matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathe Klassen 8-10Gleichung mit mehreren Variablen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Mathe Klassen 8-10" - Gleichung mit mehreren Variablen
Gleichung mit mehreren Variablen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe Klassen 8-10"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichung mit mehreren Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Mi 10.03.2004
Autor: Josef

Wie kann man folgendes Gleichungssystem lösen?

A: [mm]\bruch{x-y}{3\wurzel{x}-3\wurzel{y}}[/mm] = 3
B: [mm]\wurzel{\bruch{xy}{4}}[/mm] = 10

Lösung =
[mm]x_1[/mm] = 25
[mm]x_2[/mm] = 16

[mm]y_1[/mm] = 16
[mm]y_2[/mm] = 25


Mein Ansatz:

Bei Gleichung A Nenner beseitigen.
Gleichung B quadrieren.

A: x-y = 3(3[mm]\wurzel{x}[/mm]-3[mm]\wurzel{y}[/mm])
B:[mm] \bruch{xy}{4}[/mm] = 100

A: x-y = 9[mm]\wurzel{x}[/mm]-9[mm]\wurzel{y}[/mm]
B: xy = 400

jetzt kann ich Gleichung B noch durch y dividieren.

A: x-y = 9[mm]\wurzel{x}[/mm]-9[mm]\wurzel{y}[/mm]
B: x = [mm]\bruch{400}{y}[/mm]

Gleichung B in Gleichung A einsetzen:

[mm]\bruch{400}{y}[/mm]-y = 9[mm]\wurzel{\bruch{400}{y}}[/mm]-9[mm]\wurzel{y}[/mm]

Wie rechne ich  weiter?  Beim weiteren Quadrieren verliere ich den Überblick.

        
Bezug
Gleichung mit mehreren Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mi 10.03.2004
Autor: Oliver

Hallo Josef,

Deine Rechnungen soweit waren zwar richtig, machen die Lösung aber schwieriger als es sein müsste.

Fangen wir nochmal mit
A: [mm]\bruch{x-y}{3\wurzel{x}-3\wurzel{y}} = 3[/mm]
B: [mm]\wurzel{\bruch{xy}{4}} = 10[/mm]
an.

Gleichung A ist ein guter Kandidat für die 3. Binomische Formel, denn aus
[mm]\bruch{x-y}{3\wurzel{x}-3\wurzel{y}} = 3[/mm] folgt
[mm]\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{y})(\wurzel{x}+\wurzel{y})}{\wurzel{x}-\wurzel{y}} = 9[/mm] und somit
[mm]\wurzel{x}+\wurzel{y} = 9[/mm].

Auch in Gleichung lassen wir erst einmal die Wurzel stehen, aus
[mm]\wurzel{\bruch{xy}{4}} = 10[/mm] folgt dann
[mm]\bruch{\wurzel{x}\wurzel{y}}{\wurzel{4}} = 10[/mm] und somit
[mm]\wurzel{x}\wurzel{y}} = 20[/mm]

Jetzt probier' mal (wie Du es vorher auch schon machen wolltest) die zweite Gleichung in die erste einzusetzen ... Du wirst sehen es wird einfacher gehen. Du kommst dann ziemlich schnell auf eine quadratische Gleichung, die Du anschließend mit der pq-Formel lösen kannst.

Sag' mal Bescheid, ob es geklappt hat und poste hier bitte die noch fehlenden Schritte, dann schauen wir drüber.

Viel Erfolg
Oliver


Bezug
                
Bezug
Gleichung mit mehreren Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Mi 10.03.2004
Autor: Josef

Hallo Oliver,

ich erkenne nicht die 3. Binomische Formel.
Mir fällt es leichter, die erste Gleichung in die zweite Gleichung einzusetzen.  
Der weitere Rechenweg ist mir klar.

[mm]\wurzel{x}[/mm] = 9 - [mm]\wurzel{y}[/mm]

(9 - [mm]\wurzel{y}[/mm])* [mm]\wurzel{y}[/mm]= 20


81y = 400+40y+y²
y²-41y+400 = 0
[mm] y_1 [/mm] = 25
[mm] y_2 [/mm] = -16
                                            

Bezug
                        
Bezug
Gleichung mit mehreren Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Mi 10.03.2004
Autor: Marc

Hallo Josef,

> ich erkenne nicht die 3. Binomische Formel.

da gehört auch ein bisschen Übung dazu:

[mm] $x-y=\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{y}\right)^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})*(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ [/mm]

Das gilt natürlich nur für [mm] $x,y\ge [/mm] 0$, das ist hier aber ja der Fall, da diese Variablen bereits im Ausgangsterm unter Wurzeln stehen.

>  Mir fällt es leichter, die erste Gleichung in die zweite
> Gleichung einzusetzen.  

Okay, je nach Belieben...

> Der weitere Rechenweg ist mir klar.
>  
> [mm]\wurzel{x}[/mm] = 9 - [mm]\wurzel{y}[/mm]
>  
> (9 - [mm]\wurzel{y}[/mm])* [mm]\wurzel{y}[/mm]= 20
>  
>
> 81y = 400+40y+y²
>  y²-41y+400 = 0
>  [mm] y_1 [/mm] = 25
>  [mm] y_2 [/mm] = -16

Eine negative Lösung für $y$ wäre aus den oben angesprochenen Gründen nicht definiert. Aber du hast --hoffe ich-- nur das Vorzeichen aus Versehen dazugeschrieben. Die MBp/q-Formel ergibt ja:

[mm] $y_{1,2}=20{,}5\pm4{,}5 \gdw y_1=25 \;\;\vee\;\; y_2=16$ [/mm]

Bleiben jetzt noch Fragen offen? Falls ja, melde dich einfach wieder.

Alles Gute,
Marc.

Bezug
                                
Bezug
Gleichung mit mehreren Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Do 11.03.2004
Autor: Josef

Hallo Marc,
Hallo Oliver,

ich habe die Aufgabe noch einmal nachgerechnet. Ich habe es jetzt verstanden.
Vielen Dank für eure Hilfe und für die guten Rechentipps!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe Klassen 8-10"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]