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Geburtstagsproblem (Umkehrfunktion der Fakultät?): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 So 20.06.2004
Autor: Johannes_Pfeiffer

Hallo,

ich habe ein Problem an dem ich schon das ganze Wochenende grübele, jedoch komme ich nicht dahinter... Bis morgen brauche ich das aber schon, ich weiß mir also nicht mehr zu helfen und hoffe hier auf Hilfe.

Problemstellung:

Wieviele Personen (n) sind nötig, damit die Wahrscheinlichkeit, dass min. zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, größer als 50% ist.

Mein Ansatz:

[mm] 0,5 = 1 - {{365! \br (366-n)!} \br {365^n}} [/mm]
[mm] 0,5 = 1- {{365! \br (366-n)!} \br {n * ln 365}} \left| *ln 365; -ln 365 [/mm]
[mm] {-1 \br 2} ln 365 = {{ 365! \br (366-n)!} \br {n}} [/mm]

Okay, so weit so gut, ich kann das Teil nun aber nicht nach [mm] n [/mm] auflösen, da [mm] (366-n)! [/mm] das verhindert. Wie kann ich diese Fakultät auflösen? Gibt es da eine Art Umkehrfunktion der Fakultät?

Durch probieren bekommt man übrigens raus das dies so ein paar und zwanzig sind, aber ich muss es ja rechnerisch lösen.

Vielen Dank schon mal,
Johannes

        
Bezug
Geburtstagsproblem (Umkehrfunktion der Fakultät?): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 So 20.06.2004
Autor: rossi

Hi Johannes


bin grad ein wenig faul, deswegen setzt ich dir jetzt einfach nur nen Link hier rein - da ist genau dein Problem durchgerechnet

http://www.wiwi.uni-bielefeld.de/StatCompSci/lehre/material_spezifisch/statalg00/rsa/node17.html

Wenn dus nicht verstehen solltest (was ich etz net denk, da dein Ansatz wirklich richtig ist), dann schreib nochmal!!!

Gruß
Rossi

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Geburtstagsproblem (Umkehrfunktion der Fakultät?): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 So 20.06.2004
Autor: Johannes_Pfeiffer

Hallo,

Danke für die Antwort,

aber ich komme nicht ganz klar...

Wie kommt man auf [mm] e^{-n(n-1)/(2\times 365)}\geq 1/2 [/mm] ?

Und das ist ja nur ein Näherungswert... Trotzdem wie kommt man da drauf?

Danke,
Johannes

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Bezug
Geburtstagsproblem (Umkehrfunktion der Fakultät?): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:41 Mo 21.06.2004
Autor: Stefan

Hallo!

Es ist kein Wunder, dass dir die Näherung nicht klar ist, da sie so, wie sie da steht, natürlich falsch ist.

Richtig muss es so lauten:

[mm]p = 1 - \prod\limits_{i=1}^{n} \left( \frac{365 - i + 1}{365} \right)[/mm]

[mm]= 1 - \prod\limits_{i=1}^n \left( 1 - \frac{i-1}{365} \right)[/mm]

[mm]\approx 1 - \prod\limits_{i=1}^n e^{- \frac{i-1}{365}}[/mm]

[mm]= 1 - e^{-\sum\limits_{i=1}^n \frac{i-1}{365}}[/mm]

[mm]= 1 - e^{-\frac{n\cdot (n-1)}{2 \cdot 365}}[/mm].

An dem Ergebnis ändert sich aber insgesamt trotzdem (zum Glück!) nichts.

Liebe Grüße
Stefan

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Geburtstagsproblem (Umkehrfunktion der Fakultät?): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 So 20.06.2004
Autor: Brigitte

Hallo Johannes!

> Problemstellung:
>  
> Wieviele Personen (n) sind nötig, damit die
> Wahrscheinlichkeit, dass min. zwei Personen am gleichen Tag
> Geburtstag haben, größer als 50% ist.
>  
> Mein Ansatz:
>  
> [mm]0,5 = 1 - {{365! \br (366-n)!} \br {365^n}}[/mm]

Das ist wie gesagt absolut in Ordnung.

>  [mm]0,5 = 1- {{365! \br (366-n)!} \br {n * ln 365}} \left| *ln 365; -ln 365[/mm]

Hier hast Du nur im Nenner des zweiten Terms auf der rechten Seite logarithmiert. Wenn Du das tust, solltest Du aber alle anderen Terme (insbesondere den Zähler)auch logarithmieren. Sonst ist das keine Äquivalenzumformung.

> [mm]{-1 \br 2} ln 365 = {{ 365! \br (366-n)!} \br {n}}[/mm]

Hier sollte dann rechts noch ein Minuszeichen stehen. Aber das ist ja nicht entscheidend.

> Okay, so weit so gut, ich kann das Teil nun aber nicht nach
> [mm]n[/mm] auflösen, da [mm](366-n)![/mm] das verhindert. Wie kann ich diese
> Fakultät auflösen? Gibt es da eine Art Umkehrfunktion der
> Fakultät?

Mir fällt gerade auch nicht ein, wie man so was explizit lösen könnte. Mit der Näherung auf der von rossi angegebenen Seite kommt man ja weiter. Dass es diese Näherung gibt, lässt aber wohl darauf schließen, dass es keine explizite Auflösung nach $n$ gibt. Prinzipiell spricht aber auch nichts gegen Ausprobieren.

Viele Grüße
Brigitte
  

> Durch probieren bekommt man übrigens raus das dies so ein
> paar und zwanzig sind, aber ich muss es ja rechnerisch
> lösen.
>  
> Vielen Dank schon mal,
> Johannes
>  


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