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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
| Aufgabe | Untersuche die Funktion f.
b) [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} [/mm] |
Meine erste Ableitung ist:
[mm] {f(x)=}\bruch{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}
[/mm]
Leider weiß ich nicht wie ich hier weiter ableiten muss, ich denke auf jeden fall mal mit der Quotientenregel. Dann ist u'=0 aber v' wüsste ich nicht. Denn ich weiß leider nicht wie man [mm] (e^{x}+e^{-x})^{2} [/mm] ableitet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Meine äußere Ableitung lautet: [mm] e^{x}-e^{-x}
[/mm]
Mein innere Ableitung lautet: [mm] 2*(\ldots)
[/mm]
Also: [mm] {f'(x)=}2*(e^{x}+e^{-x})*(e^{x}-e^{-x})
[/mm]
Zusammengefasst dann? [mm] 2(e^{2x}-e^{-2x})
[/mm]
Wenn es richtig ist, mit welcher Regel muss ich dann ableiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Deine Rechnung ist richtig! Allerdings hast Du hier die Bezeichnungen "innere" und "äußere" Ableitungen vertauscht.
Außerdem solltest Du bedenken, dass es sich hierbei lediglich um die Ableitung des Nenners im Bruch $f'(x) \ = \ [mm] \bruch{4}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}$ [/mm] handelt.
Das ist also Dein $v'_$ für die Quotientenregel. Nun also einsetzen ...
Allerdings solltest du hier zunächst noch die faktorisierte Darstellung $v' \ = \ [mm] 2*\left(e^x+e^{-x}\right)*\left(e^x-e^{-x}\right)$ [/mm] beibehalten, um noch kürzen zu können.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Aber wie sieht denn dann u, u', v und v' aus? 4 ist doch abgeleitet 0 oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Die Quotientenregel lautet ja [mm] {f''(x)=}\bruch{u'*v-u*v'}{v^{2}}
[/mm]
Also eingesetzt:
[mm] {f''(x)=}\bruch{0*(e^{x}+e^{-x})^{2}-4*(2*(e^{x}+e^{-x})*(e^{x}-e^{-x}))}{(e^{x}-e^{-x})^{2}^{2}}
[/mm]
Ich hab irgendwie das Gefühl, das ich was völlig falsches gemacht habe ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Sehen wir von dem Tippfehler im Nenner mal ab (da gehört ein Pluszeichen hin anstelle des Minuszeichens), ist soweit alles okay!
Im Zähler entfällt ja der erste Term aufgrund der $0_$ . Und im Nenner kannst Du ja [mm] $(...)^4$ [/mm] schreiben.
Nun noch einmal die Klammer [mm] $\left(e^x+e^{-x}\right)$ [/mm] kürzen ... fertig!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Also lautet die 2. Ableitung: [mm] f''(x)=-8(e^{x}-e^{-x}) [/mm] ??
Wenn ja, mit welche Regel mache ich die 3. Ableitung?
Gruß Punix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Jetzt hast Du aber zur großzügig gekürzt ...
$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-8*\left(e^x-e^{-x}\right)*\blue{\left(e^x+e^{-x}\right)}}{\left(e^x+e^{-x}\right)^{\blue{4}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-8*\left(e^x-e^{-x}\right)*\blue{1}}{\left(e^x+e^{-x}\right)^{\red{3}}} [/mm] \ = \ [mm] -8*\bruch{e^x-e^{-x}}{\left(e^x+e^{-x}\right)^3}$
[/mm]
Für die 3. Ableitung benötigen wir nun wieder die  Quotientenregel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Ahh mist, verguckt... wie muss ich denn jetzt bei der Quotientenregel die -8 verwenden?
PS. Bin mal ne Stunde weg, muss bei meiner Oma essen, bis später und danke!
Gruß punix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Die $-8_$ kannst Du als konstanten Faktor vor dem Bruch stehen lassen. Denn dieser bleibt ja gemäß der Faktorregel beim Ableiten erhalten.
Dann guten Appetit ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Meine 3. Ableitung lautet:
[mm] u=e^{x}-e^{-x}
[/mm]
[mm] u'=e^{x}+e^{-x}
[/mm]
[mm] v=(e^{x}+e^{-x})^{3}
[/mm]
[mm] v'=3(e^{x}+e^{-x})^{2}
[/mm]
Eingesetzt dann:
[mm] f'''(x)=-8*\bruch{(e^{x}+e^{-x})*(e^{x}+e^{-x})^{3}-(e^{x}-e^{-x})*3(e^{x}+e^{-x})^{2}}{(e^{x}+e^{-x})^{5}}
[/mm]
Zusammengefasst bzw. gekürzt:
[mm] f'''(x)=-24*(e^{x}+e^{-x})-(e^{x}-e^{-x})
[/mm]
Mal sehen ob ich das richtig habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 07.01.2007 | | Autor: | peu |
also mit der 3. ableitung liegst du,wie ich meine leider falsch, denn da ist ein minus in dem therm, weshalb du die 3 nicht einfach vorziehen darfst... man bekomt mit der quotientenregel:
-8* [ [mm] (e^x+e^-x)^4 [/mm] minus- [mm] (e^x-e^-x)*3(e^x+e^-x)^2] [/mm] dividiert [mm] durch/(e^x+e^-x)^6 [/mm]
wenn du nun im minuenden [mm] ()^4 [/mm] kürzt und im subtrahenden [mm] ()^2 [/mm] dann folgt wenn ich mich nicht verrechnet habe:
f´´´(x)= [mm] -8/(e^x+e^-x)^2 [/mm] minus [mm] 24(e^x-e^-x)/ (e^x+e^-x)^4
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Hmm... dann warte ich lieber noch etwas ab, damit ich auch sicher sein kann, dass es richtig ist ok?
Außerdem habe ich noch eine Frage zu der Berechnung der Nullstellen.
Ich weiß gar nicht wie ich diesen Bruch Nullstellen soll:
[mm] f(x)=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}[/mm]
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> Hmm... dann warte ich lieber noch etwas ab, damit ich auch
> sicher sein kann, dass es richtig ist ok?
>
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> Außerdem habe ich noch eine Frage zu der Berechnung der
> Nullstellen.
> Ich weiß gar nicht wie ich diesen Bruch Nullstellen soll:
>
> [mm]f(x)=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily e^{x}-e^{-x}=0 \gdw e^x=e^{-x} \gdw \ln e^x=\ln e^{-x} \gdw x*\ln e=-x*\ln [/mm] e [mm] \gdw [/mm] x*1=-x*1 [mm] \gdw [/mm] 2x=0 [mm] \gdw [/mm] x=0$
[mm] $\rmfamily \text{Das ist die einzige Nullstelle.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\rmfamily \text{Hier noch als kleine Übersicht:}$
$\rmfamily f\colon\mathbbm{R}\to\left]-1;1\right[,x\mapsto \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
$\rmfamily \textsc{Definitionsbereich:}$
$\rmfamily \mathbbm{D}_{f}=\mathbbm{R}$
$\rmfamily \textsc{Ableitungen:}$
$\rmfamily f'\left(x\right)=\bruch{4e^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}\Rightarrow f''\left(x\right)=\bruch{8e^{2x}\left(1-e^{2x}\right)}{\left(e^{2x}+1\right)^3}\Rightarrow f'''\left(x\right)=\bruch{16e^{2x}\left(e^{4x}-4e^{2x}+1\right)}{\left(e^{2x}+1\right)^4}$
$\rmfamily \textsc{Nullstellen:}$
$\rmfamily f\left(x\right)=0 \gdw \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \gdw x_{1}=0$
$\rmfamily \Rightarrow \mathrm{NS}_{1}\left(0\left|0\right)\right.$
$\rmfamily \textsc{Extremstellen:}$
$\rmfamily \text{Notwendige Bedingung: }f'\left(x_{0}\right)=0\text{.}$
$\rmfamily f'\left(x\right)=0 \gdw 4e^{2x}=0 \gdw \text{keine Extremstellen.}$
$\rmfamily \textsc{Wendestellen:}$
$\rmfamily \text{Notwendige Bedingung: }f''\left(x_{0}\right)=0\text{.}$
$\rmfamily f''\left(x\right)=0 \gdw 8e^{2x}\left(1-e^{2x}\right)=0 \gdw 8e^{2x}=0 \vee 1-e^{2x}=0 \gdw\quad \sim \quad \vee \quad e^{2x}=1 \gdw \quad \sim\quad\vee \quad2x*\ln e=\ln 1 \gdw \quad\sim\quad \vee \quad x_{w}=0$
$\rmfamily \text{Hinreichende Bedingung: }f''\left(x_{0}\right)=0\wedge f'''\left(x_{0}\right)\not=0\text{.}$
$\rmfamily f'''\left(0\right)=-2\not=0 \Rightarrow \mathrm{W}\left(0\left|0\right)\right.$
$\rmfamily \textsc{Monotonie:}$
$\rmfamily f'\left(x\right)>0\text{ für alle }x\text{ (streng monoton steigend).}$
$\rmfamily \textsc{Verhalten im Unendlichen:}$
$\rmfamily \lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=1 \wedge \lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=-1$
$\rmfamily \text{Schönen Abend, Stefan.}$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Erstmal dankeschön!
Aber wieso hast du ganz andere Ableitungen wie wir oben schon genannt hatten? Das verwirrt mich jetzt etwas...
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Hallo punix,
> Erstmal dankeschön!
>
> Aber wieso hast du ganz andere Ableitungen wie wir oben
> schon genannt hatten? Das verwirrt mich jetzt etwas...
dennoch hat Stefan (auch) recht - er (und Derive) hat den Bruch durch [mm] e^{-2x} [/mm] gekürzt (erkennbar am veränderten Nenner!).
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
So, da ich leider keinen Nerv mehr habe, stelle ich das rein, was ich bisher habe. Vllt. hat ja einer Lust mir das weiter zu machen. Ich würde morgen früh noch einmal reinschauen und dann abschreiben, da ich diese Aufgaben morgen abgeben muss :( Wenn es jemand macht, danke ich ihm sehr!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo punix!
> So, da ich leider keinen Nerv mehr habe, stelle ich das
> rein, was ich bisher habe. Vllt. hat ja einer Lust mir das
> weiter zu machen. Ich würde morgen früh noch einmal
> reinschauen und dann abschreiben, da ich diese Aufgaben
> morgen abgeben muss :( Wenn es jemand macht, danke ich ihm
> sehr!
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
Na, also zum Weiterrechnen habe ich keine Lust. Und nur die Lösung würde dir ja auch kaum helfen...
Beim Definitionsbereich musst du beachten, dass der Nenner nicht 0 werden darf, das ist hier allerdings gar nicht möglich. Aber das könnte man vllt noch dazu schreiben.
Und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist falsch, [mm] e^0-e^{-0}=1-1=0!!! [/mm] Also ist der Schnittpunkt (0/0)! Da du als Nullstelle schon einen Wert für x=0 hast, kann das ja auch gar nicht anders sein!!! Der Rest ist bisher aber richtig.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Mo 08.01.2007 | | Autor: | punix |
Hallo,
hiermit möchte ich mich noch einmal an alle beteiligten bedanken, ich werde meine 4 bekommen und kein defizit kassieren ;)Ich werde natürlich jetzt öfter mal was fragen, da diese Seite einfach nur geil ist ;)
Gruß Punix
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig!
