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Geometrische Transformation: Was macht Abbildung A*x mit R2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:20 Mo 08.12.2014
Autor: asg

Aufgabe
Es seien: A:= [mm] \bruch{1}{5} \pmat{ -3 & -4 \\ 4 & -3 } [/mm] und [mm] \vec{x}:= \vektor{2 \\ 1} [/mm]

a) Bestimmen Sie die Längen [mm] \parallel \vec{x}\parallel [/mm] und [mm] \parallel A\cdot \vec{x}\parallel [/mm]

b) Berechnen Sie jeweils den [mm] Winkel^a [/mm] ...
b.1) [mm] \alpha, [/mm] der von [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] A\cdot \vec{x} [/mm] eingeschlossen wird.
b.2) [mm] \beta, [/mm] der von [mm] \vec{x} [/mm] und der [mm] x_1-Achse [/mm] eingeschlossen wird.
b.3) [mm] \gamma, [/mm] der von [mm] A\cdot \vec{x} [/mm] und [mm] A\cdot \vec{e} [/mm] eingeschlossen wird.

c) Was macht die Abbildung [mm] A\cdot \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] mit dem Raum [mm] \IR^2? [/mm]

[mm] Winkel^a [/mm] sind im Bogenmaß anzugeben.

Hallo zusammen,

folgende Aufgaben habe ich gelöst, aber bin mir nicht 100% sicher:

Für a) habe ich jeweils [mm] \wurzel{5} [/mm] als Länge.

Sind die beiden Notationen [mm] \parallel\vec{x}\parallel [/mm] und [mm] |\vec{x}| [/mm] identisch?

Für die Winkeln habe ich:

b.1)
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] -\bruch{3}{5} [/mm]
[mm] \alpha° [/mm] = [mm] arccos(\alpha) \approx [/mm] 126,57°

[mm] \alpha^a [/mm] = [mm] arccos(\alpha)\cdot \bruch{\pi}{180°} [/mm]
[mm] \alpha^a \approx [/mm] 2,199

b.2) und b.3)
[mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] cos(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}} [/mm]
[mm] \beta^a [/mm] = [mm] \gamma^a \approx [/mm] 0,464

c) Hier verstehe ich nicht genau, was gemeint ist. In der Aufgabe steht ja: "Was macht die Abbildung [mm] A\cdot \vektor{x_1 \\x_2} [/mm] mit [mm] \IR^2?" [/mm] Ist evtl. gemeint: Was macht die Matrix A mit jedem Vektor [mm] \vektor{x_1 \\x_2}? [/mm]

Die Matrix A rotiert den Vektor [mm] \vektor{x_1 \\x_2} [/mm] um ca. 126,87° im Gegenuhrzeigersinn.
Könnte ich statt "um ca. 126,87°" auch "um [mm] cos(-\bruch{3}{5})" [/mm] sagen?

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Geometrische Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Mo 08.12.2014
Autor: meili

Hallo,

> Es seien: A:= [mm]\bruch{1}{5} \pmat{ -3 & -4 \\ 4 & -3 }[/mm] und
> [mm]\vec{x}:= \vektor{2 \\ 1}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie die Längen [mm]\parallel \vec{x}\parallel[/mm] und
> [mm]\parallel A\cdot \vec{x}\parallel[/mm]
>  
> b) Berechnen Sie jeweils den [mm]Winkel^a[/mm] ...
>  b.1) [mm]\alpha,[/mm] der von [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]A\cdot \vec{x}[/mm]
> eingeschlossen wird.
>  b.2) [mm]\beta,[/mm] der von [mm]\vec{x}[/mm] und der [mm]x_1-Achse[/mm]
> eingeschlossen wird.
>  b.3) [mm]\gamma,[/mm] der von [mm]A\cdot \vec{x}[/mm] und [mm]A\cdot \vec{e}[/mm]
> eingeschlossen wird.
>  
> c) Was macht die Abbildung [mm]A\cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] mit
> dem Raum [mm]\IR^2?[/mm]
>  
> [mm]Winkel^a[/mm] sind im Bogenmaß anzugeben.
>  Hallo zusammen,
>  
> folgende Aufgaben habe ich gelöst, aber bin mir nicht 100%
> sicher:
>  
> Für a) habe ich jeweils [mm]\wurzel{5}[/mm] als Länge.

[ok]

>  
> Sind die beiden Notationen [mm]\parallel\vec{x}\parallel[/mm] und
> [mm]|\vec{x}|[/mm] identisch?

Manchmal ja. Es kommt darauf an, wie es in dem jeweiligen Text definiert wurde.
|x| wird auch eher für Betrag einer Zahl verwendet; und [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel$ [/mm] für eine Norm
mit zusätzlicher Angabe welche gemeint ist, z.B.  [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel_2$ [/mm] oder  [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{\infty}$. [/mm]

>  
> Für die Winkeln habe ich:
>  
> b.1)
>  [mm]cos(\alpha)[/mm] = [mm]-\bruch{3}{5}[/mm]
>  [mm]\alpha°[/mm] = [mm]arccos(\alpha) \approx[/mm] 126,57°

Nicht 126,87° ?

>  
> [mm]\alpha^a[/mm] = [mm]arccos(\alpha)\cdot \bruch{\pi}{180°}[/mm]
>  [mm]\alpha^a \approx[/mm]
> 2,199

2,214

>
> b.2) und b.3)
>  [mm]cos(\beta)[/mm] = [mm]cos(\gamma)[/mm] = [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
>  [mm]\beta^a[/mm] = [mm]\gamma^a \approx[/mm] 0,464

[ok]

>  
> c) Hier verstehe ich nicht genau, was gemeint ist. In der
> Aufgabe steht ja: "Was macht die Abbildung [mm]A\cdot \vektor{x_1 \\x_2}[/mm]
> mit [mm]\IR^2?"[/mm] Ist evtl. gemeint: Was macht die Matrix A mit
> jedem Vektor [mm]\vektor{x_1 \\x_2}?[/mm]

Ja.

>  
> Die Matrix A rotiert den Vektor [mm]\vektor{x_1 \\x_2}[/mm] um ca.
> 126,87° im Gegenuhrzeigersinn.

[ok]

>  Könnte ich statt "um ca. 126,87°" auch "um
> [mm]cos(-\bruch{3}{5})"[/mm] sagen?

Ja.

>  
> Danke vorab
>  
> Viele Grüße
>  
> Asg

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Geometrische Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:56 Mo 08.12.2014
Autor: asg

Hallo meili,


> > Sind die beiden Notationen [mm]\parallel\vec{x}\parallel[/mm] und
> > [mm]|\vec{x}|[/mm] identisch?
>  Manchmal ja. Es kommt darauf an, wie es in dem jeweiligen
> Text definiert wurde.
>  |x| wird auch eher für Betrag einer Zahl verwendet; und
> [mm]\parallel x \parallel[/mm] für eine Norm
> mit zusätzlicher Angabe welche gemeint ist, z.B.  
> [mm]\parallel x \parallel_2[/mm] oder  [mm]\parallel x \parallel_{\infty}[/mm].

Ok, verstehe - Dankeschön für die Erklärung.

> > Für die Winkeln habe ich:

> > b.1)
>  >  [mm]cos(\alpha)[/mm] = [mm]-\bruch{3}{5}[/mm]
>  >  [mm]\alpha°[/mm] = [mm]arccos(\alpha) \approx[/mm] 126,57°
>  Nicht 126,87° ?

Oops, da habe ich mich wohl vertippt/vertan - Danke für die beiden Hinweise.

> > c) Hier verstehe ich nicht genau, was gemeint ist. In der
> > Aufgabe steht ja: "Was macht die Abbildung [mm]A\cdot \vektor{x_1 \\x_2}[/mm]
> > mit [mm]\IR^2?"[/mm] Ist evtl. gemeint: Was macht die Matrix A mit
> > jedem Vektor [mm]\vektor{x_1 \\x_2}?[/mm]
>  Ja.

Heißt es, dass die Formulierung der Aufgabenstellung nicht korrekt ist oder sind beide Formulierungen identisch?

> Gruß
>  meili

Liebe Grüße

Asg

Bezug
                
Bezug
Geometrische Transformation: arccos statt cos
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Mo 08.12.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> > Die Matrix A rotiert den Vektor [mm]\vektor{x_1 \\x_2}[/mm] um ca.
> > 126,87° im Gegenuhrzeigersinn.
>  [ok]
>  
> >  Könnte ich statt "um ca. 126,87°" auch "um

> > [mm]cos(-\bruch{3}{5})"[/mm] sagen?

>  Ja.      [notok]

Der Drehwinkel ist nicht  $\ cos [mm] \left(-\bruch{3}{5}\right)$ [/mm]  , sondern  $\ arccos [mm] \left(-\bruch{3}{5}\right)$ [/mm]  !

Gruß ,    Al

Bezug
                        
Bezug
Geometrische Transformation: [Gelöst]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Mo 08.12.2014
Autor: asg

Hallo,

> > >  Könnte ich statt "um ca. 126,87°" auch "um

> > > [mm]cos(-\bruch{3}{5})"[/mm] sagen?
>  
> >  Ja.      [notok]

>  
> Der Drehwinkel ist nicht  [mm]\ cos \left(-\bruch{3}{5}\right)[/mm]  
> , sondern  [mm]\ arccos \left(-\bruch{3}{5}\right)[/mm]  !

Ach ja stimmt, cosinus ist ja keine Winkelangabe - mein Fehler.

> Gruß ,    Al

Dankeschön für den Hinweis :)

Viele Grüße

Asg

Bezug
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