Gleich in Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Sa 02.07.2011 | | Autor: | gollum13 |
| Aufgabe | | Seien X, Y zwei Zufallsvariablen. Erklären Sie den Unterschied zwischen: "X und Y sind gleich" und "X und Y sind gleich in Verteilung". |
Hallo,
kann mir jemand diese Unterschied erklären? Vielleicht hat jemand ein Beispiel von zwei unterschiedlichen Zufallsvariablen mit gleicher Verteilung.
Schönen Abend,
gollum13
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
den Unterschied sollst ja Du erklären.
1. Was sind saubere Definitionen von
"X und Y sind gleich"
und
"X und Y sind gleich in Verteilung"?
Nach Deiner Antwort denk ich mir X und Y aus, und ich will aus Deinen Definitionen eindeutig entscheiden können, ob die beiden eine oder beide Aussagen erfüllen.
2. Was denkst Du ist die stärkere der beiden Eigenschaften?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 02.07.2011 | | Autor: | gollum13 |
Die Frage hab ich mir ausgedacht, ist keine Übungsblatt 
Prinzipiell würde ich natürlich davon ausgehen, dass "echte" Gleichheit stärker ist, da gleiche ZV wohl auch in Verteilung gleich sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Blech |
Jo, ändert aber nix an meiner Antwort, was sind die exakten Definitionen? Ohne Definition ist das ganze reiner Schwamm. Was ist der Unterschied zwischen "X und Y sind gute ZV" und "X und Y sind ziemlich gute ZV"? =)
Wenn Du keine hast, dann fangen wir damit an, sie zu konstruieren. Was genau heißt "X und Y sind gleich"? Wenn ich Dir 2 ZV gebe, wann würdest Du sagen, "hey, die sind gleich"?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Sa 02.07.2011 | | Autor: | gollum13 |
X und Y sind gleich, wenn sie die gleichen messbaren Abbildungen sind... X(w)=Y(w) für alle w...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 So 03.07.2011 | | Autor: | Blech |
Yep,
und jetzt das gleiche für "gleich in Verteilung".
Dann schaust Du Dir beide genau an und konstruierst ein Beispiel, das die erste nicht erfüllt und die zweite schon. D.h. 2 ZV, wo es mindestens ein [mm] $\omega$ [/mm] gibt, für das [mm] $X(\omega)\neq Y(\omega)$, [/mm] aber mit der gleichen Verteilung. Generell beginnst Du bei den einfachsten Beispielen und machst sie nur bei Bedarf komplizierter.
Also: Münzwurf
$X:\ [mm] \{Kopf, Zahl\}\to \{0,1\}$ [/mm] (jeweils mit der Potenzmenge als [mm] $\sigma$-Algebra)
[/mm]
Y, ... hier stoßen wir schon auf den ersten Ansatz. Was, wenn X und Y nicht auf dem gleichen WRaum arbeiten?
$Y:\ [mm] \{Wappen, Zahl\}\to \{0,1\}$
[/mm]
Aber sagen wir Du setzt das voraus. Wie geht's dann weiter?
ciao
Stefan
PS: und ja, Fry hat eine Lösung gepostet. Viel wichtiger als die Lösung ist aber die Systematik, wie Du auf eine Lösung kommst, weil Du sonst in Kürze wieder vor dem gleichen Problem stehst (z.B. auf der Suche nach einer Folge, die in Wkeit konvergiert, aber nicht fast sicher)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mo 04.07.2011 | | Autor: | gollum13 |
Ah, schön. Nun sehe ich es. Gleich in Verteilung heißt (im diskreten) P(X=k)=P(Y=k) für alle k.
In deinem Münzwurf Beispiel (mit fairer Münze) kann X z.B. Kopf auf 1 und Zahl auf 0 abbilden und Y genau umgekehrt. Trotzdem würde gelten P(X=1)=P(Y=1)=1/2, weil bei X und Y die beiden Urbilder die gleiche "Mächtigkeit" haben.
... und im stetigen Fall würde man sich dann halt mit P(X<=x) die Verteilungsfunktion angucken.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 04.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
mein Lieblingsbeispiel fuer Gleichheiit in Verteilung ist wie folgt:
Ist $X_$ standardnormalverteilt, so sind $X_$ und $-X_$ gleich in Verteilung.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Fry |
Würde mal die Frage so verstehen:
1.Fall: Die Zufallsvariablen X imd Y sind identisch, geben also z.B. dasselbe an, wie die Augenzahl eines Würfels. Also X=Y.
2.Fall Die Zufallsvariablen X und Y sind nur identisch verteilt,also X~Y
z.B. beim zweifachen Werfen eines Würfels, X gebe Augenzahl im ersten Wurf und Y die Augenzahl im zweiten Wurf. Die Variablen sind nicht identisch, sind aber beiden gleichverteilt auf der Menge [mm] \{1,2,3,4,5,6\}
[/mm]
Gruß
Fry
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