Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi ich soll beweisen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1
[/mm]
Hab überhaupt keine Ahnung, wie ich anfangen soll
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:06 Do 20.01.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Johann
Du kannst doch für [mm] \wurzel[n]{n}=n^{\bruch{1}{n}} [/mm] schreiben
Beweis:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}n^{\bruch{1}{n}}=(\infty)^{0}=1
[/mm]
So würde ich es machen!
Gruß Fabian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Do 20.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi!
Mal 'ne Frage dazu: Ist denn [mm] (infty)^{0} [/mm] denn überhaupt definiert ?
Ich kenn nur dass x [mm] \in \IR x^{0}=1 [/mm] ist,... ???
Ich würd das so machen...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] exp(1/n*log(n))
[mm] \limes_{y\rightarrow\0} [/mm] exp(y*log(1/y))=exp(0)=1
wobei man dann das Problem =0*(infty) = ??? hat..
|
|
|
| |
|
Hi!
Du landest beim selben Problem.
So kann man das nicht lösen.
0*unendlich oder sonstige komische Ausdrücke dieser Art sind zu vermeiden.
Schau in meiner Antwort nach.
Dort zeige ich, wie man das vermeiden kann!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Do 20.01.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Nirgends (ausser bei numerischen Funktionen, die hier nicht vorliegen) ist 0*unendlich definiert.
Wer sagt denn, dass 0*unendlich = 0 ist?
So geht das nicht!
|
|
|
| |
|
Okay,richtig ist es so:
Man benutze das Sandwich Lemma, d.h. man schliesst die Folge [mm]n^{1/n}[/mm] ein.
Gesucht ist also eine Folge, die kleiner als [mm]n^{1/n}[/mm] ist und eine Folge die grösser ist als [mm]n^{1/n}[/mm], die aber beide den Grenzwert 1 haben.
Eine untere Grenze ist natürlich die 1 mit Grenzwert 1. Hier braucht man nicht arbeiten.
Jedoch bei der oberen Grenze. Diese lautet:
[mm]1+\wurzel{2/(n-1)}[/mm] mit Grenzwert 1.
Also hat die Folge [mm] (n^{1/n})_n [/mm] den Grenzwert 1.
Wie kommt man auf die obere Grenze?
Nicht ganz leicht.
[mm]n=(1+n^{1/n}-1)^n[/mm].
Das kann man als binomische Formel (allgemeine) darstellen und nach unten abschätzen zu [mm] {n \choose 2}(n^{1/n}-1)^2[/mm].
[mm] {n \choose 2}(n^{1/n}-1)^2 <= 2/(n-1)[/mm].
Damit folgt dann:
[mm]1<= n^{1/n} <=1+\wurzel{2/(n-1)}[/mm].
So ist das formal korrekt!
|
|
|
| |
|
Hallo johann1850,
> Hi ich soll beweisen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1[/mm]
[m]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n^{\frac{1}
{n}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to 0} \left( {\frac{1}
{k}} \right)^k = \mathop {\lim }\limits_{k \to 0} \frac{1}
{{k^k }} = \frac{1}
{{0^0 }} = \frac{1}
{1} = 1[/m]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
|
