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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Gleichung mit komplexen Zahlen
Gleichung mit komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gleichung mit komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Fr 01.11.2013
Autor: bavarian16

Aufgabe
a) Welche komplexe Zahl z erfüllt die Gleichung:
         z - 1 + 2iz* - i = 0                                        

b) Bestimmen Sie die reellen Zahlen x,y so, dass [mm] (x+iy)^2 [/mm] = 2i

Das * ist KEIN Multiplikationszeichen sondern ein Sternchen, wahrscheinlich das Symbol für konjugiert komplex oder?

a)Ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe angehen soll. Ich könnte die komplexen Zahlen z bzw z* in allgebraischer Form schreiben.

(x+iy) - 1 + 2i(x-iy) - i = 0

kann ich die Gleichung dann folgender Masen zusammen fassen und bringt mir das überhaupt was?

(x+iy) + 2ix - 2(i)^2y - i = 1
(x+iy) + 2ix + 2y - i = 1             (weil [mm] i^2=-1) [/mm]

Aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen kann.

b) Also ich würd Wurzelziehen auf beiden Seiten so, dass ich hab:
(x+iy) = √2i

Weiter weiß ich nicht...
Vielleicht kann man das i auch in Eula Form umschreiben: Bringt das was?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Fr 01.11.2013
Autor: abakus


> a) Welche komplexe Zahl z erfüllt die Gleichung:
> z - 1 + 2iz* - i = 0

>
>

> b) Bestimmen Sie die reellen Zahlen x,y so, dass [mm](x+iy)^2[/mm] =
> 2i
> Das * ist KEIN Multiplikationszeichen sondern ein
> Sternchen, wahrscheinlich das Symbol für konjugiert
> komplex oder?

>

> a)Ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe angehen
> soll. Ich könnte die komplexen Zahlen z bzw z* in
> allgebraischer Form schreiben.

>

> (x+iy) - 1 + 2i(x-iy) - i = 0

>

> kann ich die Gleichung dann folgender Masen zusammen fassen
> und bringt mir das überhaupt was?

>

> (x+iy) + 2ix - 2(i)^2y - i = 1
> (x+iy) + 2ix + 2y - i = 1 (weil [mm]i^2=-1)[/mm]

Hallo,
bis jetzt war das ganz gut.
Jetzt sortieren wir die linke Seite mal nach Termen mit i und Termen ohne i. Die Gleichung lautet dann
x+2y+i*(y+2x-1)=1
Also besitzt die linke Seite den Realteil 1 (und den Imaginärteil 0).
Daraus bekommst du das Gleichungssystem 
x+2y=1
y+2x-1=0.
Gruß Abakus



>

> Aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen kann.

>

> b) Also ich würd Wurzelziehen auf beiden Seiten so, dass
> ich hab:
> (x+iy) = √2i

>

> Weiter weiß ich nicht...
> Vielleicht kann man das i auch in Eula Form umschreiben:
> Bringt das was?

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Bezug
                
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Fr 01.11.2013
Autor: bavarian16


> > a) Welche komplexe Zahl z erfüllt die Gleichung:
>  > z - 1 + 2iz* - i = 0

>  >
>  >
>  > b) Bestimmen Sie die reellen Zahlen x,y so, dass

> [mm](x+iy)^2[/mm] =
>  > 2i

>  > Das * ist KEIN Multiplikationszeichen sondern ein

>  > Sternchen, wahrscheinlich das Symbol für konjugiert

>  > komplex oder?

>  >
>  > a)Ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe angehen

>  > soll. Ich könnte die komplexen Zahlen z bzw z* in

>  > allgebraischer Form schreiben.

>  >
>  > (x+iy) - 1 + 2i(x-iy) - i = 0

>  >
>  > kann ich die Gleichung dann folgender Masen zusammen

> fassen
>  > und bringt mir das überhaupt was?

>  >
>  > (x+iy) + 2ix - 2(i)^2y - i = 1

>  > (x+iy) + 2ix + 2y - i = 1 (weil [mm]i^2=-1)[/mm]

>  Hallo,
>  bis jetzt war das ganz gut.
>  Jetzt sortieren wir die linke Seite mal nach Termen mit i
> und Termen ohne i. Die Gleichung lautet dann
>  x+2y+i*(y+2x-1)=1
>  Also besitzt die linke Seite den Realteil 1 (und den
> Imaginärteil 0).

Warum? Ich versteh die Umformung nach "i" und "nicht i" aber wo liest du den Real- bzw Imaginärteil ab?

>  Daraus bekommst du das Gleichungssystem 
>  x+2y=1
>  y+2x-1=0.

Wie stellst du dieses Gleichungssystem auf? Könnt es nicht genau anders rum sein? Also:
x+2y=0
y+2x-1=1

>  Gruß Abakus
>  
>
>
> >
>  > Aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen kann.

>  >
>  > b) Also ich würd Wurzelziehen auf beiden Seiten so,

> dass
>  > ich hab:

>  > (x+iy) = √2i

>  >
>  > Weiter weiß ich nicht...

>  > Vielleicht kann man das i auch in Eula Form

> umschreiben:
>  > Bringt das was?

>  >
>  > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen

>  > Internetseiten gestellt.


Bezug
                        
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Fr 01.11.2013
Autor: angela.h.b.


> > Die Gleichung lautet dann
> > [mm] \green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1 [/mm]
> > Also besitzt die linke Seite den Realteil 1 (und den
> > Imaginärteil 0).
> Warum? Ich versteh die Umformung nach "i" und "nicht i"
> aber wo liest du den Real- bzw Imaginärteil ab?

Hallo,

der Imaginärteil ist die reelle Zahl, die mit i multipliziert wird (rot), der Realteil der Teil ohne i (grün).

> > Daraus bekommst du das Gleichungssystem 
> > x+2y=1
> > y+2x-1=0.
> Wie stellst du dieses Gleichungssystem auf? Könnt es
> nicht genau anders rum sein? Also:
> x+2y=0
> y+2x-1=1

Nein.

Es ist [mm] \green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1=\green{1}+\red{0}*i. [/mm]

Also müß jeweils das Grüne gleich sein, und das Rote.

LG Angela
 

Bezug
                                
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Fr 01.11.2013
Autor: bavarian16


>
> > > Die Gleichung lautet dann
>  > > [mm]\green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1[/mm]

>  > > Also besitzt die linke Seite den Realteil 1 (und den

>  > > Imaginärteil 0).

>  > Warum? Ich versteh die Umformung nach "i" und "nicht i"

>  > aber wo liest du den Real- bzw Imaginärteil ab?

>  
> Hallo,
>  
> der Imaginärteil ist die reelle Zahl, die mit i
> multipliziert wird (rot), der Realteil der Teil ohne i
> (grün).

Alles klar. Danke

>  
> > > Daraus bekommst du das Gleichungssystem 
>  > > x+2y=1

>  > > y+2x-1=0.

>  > Wie stellst du dieses Gleichungssystem auf? Könnt es

>  > nicht genau anders rum sein? Also:

>  > x+2y=0

>  > y+2x-1=1

>  
> Nein.
>  
> Es ist
> [mm]\green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1=\green{1}+\red{0}*i.[/mm]
>  
> Also müß jeweils das Grüne gleich sein, und das Rote.

Wenn jetzt eine 2 hinter dem Gleichheitszeichen stehen würde hieße das, dass mein Realteil=2 ist. Und was muss hinter dem Gleichheitszeichen stehen dass mein Imaginärteil nicht 0 ist? Wie sähe so eine Lösung aus?

Es ist also das Ziel auf einer Seite der Gleichung Irgendwas (eine komplexe Zahl in der Form x+iy) mit einem i und Irgendwas ohne i stehen zu haben. Was ich jetzt nur nicht verstehen, wie man denen Werte abliest?

>  
> LG Angela
>   


Bezug
                                        
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Fr 01.11.2013
Autor: angela.h.b.


> > Es ist
> > [mm]\green{x+2y}+i*\red{(y+2x-1)}=1=\green{1}+\red{0}*i.[/mm]
> >
> > Also müß jeweils das Grüne gleich sein, und das Rote.

>

> Wenn jetzt eine 2 hinter dem Gleichheitszeichen stehen
> würde hieße das, dass mein Realteil=2 ist.

Hallo,

genau.


> Und was muss
> hinter dem Gleichheitszeichen stehen dass mein
> Imaginärteil nicht 0 ist?

Eine komplexe Zahl, etwa

x+2y+(x+2y-1)*i=5+7i.

Daraus folgt

x+2y=5 und
x+2y-1=7.

LG Angela




> Wie sähe so eine Lösung aus?

>

> Es ist also das Ziel auf einer Seite der Gleichung
> Irgendwas (eine komplexe Zahl in der Form x+iy) mit einem i
> und Irgendwas ohne i stehen zu haben. Was ich jetzt nur
> nicht verstehen, wie man denen Werte abliest?
> >
> > LG Angela
> >  

>

Bezug
                                                
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Fr 01.11.2013
Autor: bavarian16

Alles Klar. Vielen Dank an Alle!

Bezug
                                        
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Fr 01.11.2013
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Als Zusatz, da das anscheinend nicht ganz klar ist:

Du kannst das ganze ja immer so umrechnen, daß auf einer Seite 0 steht.

$ [mm] \green{x+2y}+i\cdot{}\red{(y+2x-1)}=1=\green{1}+\red{0}\cdot{}i. [/mm] $


$ [mm] \green{x+2y-1}+i\cdot{}\red{(y+2x-1)}=0=\green{0}+\red{0}\cdot{}i. [/mm] $

Denk dran, sowohl das rote als auch das grüne ist rein reell, erst durch die Multiplikation mit dem i kommt das Komplexe ins Spiel.

So kannst du nun immer sagen, daß der realteil (grün) =0 werden muß, und der imaginäre (rot*i) auch.



Aber Achtung: Du hast hier selbst gesagt, daß du die komplexe Zahl z schreiben willst als z=x+iy, wobei x und y reelle Variablen sein sollen. Angenommen, da stünde

$u+2v+i*(v+2u-1)=0$  und u, v sind als komplexe Zahlen, dann funktioniert das nicht mehr. Dann mußt du erstmal u=a+i*b und v=c+i*d ersetzen, mit reellen a, b, c, d, und dann wie gehabt umformen.

Bezug
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