint
> anfangen?
Ich habe versucht, die Daten damit zu vergleichen,
was meine verschiedenen Ansätze liefern. Beide Mo-
delle passen grob betrachtet recht gut, aber eine
exakte Übereinstimmung konnte ich bisher auch durch
Rumschräubeln an Parametern noch nicht erzielen.
Ich denke, ich warte dann halt mal ab, was Estroy
berichten wird, wenn ihm sein Lehrer verrät, was
er wirklich gemeint hat ...
Auffällig an Estroys Tabelle sind z.B. die Werte
f(1) = -1 , f(-1.5) = -2 , f(-3) = -2.414 [mm] (=-1-\sqrt{2} [/mm] ?)
und eventuell noch f(-5)=-2.866 [mm] (=-2-\sqrt{3}/2 [/mm] ?)
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Sa 06.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Mann-oh-Mann,
da hat aber jemand ein geschultes Auge.
Manche Werte wären mir auch in selbiges
gesprungen, aber nicht jeder (er-)kennt
den Wert von [mm] $\frac{\sqrt{3}}{2}$ [/mm] auf mehrere Dezimalstellen.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Sa 06.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Mann-oh-Mann,
>
> da hat aber jemand ein geschultes Auge.
> Manche Werte wären mir auch in selbiges
> gesprungen, aber nicht jeder (er-)kennt
> den Wert von [mm]\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm] auf mehrere
> Dezimalstellen.
Den Wert für [mm] \frac{\sqrt{3}}{2} [/mm] könnte man von den speziellen Werten der trigonometrie her kennen.
>
> Gruß
> Kai
Marius
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> Den Wert für [mm]\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm] könnte man von den
> speziellen Werten der Trigonometrie
> her kennen.
Genau so ist es. Dieses 0.8660.. (die Hälfte
von [mm] $\sqrt{3}\approx\,1.73205...$) [/mm] bleibt irgendwann im
Gedächtnis haften, weil es einfach so oft
vorkommt.
Wenigstens in meinem bisherigen Leben war das
eine wesentlich nützlichere Zuordnung von etwas
Speicherplatz in meinen grauen Zellen als für solchen
Schmarren, wie ihn die heutzutage (leider!) "normalen"
Menschen in ihre Köpfe stopfen, um allenfalls für
die Beantwortung der oberdoofen Quizfragen
gerüstet zu sein, mit welchen das Fernsehen
seine Einschaltquoten aufpoliert.
Beispiele: die Fussballtorschützen (inkl. Spiele
und Anzahl der erzielten Treffer), Beauty-Missen,
Voices of ... , Olympiade-Medaillen von mindestens
den letzten paar Jahrzehnten, usw. usw.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Sa 06.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
> Wir haben ja eine explizite Funktion ! Nur ist halt
> da einmal y die unabhängige Variable (mit Werten
> aus [mm]\IR^-[/mm] ) und x die abhängige (für die Funktions-
> werte).
Wie nennt man dann die Funktionen, die ich meine?
Also keine impliziten Funktionen oder Funktionen
für die [mm] $y\to [/mm] x=f(y)$, d.h. die erst nach y umgestellt
werden müssen?
>
> > > Die Vereinigungsmenge V aus
Du benutzt im weiteren Verlauf mehrfach den Ausdruck
"Vereinigungsmenge". Ist das die legitime Kurzform
von "Vereinigungsmenge der Lösungsmengen"?
> > > Parabel und x-Achse hat die Gleichung
> > >
> > > V: [mm]\ (x+y^2)*y\ =\ 0[/mm]
> > >
> >
> > Das hatten wir noch in keiner Vorlesung.Warum
> > kannst Du mit der Vereinigungsmenge
> > argumentieren, um die Funktion aufzustellen?
>
> So habe ich das seinerzeit auch nie in einer Vorlesung
> oder sonstwo angetroffen, aber die Idee ist recht
Wegen $f(x,y)=0$ und $g(x,y)=0$ ist der Ausdruck
[mm] $(f(x,y)=0)\vee [/mm] (g(x,y)=0)$
äquivalent zu [mm] $(f(x,y)-0)\cdot [/mm] (g(x,y)-0)=0$, richtig?
> simpel: Die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen
> der beiden Gleichungen [mm]x+y^2=0[/mm] und y=0 ist die
> Lösungsmenge der Gleichung [mm](x+y^2-0)*(y-0)=0[/mm]
Wie ist Lösungsmengen zu verstehen? Da gibt es ja
mehrere Möglichkeiten : Die Lösungsmenge der
Gleichungen nach x oder nur nach y umgestellt. Was
ich meine, dass hier aber eher der Fall ist, ist dass
die Menge aller Wertepaare (x,y), die die Gleichungen
erfüllen, gesucht ist.
Wie sieht es dann aus für $y=0$? Schreibt sich die
Lösungsmenge dann $(x,0)$?
> Wenn ich nun an der Konstanten 0 auf der rechten
> Seite dieser Gleichung ein bisschen was ändere,
> so werde ich als Ergebnis Kurven erhalten, die
> sich von der anfänglichen Kurve V (also der Vereini-
> gungsmenge von Parabel und Gerade) minimal
> unterscheiden, und zwar am ehesten da, wo keiner
> der beiden Faktoren sehr große Werte hat. Und das
> ist genau das Gewünschte: ich will ja, dass die
> entstehende Kurve (bzw. einer deren Äste) rechts
> außen die x-Achse und links außen den unteren
> Parabelast als Asymptote besitzt.
>
> Vergleiche dies z.B. mit folgendem Beispiel:
> Ich möchte eine Kurve mit den beiden Geraden
> y=x und y=-x als Asymptoten. Die Vereinigungs-
> menge der beiden Geraden wird beschrieben durch
> die Gleichung (x-y)*(x+y)=0 bzw. [mm]x^2-y^2=0[/mm] .
Na gut, ich habe die Geraden $y=x$ und $y=-x$
Wenn ich x auf die andere Seite bringe, so erhalte
ich $y-x=0$ und $y+x=0$.
Wenn ich y auf die andere Seite bringe, so erhalte
ich $x-y=0$ und $-x-y=0$, was äquivalent zu $x+y=0$ ist.
Aber wie weß ich, wann ich welche Variable auf die
andere Seite bringen muss?
> Was erhalte ich, wenn ich rechts statt der Null
> eine Konstante c setze ? Naja,
>
> [mm]x^2-y^2=c[/mm]
>
> Diese Gleichung stellt je nach dem Wert von c
> jeweils eine gleichseitige Hyperbel mit den
> gewünschten beiden Asymptoten dar.
> Insgesamt bilden alle diese Hyperbeln eine
> einparametrige Kurvenschar. Der Sonderfall
> c=0 liefert dabei gerade die zum Geradenpaar
Ja, das verstehe ich.
> "ausgeartete" Quasi-Hyperbel ...
>
> LG , Al
>
Gruß
Kai
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> > Wir haben ja eine explizite Funktion ! Nur ist halt
> > da einmal y die unabhängige Variable (mit Werten
> > aus [mm]\IR^-[/mm] ) und x die abhängige (für die Funktions-
> > werte).
>
> Wie nennt man dann die Funktionen, die ich meine?
> Also keine impliziten Funktionen oder Funktionen
> für die [mm]y\to x=f(y)[/mm], d.h. die erst nach y umgestellt
> werden müssen?
Die durch $\ [mm] y\,\mapsto\, [/mm] x:=\ [mm] -y^2-1/y$ [/mm] (y<0) definierte
Funktion ist bijektiv und hat also eine Umkehrfunktion.
Um (nur) den Graph zu zeichnen, brauchen wir diese aber
(zum Glück) gar nicht in expliziter Form zu haben.
Natürlich wäre alles etwas schwieriger, wenn wir eine
implizite Gleichung hätten, welche sich weder nach x
noch nach y leicht auflösen liesse.
> Du benutzt im weiteren Verlauf mehrfach den Ausdruck
> "Vereinigungsmenge". Ist das die legitime Kurzform
> von "Vereinigungsmenge der Lösungsmengen"?
Ich meine, dass ich zu Anfang angegeben habe, welche
Vereinigungsmenge ich meine - und dann ist es doch
schon rein sprachlich legitim, dass ich mich dann
darauf beziehe, so wie ich beim Erzählen einer
Begebenheit mit (z.B.) einem Polizisten auch nicht
im vierten Satz, in dem "Polizist" wieder vorkommt,
nicht wieder deutlich machen muss, dass ich immer
noch vom selben Polizisten wie im ersten Satz spreche ...
(wenigstens wenn ich von Anfang an nur von einem
Polizisten gesprochen habe)
> der Ausdruck
> [mm](f(x,y)=0)\vee (g(x,y)=0)[/mm]
> ist äquivalent zu [mm](f(x,y)-0)\cdot (g(x,y)-0)=0[/mm], richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Null-Subtrahenden kann man natürlich weglassen;
es geht ja einfach um das Gesetz
$\ [mm] a\,=\,0\ [/mm] \ [mm] \vee\ [/mm] \ [mm] b\,=\,0\quad\gdw\quad [/mm] a*b\ =\ 0$
> > Die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen
> > der beiden Gleichungen [mm]x+y^2=0[/mm] und y=0 ist die
> > Lösungsmenge der Gleichung [mm](x+y^2-0)*(y-0)=0[/mm]
>
> Wie ist Lösungsmengen zu verstehen? Da gibt es ja
> mehrere Möglichkeiten : Die Lösungsmenge der
> Gleichungen nach x oder nur nach y umgestellt. Was
> ich meine, dass hier aber eher der Fall ist, ist dass
> die Menge aller Wertepaare (x,y), die die Gleichungen
> erfüllen, gesucht ist.
Ja, so ist das gemeint. Wenn ich eine Gleichung in
den zwei Variablen x und y habe, so sind "Lösungen"
der Gleichung natürlich Wertepaare (x,y) und die
Lösungsmenge ist eine Menge solcher Paare.
> Wie sieht es dann aus für [mm]y=0[/mm]? Schreibt sich die
> Lösungsmenge dann [mm](x,0)[/mm]?
Wenn wir zusätzlich zu einer Gleichung der Form
g(x,y)=0 noch eine Gleichung der Form [mm] y=y_0 [/mm] haben,
so steht es uns natürlich frei, ob wir das Ganze am
Ende noch als Gleichungssystem (mit Lösungspaaren)
oder als einzelne verbliebene Gleichung [mm] g(x,y_0)=0
[/mm]
mit nur noch einer einzigen freien Variablen und
also auch Lösungsvariablen x betrachten wollen.
In einem mathematischen Text sollte man aber die
gewählte Sichtweise deutlich machen.
> > Wenn ich nun an der Konstanten 0 auf der rechten
> > Seite dieser Gleichung ein bisschen was ändere,
> > so werde ich als Ergebnis Kurven erhalten, die
> > sich von der anfänglichen Kurve V (also der Vereini-
> > gungsmenge von Parabel und Gerade) minimal
> > unterscheiden, und zwar am ehesten da, wo keiner
> > der beiden Faktoren sehr große Werte hat. Und das
> > ist genau das Gewünschte: ich will ja, dass die
> > entstehende Kurve (bzw. einer deren Äste) rechts
> > außen die x-Achse und links außen den unteren
> > Parabelast als Asymptote besitzt.
> >
> > Vergleiche dies z.B. mit folgendem Beispiel:
> > Ich möchte eine Kurve mit den beiden Geraden
> > y=x und y=-x als Asymptoten. Die Vereinigungs-
> > menge der beiden Geraden wird beschrieben durch
> > die Gleichung (x-y)*(x+y)=0 bzw. [mm]x^2-y^2=0[/mm] .
>
> Na gut, ich habe die Geraden [mm]y=x[/mm] und [mm]y=-x[/mm]
> Wenn ich x auf die andere Seite bringe, so erhalte
> ich [mm]y-x=0[/mm] und [mm]y+x=0[/mm].
Ich würde da (der Logik entsprechend !) lieber ein
oder anstatt ein und schreiben !
> Wenn ich y auf die andere Seite bringe, so erhalte
> ich [mm]x-y=0[/mm] und [mm]-x-y=0[/mm], was äquivalent zu [mm]x+y=0[/mm] ist.
> Aber wie weß ich, wann ich welche Variable auf die
> andere Seite bringen muss?
Man muss doch einfach die durch "oder" , also " [mm] \vee [/mm] " verknüpften
Gleichungen auf die Form
....... = 0
bringen !
Ob wir dann etwa [mm] x-y^2=0 [/mm] oder [mm] -x+y^2=0 [/mm] nehmen,
spielt keine Rolle, weil ja +0 = -0 ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi Al,
ich hätte da noch eine Nachfrage zu deiner genialen Idee, wie man eine Funktion zu vorgegebenen Asymptoten finden kann.
Wenn z.B. p(x) = [mm] x^2 [/mm] und g(x) = 2x Asymptoten sein sollen, so stellst du zunächst die Gleichung für die Punkte beider Asymptoten auf :
(y - [mm] x^2)*(y-2x) [/mm] = 0, ersetzt die rechte Seite durch einen Parameter a :
(y - [mm] x^2)*(y-2x) [/mm] = a und löst gegebenenfalls nach y auf :
$ [mm] f_{1,2}(x)=\bruch{x^2+2x}{2}\pm\wurzel{(\bruch{x^2+2x}{2})^2-2x^3+a} [/mm] $
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun meine Frage :
Die Graphen liegen entweder oberhalb beider Asymptoten oder unterhalb beider Asymptoten. Kann man deine Methode so modifizieren, dass für negative x-Werte die Parabel und für positive x-Werte die Gerade Asymptote wird ?
Die zugehörige Geo-Gebra-Datei mit Möglichkeit zur Variation von a ist ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") hier
Danke, Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: ggb) [nicht öffentlich]
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> Hi Al,
>
> ich hätte da noch eine Nachfrage zu deiner genialen Idee,
> wie man eine Funktion zu vorgegebenen Asymptoten finden
> kann.
>
> Wenn z.B. p(x) = [mm]x^2[/mm] und g(x) = 2x Asymptoten sein
> sollen, so stellst du zunächst die Gleichung für die
> Punkte beider Asymptoten auf :
> (y - [mm]x^2)*(y-2x)[/mm] = 0, ersetzt die rechte Seite durch einen
> Parameter a :
> (y - [mm]x^2)*(y-2x)[/mm] = a und löst gegebenenfalls nach y auf :
>
> [mm]f_{1,2}(x)=\bruch{x^2+2x}{2}\pm\wurzel{(\bruch{x^2+2x}{2})^2-2x^3+a}[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Nun meine Frage :
> Die Graphen liegen entweder oberhalb beider Asymptoten
> oder unterhalb beider Asymptoten. Kann man deine Methode so
> modifizieren, dass für negative x-Werte die Parabel und
> für positive x-Werte die Gerade Asymptote wird ?
>
> Die zugehörige Geo-Gebra-Datei mit Möglichkeit zur
> Variation von a ist hier
>
> Danke, Gruß Sax.
Hallo Sax,
danke für die schöne Realisierung in Geogebra (das ist
ein tolles Instrument zur Veranschaulichung geometrischer
Zusammenhänge, für das ich hier gerne ein bisschen
Werbung einschleichen lasse - obwohl dies dem letzten
Punkt (17) der Forenregeln zuwiderläuft ... )
Zu deinen Fragen:
"Die Graphen liegen entweder oberhalb beider Asymptoten
oder unterhalb beider Asymptoten."
Dies stimmt zwar für positive a, aber nicht für negative.
Man kann aber feststellen, dass man nur solche Kurven
erhält, welche keine der Asymptotenlinien kreuzen. Das
leuchtet auch ein, weil in einem derartigen Schnittpunkt
das Produkt $\ [mm] (y-x^2)*(y-2\,x)$ [/mm] eben verschwinden würde
und also nicht einem a-Wert ungleich 0 entsprechen
kann.
"Kann man deine Methode so modifizieren, dass für
negative x-Werte die Parabel und für positive x-Werte
die Gerade Asymptote wird ?"
Da man dies nur mit Kurven(-Ästen) erzeugen kann, welche
wenigstens eine der Asymptoten überkreuzen, müsste
man sich dazu wirklich etwas Neues einfallen lassen.
Eine einfache Aufgabe in dieser Richtung wäre etwa:
| Aufgabe | Finde eine (möglichst einfache) Gleichung einer stetigen
Kurve, welche die positive x-Achse und die positive y-Achse
als Asymptoten besitzt und sich dabei für [mm] x\to\infty [/mm] der
x-Achse von unten annähert. |
LG
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 08.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Sax,
Du hast ja $ [mm] f_{1,2}(x)=\bruch{x^2+2x}{2}\pm\wurzel{(\bruch{x^2+2x}{2})^2-2x^3+a} [/mm] $.
Definiere Dir [mm] $s(t):=\frac{1}{2}\cdot(\tanh(t)+1)$!
[/mm]
Desweiteren sei [mm] $r(t):=(1-s(t))\cdot f_1(t)+s(t)\cdot f_2(t)$.
[/mm]
Für [mm] $t\to -\infty$ [/mm] geht $r$ gegen [mm] $f_1(t)$ [/mm] und für [mm] $t\to \infty$
[/mm]
geht es gegen [mm] $f_2(t)$.
[/mm]
Ist das, was Du wolltest?
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, danke euch beiden.
für meine Aufgabe kam es ja darauf an, von [mm] f_1 [/mm] zu [mm] f_2 [/mm] zu wechseln, also vom "+"-Zeichen vor der Wurzel zum "-"-Zeichen, was durch eine Funktion wie tanh bewirkt werden kann, so dass $ f(x) = [mm] ...+tanh(2-x)*\wurzel{...} [/mm] $ die Bedingung erfüllt.
Al's Aufgabe wird durch die Funktion f(x) = [mm] \bruch{tanh(1-x)}{x} [/mm] für x>0 gelöst, wenn denn diese das Kriterium der Einfachheit noch erfüllt.
Gruß Sax.
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> Al's Aufgabe wird durch die Funktion f(x) =
> [mm]\bruch{tanh(1-x)}{x}[/mm] für x>0 gelöst, wenn denn diese das
> Kriterium der Einfachheit noch erfüllt.
Ohne tanh zum Beispiel: $\ [mm] x\,\mapsto\ y\,:=\ \frac{1-x}{x^2}\qquad (\,x>0\,)$
[/mm]
LG , Al
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Hallo !
Da ich daran geglaubt habe, dem Ziel schon recht
nahe zu sein, habe ich mir heute (während des
Fernsehguckens - irgendwas Historisches ...)
nochmals etwas notiert und dann am Computer
ausprobiert.
Ausgehend von der Funktion
$\ [mm] y\,\mapsto\ x\,:=\ -\,y^2\,-\,\frac{1}{y}$
[/mm]
probierte ich einmal aus, das y im quadratischen
Term der rechten Seite durch (y+c) zu ersetzen,
merkte dann, dass das c recht klein sein musste -
da passte alles schon fast - und mit einer
klitzekleinen weiteren Änderung passte alles
plötzlich perfekt !
Die Funktion muss offenbar so aussehen:
[mm] $\mbox{\Large{\blue{ y\ \mapsto\ x\,:=\ -\,y^2\,-\,y\,-\,\frac{1}{y}}}}$
[/mm]
Das sieht dann in der Zeichnung so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Rote Punkte: vorgegebene Datenpunkte
Blaue Kurve: Graph der obigen Funktion $\ [mm] y\,\mapsto\ [/mm] x$
nebenbei: (mathematisch ein "Korollar")
Der Wendepunkt, also der Punkt mit dem größten
Wert der Steigung [mm] $\frac{dy}{dx}$ [/mm] , ist der Punkt W(1|-1) .
Dieser maximale Steigungswert beträgt [mm] \frac{1}{2} [/mm] .
LG
Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 So 07.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
ein tolles Gefühl, wenn es dann 100% passt.
> Hallo !
>
> Da ich daran geglaubt habe, dem Ziel schon recht
> nahe zu sein, habe ich mir heute (während des
> Fernsehguckens - irgendwas Historisches ...)
> nochmals etwas notiert und dann am Computer
> ausprobiert.
Die besten Ideen kommen eben beim Fernsehen,
kurz vor dem Einschlafen oder in der Badewanne
(siehe Archimedes).
> Ausgehend von der Funktion
>
> [mm]\ y\,\mapsto\ x\,:=\ -\,y^2\,-\,\frac{1}{y}[/mm]
>
> probierte ich einmal aus, das y durch (y+c) zu
> ersetzen, merkte dann, dass das c recht klein sein
> musste - da passte alles schon fast - und mit einer
> klitzekleinen weiteren Änderung passte alles
> plötzlich perfekt !
Da bleibt mir nur übrig Dir von Herzen zu gratulieren.
[mm] $y\to x:=-y^2-y-\frac{1}{y}$ [/mm] : Das sieht nicht nur elegant aus, das
ist auch elegant.
Gruß
Kai
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> Die besten Ideen kommen eben beim Fernsehen,
> kurz vor dem Einschlafen oder in der Badewanne
> (siehe Archimedes).
Naja, einige Freunde, die meinen Namen sonst kaum
richtig aussprechen können, nennen mich ja auch
"Ar-Chirezmi" oder "Archi - Mercedes" ...
NB: (nur an den mausgrauen Sauhaufen):
die dünnen Pilzchen lassen herzlich grüßen !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Di 09.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Kann man deine Formel eigentlich irgendwie nach x umstellen?
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> Kann man deine Formel eigentlich irgendwie nach x
> umstellen?
Hallo Estroy,
du meinst jetzt doch wohl die "richtige" Formel
[mm] $\mbox{\Large{\blue{ y\ \mapsto\ x\,:=\ -\,y^2\,-\,y\,-\,\frac{1}{y}}}} [/mm] $
oder ?
Hier ist ja schon x als explizite Funktion von y
dargestellt. Du meinst also eher, wie man diese
Gleichung nach y "umstellt" bzw. auflöst ?
Man kann die Gleichung auf folgende Form bringen:
$\ [mm] y^3+y^2+x*y+1\ [/mm] =\ 0$
Nun, mit genau solchen kubischen Gleichungen
haben sich in der Zeit der Renaissance einige
italienische Algebraiker beschäftigt und dafür
Lösungsmethoden entwickelt. Heute spricht
man dabei von den Cardanischen Formeln
nach Gerolamo Cardano.
Die Lösung der obigen Gleichung, die für uns
hier interessiert, nach y habe ich in einer
früheren Antwort schon angegeben. Ich habe
sie allerdings nicht selber nach Cardanos Formel
berechnet, sondern die Rechnung dem Programm
"Mathematica" überlassen.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Di 09.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Kommt man bei der invertierten Form von:
$ [mm] \mbox{\Large{\blue{ y\ \mapsto\ x\,:=\ -\,y^2\,-\,y\,-\,\frac{1}{y}}}} [/mm] $
auf die gleichen x und y Paare? Also könnte man dann eigentlich auch mit der invertierten Form weiterrechnen?
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> Kommt man bei der invertierten Form von:
> [mm]\mbox{\Large{\blue{ y\ \mapsto\ x\,:=\ -\,y^2\,-\,y\,-\,\frac{1}{y}}}}[/mm]
>
> auf die gleichen x und y Paare? Also könnte man dann
> eigentlich auch mit der invertierten Form weiterrechnen?
Natürlich ! Sonst wäre es doch nicht die inverse
Funktion.
Das gilt, sofern die invertierte Form wirklich
richtig wiedergegeben ist. Ich habe allerdings
entdeckt, dass ich da noch einen gewissen
Fehler bei der Interpretation der Ergebnisse
von Mathematica gemacht habe.
Die Lösungsformel, die ich bisher angegeben habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
scheint nur für $\ x\ >\ [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] gültig zu sein.
Für $\ x\ <\ [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] gilt eine andere Formel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ganz nahe bei [mm] \frac{1}{3} [/mm] versagen beide Formeln
numerisch, aber da gilt:
$\ [mm] y\left(\frac{1}{3}\right)\ [/mm] =\ [mm] \frac{-1-\sqrt[3]{26}}{3}\ \approx\ [/mm] -1.3208$
und natürlich ist die Funktion da auch stetig und
differenzierbar, wie man aus der Originalfunktion
$\ [mm] y\mapsto [/mm] x$ leicht erkennen kann.
In den angegebenen Definitionsbereichen sollten
die Formeln eigentlich rein reelle Werte liefern.
Es kommt aber durch numerische Effekte jeweils
auch zu (winzigen) Imaginärteilen, welche aber
bei Rundung auf ein paar Dezimalstellen wieder
verschwinden.
LG , Al-Chwarizmi
LG , Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Wenn ich mir Deine nach y aufgelöste Funktion
plotten lasse, so haut es manchmal hin, heißt
der Funktionswert ist korrekt für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Ein anderes Mal - wie Du es erlebt hast -
stimmt die Funktion nur für [mm] $x>\frac{1}{3}$.
[/mm]
Ich kann mir dieses Verhalten nicht erklären.
Wenn ich unter Maple die Gleichung [mm] $x:=-y^2-y-\frac{1}{y}$
[/mm]
nach y auflöse und die reelle Lösung betrachte,
so ist das Resultat wiederum nur gültig ab [mm] $x=\frac{1}{3}$.
[/mm]
In beiden Fällen (meiner Funktion und Deiner) ergibt
allerdings die erneute Umkehrung [mm] $x:=-y^2-y-\frac{1}{y}$.
[/mm]
Gruß
Kai
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Wenn ich mir Deine nach y aufgelöste Funktion
> plotten lasse, so haut es manchmal hin, heißt
> der Funktionswert ist korrekt für alle [mm]y\in\mathbb{R}[/mm].
(du meinst für alle x [mm] \in\IR [/mm] ...)
>
> Ein anderes Mal - wie Du es erlebt hast -
> stimmt die Funktion nur für [mm]x>\frac{1}{3}[/mm].
>
> Ich kann mir dieses Verhalten nicht erklären.
>
> Wenn ich unter Maple die Gleichung [mm]x:=-y^2-y-\frac{1}{y}[/mm]
> nach y auflöse und die reelle Lösung betrachte,
> so ist das Resultat wiederum nur gültig ab [mm]x=\frac{1}{3}[/mm].
>
> In beiden Fällen (meiner Funktion und Deiner) ergibt
> allerdings die erneute Umkehrung [mm]x:=-y^2-y-\frac{1}{y}[/mm].
>
> Gruß
> Kai
Hallo Kai,
ja, ich bin auch noch am Rätseln !
Zwischendurch hab ich mich mal gefragt, wer denn nun
hier spinne: Mathematica, der Mac oder ich selber ...
Es muss an den Wurzeln, ihren Definitionsbereichen
(Radikanden sollten [mm] \ge0 [/mm] sein) und den allfälligen
komplexwertigen Wurzelwerten liegen.
In WolframAlpha (online, also nicht mein eigenes
Mathematica) erschien dann mal die Auswahlmöglich-
keit, ob man die "principal roots" oder "real-valued roots"
benützen wolle.
Möglicherweise stecken da aber wirklich noch gewisse
Macken von Mathematica dahinter.
Das Ganze ergäbe wohl ein diskutierenswertes Thema.
Um den hiesigen schon ellenlangen Thread nicht
allzusehr zu überlasten, stelle ich eine entsprechende
Frage in einem neuen Thread !
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Mi 10.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
> >
> > Wenn ich mir Deine nach y aufgelöste Funktion
> > plotten lasse, so haut es manchmal hin, heißt
> > der Funktionswert ist korrekt für alle
> [mm]y\in\mathbb{R}[/mm].
>
> (du meinst für alle x [mm]\in\IR[/mm] ...)
habe ich bereits korrigiert.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 So 07.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich habe mir mal den Abstand der Eck-Daten zu Deinem
Modell angeschaut und mir ist aufgefallen, dass insbesondere
der Abstand für große y's Werte bis zu etwa 0.08 annimmt.
Ohne Deine Leistung schmälern zu wollen : Meinst Du,
dass Du noch etwas an den Parametern drehen kannst?
Ich muss gestehen, dass ich auf Anhieb kein Muster
sehe.
Gruß
Kai
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Guten Abend Kai
> Meinst Du, dass Du noch etwas an den Parametern
> drehen kannst?
Nein, das halte ich nicht für angezeigt und werde es
auch nicht tun. Ich bin mir sehr sicher, dass das nun
richtig ist. Unterhalten kann man sich allenfalls noch
über Rundungsfragen. Ich habe die Funktion mittels
Mathematica invertiert mit dem Ergebnis für y(x) :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe die x-Werte, die in Estroys Tabelle vorgegeben
waren (ganzzahlige oder halbzahlige Werte) eingegeben
und konnte alle zugehörigen y-Werte bis auf die in
Estroys Tabelle ebenfalls vorgegebenen 3 Nachkomma-
stellen komplett reproduzieren.
Du bist wahrscheinlich umgekehrt vorgegangen, hast
aus den vorliegenden (auf 3 Nachkommastellen gerun-
deten) y-Werten die zugehörigen x-Werte (nach meiner
Formel) berechnet und dann festgestellt, dass du z.B.
aus y=-0.074 nicht exakt auf x=13.5 kommst,
sondern auf [mm] x\approx [/mm] 13.582 , mit einer Abweichung von
0.082 .
Damit wären wir bei einem interessanten neuen Thema
angelangt: Numerik, Rundungsfragen und "Auslöschung".
Da wir aus Estroys Tabelle den (auf 3 Stellen nach dem
Dezimalpunkt gerundeten) x-Wert -0.074 mit nur
zwei signifikanten Stellen haben, können wir nicht
erwarten, daraus den zugehörigen x-Wert mit guter
Genauigkeit zu rekonstruieren. Eigentlich müssen wir
zufrieden sein, vom x-Wert auch nur 2 signifikante
Stellen zu erhalten. Es kommt noch dazu, dass die
Kurve (siehe Zeichnung !) an der fraglichen Stelle,
zwischen x=13 und x=14, schon sehr flach ist. Eine
winzige Abweichung in y-Richtung führt also zu einem
erheblich größeren Fehler in x-Richtung !
Mit genaueren Tabellenwerten sähe dies anders aus:
Für x=13.5 ergibt sich aus der Formel der Wert
[mm] y\approx [/mm] -0.074454 (was wieder auf den "groben"
Wert [mm] y\approx [/mm] -0.074 führt, wenn man auf nur 3 Stellen
nach dem Dezimalpunkt rundet !) .
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Mo 08.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > Meinst Du, dass Du noch etwas an den Parametern
> > drehen kannst?
>
> Nein, das halte ich nicht für angezeigt und werde es
> auch nicht tun. Ich bin mir sehr sicher, dass das nun
> richtig ist.
War ja auch nicht ernst gemeint.
> Du bist wahrscheinlich umgekehrt vorgegangen, hast
> aus den vorliegenden (auf 3 Nachkommastellen gerun-
> deten) y-Werten die zugehörigen x-Werte (nach meiner
> Formel) berechnet und dann festgestellt, dass du z.B.
> aus y=-0.074 nicht exakt auf x=13.5 kommst,
> sondern auf [mm]x\approx[/mm] 13.582 , mit einer Abweichung von
> 0.082 .
Ja, ich bin umgekehrt vorgegangen.
> Damit wären wir bei einem interessanten neuen Thema
> angelangt: Numerik, Rundungsfragen und "Auslöschung".
Dafür müssten wir aber schon einen neuen Thread aufmachen?
Vielleicht verrät uns Estroy noch, was sein Lehrer zu der
Aufgabe sagt, aber ich denke so weit ist dieser Thread
abgeschlossen.
Gruß
Kai
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Hallo Kai
> > Du bist wahrscheinlich umgekehrt vorgegangen, hast
> > aus den vorliegenden (auf 3 Nachkommastellen gerun-
> > deten) y-Werten die zugehörigen x-Werte (nach meiner
> > Formel) berechnet und dann festgestellt, dass du z.B.
> > aus y=-0.074 nicht exakt auf x=13.5 kommst,
> > sondern auf [mm]x\approx[/mm] 13.582 , mit einer Abweichung von
> > 0.082 .
>
> Ja, ich bin umgekehrt vorgegangen.
Um auf diese Weise die Tabellenwerte zu prüfen,
könntest du etwa im Beispiel mit y = -0.074 daran
denken, dass dieser (auf 3 Nachkommastellen gerundete)
Wert eigentlich nur besagt, dass $\ -0.0745 < [mm] y\le [/mm] -0.0735$ .
Berechne dann die zu den Randwerten gehörigen
x-Werte 13.4918 und 13.6735 - und du stellst fest,
dass 13.5 sehr wohl in dem dazwischen liegenden
Intervall ist und deshalb offenbar auf den
(auf Tausendstel gerundeten) y-Wert -0.074 führt;
da liegt also keine Diskrepanz vor.
> > Damit wären wir bei einem interessanten neuen Thema
> > angelangt: Numerik, Rundungsfragen und "Auslöschung".
>
> Dafür müssten wir aber schon einen neuen Thread
> aufmachen?
Naja, wenn jemand das möchte, bitte.
> Vielleicht verrät uns Estroy noch, was sein Lehrer zu der
> Aufgabe sagt, aber ich denke so weit ist dieser Thread
> abgeschlossen.
Das sehe ich auch genau so.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Estroy |
Ich hoffe, dass ich euren Enthusiasmus nicht Bremse, aber mein Lehrer hat mir gesagt, dass das Ziel der Aufgabe die analytische Herleitung der Cardanischen Formeln ist. Man soll aus den Werten auf die Formel kommen und ich finde der Ansatz mit [mm] \wurzel[3]{-x+\wurzel[2]{x²+1}} [/mm] war doch gar nicht so schlecht. Kann man deinen Term irgendwie in diese Form bringen?
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> Ich hoffe, dass ich euren Enthusiasmus nicht Bremse, aber
> mein Lehrer hat mir gesagt, dass das Ziel der Aufgabe die
> analytische Herleitung der Cardanischen Formeln ist. Man
> soll aus den Werten auf die Formel kommen und ich finde der
> Ansatz mit [mm]\wurzel[3]{-x+\wurzel[2]{x^2+1}}[/mm]
( ich habe jedenfalls keine Kubikwurzel verwendet ! )
> war doch gar nicht so schlecht. Kann man deinen Term
> irgendwie in diese Form bringen?
Na Moment mal,
falls deinem Lehrer wirklich daran gelegen ist, euch
die Formeln von Cardano nahezubringen, dann ist
sein Vorgehen (so wie wir es hier einschätzen können)
doch recht befremdlich.
So wie ich es von hier aus sehe, hat er euch die
Tabelle mit etwa zwei Dutzend Wertepaaren angegeben.
Ich lasse mich öffentlich verbrennen, falls die Werte
der Tabelle nicht aus der Formel [mm] x=-y^2-y-1/y
[/mm]
(oder Umformungen davon) gewonnen worden sein
sollten.
Die Aufgabe, allein aus den Tabellenwerten (ohne
weitere Hilfestellungen) eine exakte Formel für eine
Funktion $\ [mm] x\mapsto\ [/mm] y\ =\ f(x)$ zu erstellen, welche diese
Wertetabelle (mit den 3 angegebenen Nachkommastellen)
liefern soll, ist (ohne die Angabe, dass die Umkehr-
funktion wesentlich einfacher ist) für Lehrzwecke auf
relativ einfachem Niveau kaum geeignet.
Damit ich die Gesamtsituation genauer abschätzen
könnte (ich will ja auch niemandem Unrecht tun),
müsste ich mehr Informationen darüber haben, was
da z.B. vorgängig behandelt wurde.
Mein Ansatz mit Funktionen der Form
$\ y\ =\ [mm] k*\sqrt{Funktion(x)}$
[/mm]
kann jedenfalls nicht die exakte Lösung bringen !
Die exakte Lösung, die sich aus den Formeln von
Cardano ergibt, habe ich in einer meiner Antworten
schon geliefert - und die sieht nicht danach aus, dass
sie sich für eine Einführung der Cardanischen Formeln
eignen würde !
LG
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:33 Di 09.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Ich hoffe, dass ich euren Enthusiasmus nicht Bremse, aber
> mein Lehrer hat mir gesagt, dass das Ziel der Aufgabe die
> analytische Herleitung der Cardanischen Formeln ist.
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
Also, da fall' ich ja vor Lachen fast vom Stuhl. Und mit welcher "Wertetabelle"
leitet Euer Lehrer die pq-Formel analytisch her?
Ich bin ja echt mal total blöd und mache das immer - doch tatsächlich ohne
Wertetabelle(n) - etwa so:
[mm] $$x^2+px+q=0 \iff x^2+px+\tfrac{p^2}{4}=\tfrac{p^2}{4}-q \iff (x+\tfrac{p}{2})^2=\tfrac{p^2}{4}-q \iff x+\tfrac{p}{2}=\pm \sqrt{\tfrac{p^2}{4}-q}$$
[/mm]
sofern denn [mm] $p^2/4-q \ge 0\,.$
[/mm]
Aber mit einer schönen Wertetabelle ginge das bestimmt auch viel
eleganter, und "besonders schön analytisch"?!
P.S. Vielleicht macht die Aussage Deines Lehrers "etwas mehr Sinn", wenn
man weiß, "was er für Vorschläge zum Umgang mit dieser Wertetabelle"
gemacht hat. Aber das man neuerdings "Lösungsformeln" analytisch aus
Wertetabellen herleitet... gibt's da ein neues - mir noch unbekanntes -
Verfahren? Vielleicht warten wir mal, was FRED dazu sagt... ?!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Di 09.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> > Ich hoffe, dass ich euren Enthusiasmus nicht Bremse, aber
> > mein Lehrer hat mir gesagt, dass das Ziel der Aufgabe die
> > analytische Herleitung der Cardanischen Formeln ist.
>
>
>
> Also, da fall' ich ja vor Lachen fast vom Stuhl. Und mit
> welcher "Wertetabelle"
> leitet Euer Lehrer die pq-Formel analytisch her?
Mit dieser:
[Dateianhang nicht öffentlich]
FRED
>
> Ich bin ja echt mal total blöd und mache das immer - doch
> tatsächlich ohne
> Wertetabelle(n) - etwa so:
>
> [mm]x^2+px+q=0 \iff x^2+px+\tfrac{p^2}{4}=\tfrac{p^2}{4}-q \iff (x+\tfrac{p}{2})^2=\tfrac{p^2}{4}-q \iff x+\tfrac{p}{2}=\pm \sqrt{\tfrac{p^2}{4}-q}[/mm]
>
> sofern denn [mm]p^2/4-q \ge 0\,.[/mm]
>
> Aber mit einer schönen Wertetabelle ginge das bestimmt
> auch viel
> eleganter, und "besonders schön analytisch"?!
>
> P.S. Vielleicht macht die Aussage Deines Lehrers "etwas
> mehr Sinn", wenn
> man weiß, "was er für Vorschläge zum Umgang mit dieser
> Wertetabelle"
> gemacht hat. Aber das man neuerdings "Lösungsformeln"
> analytisch aus
> Wertetabellen herleitet... gibt's da ein neues - mir noch
> unbekanntes -
> Verfahren? Vielleicht warten wir mal, was FRED dazu
> sagt... ?!
>
> Gruß,
> Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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![[]](http://www.schule-studium.de/Latein/images/Gott%20Neptun.jpg){kind=small}
Neptun- oder Poseidon-Gabel"
