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Gram-Schmidt: Lösungsansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Di 27.07.2010
Autor: Skyhaven

Hallo,
ich habe für eine Aufgabe die im Prinzip lautet Matrix*X=B. Hierbei ist sowohl die Matrix als auch der Ergebnissvektor B bekannt. Nun soll das ganze mit dem Gram-Schmitdt-Ortogonalisierungsverfahren gelöst werden.
Als Bsp. Zahlen habe ich genommen M= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12} [/mm] damit ich weiß was raus kommen sollte ist X= [mm] \vektor{13\\14\\15} [/mm] und B Vektor = [mm] \vektor{86 \\ 212 \\ 338 \\ 464} [/mm]
Nun soll ja für das Gram-Schmidt-Verfahren die Matrix als einzelne Vektoren betrachtet werden die mit hilfe von X einen neuen Vektor hier B aufspannen. Also nehme ich die einzelnen Vektoren aus M und berechne die mi'
Also für m1'=m1
für m2'=m2- [mm] \bruch{}{}*m1' [/mm]
und jedes weitere mi'= mi - [mm] \bruch{}{}{}*m2'-...- \bruch{}{} [/mm]
Nun sollte rein theoretisch wenn ich die neuen Vektoren m skalar untereinander multipliziere Null herauskommen. (tut es auch in etwa nur Rundungsfehler). Wenn jetzt ein weiterer Vektor, der B Vektor hinzu kommt sollte es Möglich sein X zu berechnen. Und hier fangen meine Schwierigkeiten an, ich bin mir nicht sicher wie. Ich habe als Formel gefunden xi = [mm] \bruch{}{} [/mm] leider kann ich da nicht wirklich X errechnen und ich würde gern wissen was ich falsch mache, bzw. wie ich X errechnen kann.
Danke schonmal für jede Hilfe^^

P.S. <A,B> bezeichnet das Skalarprodukt A mit B

Für die von mir gegebenen Zahlen hab ich mit dem Oben genannten Verfahren als X1'= 47,8313 für X2' =44 und X3' 9.45 E15 wie man sieht leider nicht mal annhähernd im Bereich.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gram-Schmidt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:41 Mi 28.07.2010
Autor: meili

Hallo,
[willkommenmr]

> Hallo,
>  ich habe für eine Aufgabe die im Prinzip lautet
> Matrix*X=B. Hierbei ist sowohl die Matrix als auch der
> Ergebnissvektor B bekannt. Nun soll das ganze mit dem
> Gram-Schmitdt-Ortogonalisierungsverfahren gelöst werden.

Siehe dazu MBOrthogonalisierungsverfahren und MBGramSchmidt
für M [mm] $\in \IR^{m \times n}$ [/mm] siehe auch []QR-Zerlegung

>  Als Bsp. Zahlen habe ich genommen M= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12}[/mm]
> damit ich weiß was raus kommen sollte ist X=
> [mm]\vektor{13\\14\\15}[/mm] und B Vektor = [mm]\vektor{86 \\ 212 \\ 338 \\ 464}[/mm]
>

Schön, dass du ein konkretes Beispiel angibst.
Dieses Beispiel hat jedoch folgende Tücken: die Spaltenvektoren von M sind linearabhängig,  rang(M) = 2

> Nun soll ja für das Gram-Schmidt-Verfahren die Matrix als
> einzelne Vektoren betrachtet werden die mit hilfe von X
> einen neuen Vektor hier B aufspannen. Also nehme ich die
> einzelnen Vektoren aus M und berechne die mi'
>  Also für m1'=m1
>  für m2'=m2- [mm]\bruch{}{}*m1'[/mm]
>  und jedes weitere mi'= mi -
> [mm]\bruch{}{}{}*m2'-...- \bruch{}{}[/mm]
> Nun sollte rein theoretisch wenn ich die neuen Vektoren m
> skalar untereinander multipliziere Null herauskommen. (tut
> es auch in etwa nur Rundungsfehler).

[mm] $m_3'$ [/mm] = $ [mm] (0,0,0,0)^T$ [/mm] ?

>Wenn jetzt ein

> weiterer Vektor, der B Vektor hinzu kommt sollte es
> Möglich sein X zu berechnen. Und hier fangen meine
> Schwierigkeiten an, ich bin mir nicht sicher wie. Ich habe
> als Formel gefunden xi = [mm]\bruch{}{}[/mm]

Diese Formel kann ich nicht nachvollziehen, besonders was ist xi' ?

> leider
> kann ich da nicht wirklich X errechnen und ich würde gern
> wissen was ich falsch mache, bzw. wie ich X errechnen
> kann.
>  Danke schonmal für jede Hilfe^^
>  
> P.S. <A,B> bezeichnet das Skalarprodukt A mit B
>  
> Für die von mir gegebenen Zahlen hab ich mit dem Oben
> genannten Verfahren als X1'= 47,8313 für X2' =44 und X3'
> 9.45 E15 wie man sieht leider nicht mal annhähernd im
> Bereich.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Grüsse meili

Bezug
                
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:57 Mi 28.07.2010
Autor: Skyhaven

Huch, du hast recht, ich habe mich verschrieben bei X, um die jeweiligen Komponenten von X zu berechnen soll gelten [mm] xi=\bruch{}{} [/mm]
und das mit dem Linear abhängig habe ich total ausser acht gelassen^^ danke dass hab ich bei mir direkt Korregiert. Wenn ich das nun ändere und Linerar unabhängige Vektoren nutze bekomme ich für das jeweils letzte i das richtige heraus. Aber ich bin mir nicht sicher wie ich auf die anderen komme.

Bezug
                        
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 Mi 28.07.2010
Autor: meili

Hallo,

siehe  MBOrthogonalisierungsverfahren
dein berechnetes x = [mm] $(x_1, ...)^T [/mm] entspricht dem c.
[mm] $\left( m_1', m_2', ...\right)$, [/mm] wenn die [mm] $m_i'$ [/mm] noch normiert werden, dem Q
Also noch R = [mm] $Q^T \cdot [/mm] M$ berechnen und  x aus erhalten Rx = c.

Gruß meili


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Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Do 29.07.2010
Autor: Skyhaven

Dank dir, du hast mir schonmal sehr viel weiter geholfen. Leider bin ich noch nicht ganz sicher dass ich das richtig habe, wäre es möglich dir eine durchgerechnete Aufgabe zu senden?

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Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Do 29.07.2010
Autor: meili

ja. zeig mal

Bezug
                                                
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 Fr 30.07.2010
Autor: Skyhaven

so^^ nun erstmal schrittweise das ganze.
Ich hab nun die Matrix [mm] =\pmat{1&2&1,5\\4&5&3\\7&0,5&9\\10&11&12} [/mm] damit die einzelnen Vektoren untereinander linear unabhängig sind. als X habe ich [mm] \vektor{0,5\\0,3\\0,2} [/mm] und als B Vektor [mm] \vektor{1,4\\4,1\\5,45\\10,7} [/mm]
Ich hab es mal weiter nach meiner Zusammengefassten Gleichung gemacht, denn wenn ich mir das andere anschaue ist es das einfach nur in weniger Schritten. Also der erste Vektor der Matrix bleibt gleich.
[mm] m_1=\vektor{1\\4\\7\\10} [/mm]
der zweite wird mit der Formel [mm] m_2'=m_2-\bruch{}{}\cdot{m_1'} [/mm]  errechnet
hierbei habe ich für [mm] =135,5 [/mm] und für [mm] =166 [/mm]
als neuen [mm] m_2'=\vektor{1,18373494\\1,73493976\\-5,21385542\\2,8373494} [/mm]
[mm] m_3' [/mm] wird dann berechnet mit [mm] m_3'=m_3-\bruch{}{}\cdot{m_1'}-\bruch{}{}\cdot{m_2'} [/mm]
als Ergebniss habe ich dann für [mm] m_3'=\vektor{0,492307692\\-1,476923077\\-0,061538462\\0,584615385} [/mm]
somit würde dann jeder Vektor senkrecht auf den anderen stehen. Ist das bis hierhin bereits richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Fr 30.07.2010
Autor: meili

Hallo,
ja, ok
spannend wirds aber erst später
Gruß meili

Bezug
                                                                
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 Fr 30.07.2010
Autor: Skyhaven

spannend ja^^ aber ich möchte keinen Fehler in meiner Anfangsberechnung haben :)
Jetzt wäre der nächste Punkt die alle zu normalisieren oder? denn ich habe woanders gelesen dass man direkt weiter rechnen kann.

Bezug
                                                        
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:55 Fr 30.07.2010
Autor: Skyhaven

Ich habe jetzt erstmal ohne Normalisieren mit der Formel die ich gefunden habe weiter gemacht.
dabei wird [mm] x_i' [/mm] berechnet mit [mm] \bruch{}{} [/mm]
bei [mm] x_1' [/mm] erhalte ich dann 0,981626506
bei [mm] x_2' [/mm] 0,27025641 und bei [mm] x_3' [/mm] 0,2 also das [mm] x_3 [/mm] welches ich gesucht hatte.
Nun müsste ich also vom [mm] x_3 [/mm] aus die anderen [mm] x_i [/mm] errechnen können?
Denn mit [mm] x_2=x_"'-\bruch{}{}\cdot{m_3'} [/mm] erhalte ich [mm] x_2=0,3 [/mm] wie vorgegeben, nur mit [mm] x_1 [/mm] komm ich nicht weiter. Oder ist es eher Zufall dass hier das richtige Ergebniss kommt?

Bezug
                                                                
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Fr 30.07.2010
Autor: Skyhaven

korrektur für [mm] x_2 [/mm]
[mm] x_2=x_2' \bruch{}{}\cdot{m_3'} [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Fr 30.07.2010
Autor: meili

Hallo,
> Ich habe jetzt erstmal ohne Normalisieren mit der Formel
> die ich gefunden habe weiter gemacht.
>  dabei wird [mm]x_i'[/mm] berechnet mit
> [mm]\bruch{}{}[/mm]

ok  [mm]x_i' = \bruch{}{}[/mm]

>  bei [mm]x_1'[/mm] erhalte ich dann 0,981626506
>  bei [mm]x_2'[/mm] 0,27025641 und bei [mm]x_3'[/mm] 0,2 also das [mm]x_3[/mm] welches
> ich gesucht hatte.
>  Nun müsste ich also vom [mm]x_3[/mm] aus die anderen [mm]x_i[/mm] errechnen
> können?
>  Denn mit
> [mm]x_2=x_"'-\bruch{}{}\cdot{m_3'}[/mm] erhalte
> ich [mm]x_2=0,3[/mm] wie vorgegeben, nur mit [mm]x_1[/mm] komm ich nicht
> weiter. Oder ist es eher Zufall dass hier das richtige
> Ergebniss kommt?

weiter müßte dann sein (ohne Zufall):
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] x_3'$ [/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] x_2' [/mm] - [mm] \bruch{}{}\cdot{x_3}$ [/mm]
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_1' [/mm] - [mm] \bruch{}{}\cdot{x_3} [/mm] - [mm] \bruch{}{}\cdot{x_2}$ [/mm]


Gruß meili

Bezug
                                                                        
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:31 Fr 30.07.2010
Autor: Skyhaven

DANK DIR,
ich hab endlich meinen Fehler gefunden, ich hab die ganze Zeit dann mit den [mm] x_i' [/mm] weiter gerechnet. Vielen lieben Dank
Sky

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