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Forum "Differentiation" - Grenzwert bestimmen
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Grenzwert bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:14 Sa 15.06.2013
Autor: Die_Suedkurve

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und seien [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n \in \IR [/mm] mit [mm] a_j [/mm] > 0 für alle j = 1,...,n

a) Bestimmen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{p\downarrow 0}log\left(\left(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}a_j^p\right)^{\bruch{1}{p}}\right) [/mm]

b) Beweisen Sie die folgende Ungleichung:

[mm] \bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}a_j \ge \left(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}\sqrt{a_j}\right)^2 [/mm]

c) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] b_k [/mm] := [mm] \left(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}\sqrt[2^k]{a_j}\right)^{2^k}, [/mm] k [mm] \in \IN_0 [/mm] monoton fallend ist.

d) Bestimmen Sie [mm] \limes_{k\rightarrow \infty}b_k. [/mm] Auf welche schon bekannte Aussage führt die Ungleichung [mm] \limes_{k\rightarrow \infty}b_k \le b_0 [/mm] zurück?

Hallo,

Teile a) bis c) habe ich gelöst. Schwierigkeiten habe bei Teil d).

[mm] b_0 [/mm] ist ja das arithmetische Mittel. Da [mm] b_k \ge [/mm] 0 für alle k ist, und weil [mm] b_k [/mm] monoton fallend ist, ist [mm] \limes_{k\rightarrow \infty}b_k [/mm] endlich. Ich behaupte dass [mm] \limes_{k\rightarrow \infty}b_k [/mm] das geometrische Mittel ist, aber wie zeige ich das am besten?
Ich vermute, dass ich dafür irgendwie Teil a) benutzen muss?

Grüsse
Alex

        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Sa 15.06.2013
Autor: Die_Suedkurve

Ok, meine Vermutung war richtig. Der Grenzwert ist das geometrische Mittel, und man benutzt zur Lösung Teil a).

Bezug
        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 18.06.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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