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Gaussches Eliminationsverfahre: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 Do 10.03.2005
Autor: Rmeusbur

Werte Matheraum-Kollegen,

ich habe ein kleines Problem mit dem Gausschen Eliminationsverfahren. Mir ist klar, wie ich ein Gleichungssystem in eine sog. Dreiecksform bringe (d. h. dass alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale 0 sind)! Was ich aber nicht verstehe, ist was ich dann aus dieser Dreiecksform auslesen kann! Wie kann ich anhand dieser bestimmen ob das Gleichungssystem eindeutig, mehrdeutig oder gar nicht lösbar ist?

Ausserdem würde mich interessieren wie anhand dieser Dreiecksform bestimmt wird, ob ein Gleichungssystem linear unabhängig bzw. abhängig ist?

Danke im Voraus für eure Hilfe
mfg Robert

        
Bezug
Gaussches Eliminationsverfahre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Do 10.03.2005
Autor: Julius

Hallo Robert!

Erst einmal findest du alle Infos zum Beispiel in []diesem Artikel ausführlich dargestellt. Lies ihn dir am besten in Ruhe durch.

Jetzt aber noch mal knapp zu deinen konkreten Fragen:

> ich habe ein kleines Problem mit dem Gausschen
> Eliminationsverfahren. Mir ist klar, wie ich ein
> Gleichungssystem in eine sog. Dreiecksform bringe (d. h.
> dass alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale 0 sind)!
> Was ich aber nicht verstehe, ist was ich dann aus dieser
> Dreiecksform auslesen kann! Wie kann ich anhand dieser
> bestimmen ob das Gleichungssystem eindeutig, mehrdeutig
> oder gar nicht lösbar ist?

Du machst dieses Verfahren ja mit der erweiterten Matrix $(A|b)$, wobei $Ax=b$ das LGS ist.

Jetzt darf es nicht passieren, dass am Schluss, nach der Umformung, in der ganz rechten Spalte unten Einträge Nicht-Nullen stehen, wenn ansonsten in der gleichen Zeile nur lauter Nullen stehen. Denn in diesem Fall gibt es keine Lösung!

Kommen gar keine Nullzeilen vor, dann hat man eine eindeutige Lösung.

Kommen komplette Nullzeilen vor, dann ist die Anzahl der Nullzeilen gleich der Dimension des Löungsraumes des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.
  

> Ausserdem würde mich interessieren wie anhand dieser
> Dreiecksform bestimmt wird, ob ein Gleichungssystem linear
> unabhängig bzw. abhängig ist?

Wenn keine Nullzeilen auftreten in der auf Dreicksform gebrachten Matrix, dann sind die Vektoren linear unabhängig.  

Aber am besten ist es wirklich du liest dir den kompletten Artikel durch.

Viele Grüße
Julius


Bezug
                
Bezug
Gaussches Eliminationsverfahre: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Do 10.03.2005
Autor: Rmeusbur

Hallo Julius,

danke für den aufschlussreichen Link!

mfg Robert

Bezug
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