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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:06 Fr 09.12.2016 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Sei [mm] $V\subset [/mm] H [mm] \subset [/mm] V'$ ein Gelfand-Tripel und $T>0$.
Zeige, dass [mm] $H^1((0,T),V)$ [/mm] dicht in [mm] $H^1((0,T),V')$ [/mm] liegt.
Hinweis: Verwende die Darstellung [mm] $f(t)=f(0)+\int_0^tf'(s)\;\mathrm{d}s$ [/mm] für [mm] $f\in H^1((0,T),V')$. [/mm] |
Guten Abend,
ich könnte etwas Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe brauchen.
Also ein Gelfand-Tripel ist ja ein "Tripel" $(V,H,V')$ der Form [mm] $V\subsetH\subset [/mm] V'$, wobei $V$ und $H$ Hilberträume sind und die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. $V$ ist dicht in $H$ (bezüglich der Topologie in $H$)
2. Die Inklusion [mm] $i:V\to [/mm] H$ ist stetig (bezüglich der Topologien in $V$ und $H$)
3. Die duale (adjungierte) Einbettung [mm] $i':H=H'\to [/mm] V'$ ist stetig und [mm] $H\subset [/mm] V'$ ist dicht.
4.Die duale Paarung zwischen $V$ und $V'$ ist kompatibel mit dem Skalarprodukt in $H$, d.h. es gilt
[mm] $$v(u)=\langle v,u\rangle_{V'\times V}=\langle u,v\rangle_H\quad (u\in V\subset [/mm] H, [mm] v\in H=H'\subset [/mm] V')$$
Ich muss nun also zeigen, dass es für jedes [mm] $f(t)=f(0)+\int_0^tf'(s)\;\mathrm{d}s\in H^1((0,T),V')$ $(t\in(0,T))$ [/mm] eine Folge [mm] $(f_n(t))_{n\in\mathbb{N}}\subset H^1((0,T),V)$ [/mm] gibt, mit [mm] $f_n(t)\to [/mm] f(t)$ in [mm] $H^1((0,T),V')$?
[/mm]
Wegen [mm] $V\subset [/mm] V'$ gilt ja zumindest schon ein mal [mm] $H^1((0,T),V)\subset H^1((0,T),V')$.
[/mm]
Vielen Dank und viele Grüße,
DerBaum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Mi 14.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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