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Forum "Funktionen" - Grenzwert einer Funktion
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Grenzwert einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mo 03.09.2007
Autor: Tauphi

Hallo :)

Ich habe bei Aufgabe, den Grenzwert auszurechnen ein Problem. Vom Prinzip her ist mir klar, was ich machen muss, aber ich find irgendwie nicht den richtigen Denkanstoß, wie ich da rangehe ...

Kurz um, es geht um den Grenzwert folgender Funktion:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x+2}-2*\wurzel{x-2}}{4*\wurzel{x+2}} [/mm]

In der Musterlösung steht, dass man [mm] \wurzel{x} [/mm] ausklammern und kürzen muss. Leider hilft mir das nicht weiter, weil ich versteh nicht, wie genau da man jetzt anfängt, irgendwas auszuklammern :-/

Angenommen ich wüsste nicht, dass ich ausklammern muss ... Wie würde ich das von selbst rausfinden? Bzw. woran erkenn ich sowas genau?

Freue mich auf hilfreiche Tipps und Lösungsansätze, wie ich an sowas rangehen kann :)

Vielen Dank im vorraus

Grüße
Andi

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwert einer Funktion: ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mo 03.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Andi!


Wie man so etwas "sieht" ist wohl reine Übungssache (wie so oft im Leben) ...


Hier mal der Vorgang des Ausklammerns im Zähler:

[mm] $$\wurzel{x+2}-2*\wurzel{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x*\left(1+\bruch{2}{x}\right)}-2*\wurzel{x*\left(1-\bruch{2}{x}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\wurzel{x}}*\wurzel{1+\bruch{2}{x}}-2*\blue{\wurzel{x}}*\wurzel{1-\bruch{2}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\wurzel{x}}*\left( \ \wurzel{1+\bruch{2}{x}}-2*\wurzel{1-\bruch{2}{x}} \ \right)$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Mo 03.09.2007
Autor: Tauphi

Hallo Loddar,

vielen Dank für die Antwort, zumindest hab ich jetzt schon mal raus, was mit dem Ausklammern gemeint ist, sodass diese [mm] 1+\bruch{2}{x} [/mm] entstehen. Das konnte ich nicht nachvollziehen.

Wenn ich die Ausklammerei auf die gesamte Funktion anwende, bekomme ich folgendes Konstrukt:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x}*(\wurzel{1+\bruch{2}{x}}-2*\wurzel{1-\bruch{2}{x}})}{\wurzel{x}*4*\wurzel{1+\bruch{2}{x}}} [/mm]

Wenn ich das [mm] \wurzel{x} [/mm] nun kürze, habe ich dann folgendes:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+\bruch{2}{x}}-2*\wurzel{1-\bruch{2}{x}}}{4*\wurzel{1+\bruch{2}{x}}} [/mm]

Das Dingen sehe ich jetzt leider ähnlich verdutzt an und denke mir: "Und was hat mir das Ausklammern jetzt genützt?" ... Ok die Werte in den Wurzeln sehen jetzt anders aus, aber für mich kein Unterschied zum Stand davor.
Leider verstehe ich den Sinn der Ausklammerung nicht, warum genau das nötig war :-/

Abgesehen davon frage ich mich, warum aus der ausgeklammerten und gekürzten Version die Wurzeln alle Verschwinden, sobald man den Grenzwert ausrechnet ... Im Ergebnis steht:

[mm] \bruch{1-2}{4}=\bruch{-1}{4} [/mm]

Für mich leider absolut nicht nachvollziehbar, wie das entstanden ist :(

Eine kleine Erläuchtung wäre perfekt :)

Danke und viele Grüße
Andi

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Mo 03.09.2007
Autor: Bastiane

Hallo Tauphi!

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+\bruch{2}{x}}-2*\wurzel{1-\bruch{2}{x}}}{4*\wurzel{1+\bruch{2}{x}}}[/mm]

Hab' das jetzt nicht nachgerechnet, aber scheint zu stimmen. Wenn du dir jetzt aber überlegst, was passiert, wenn x gegen unendlich geht (sollte doch wohl x bedeuten und nicht n, oder?) - dann kommst du eigentlich direkt auf die Lösung. Schaffst du das?

> Eine kleine Erläuchtung wäre perfekt :)

Erleuchtung kommt übrigens nicht von "erlaucht", sondern von leuchten [lichtaufgegangen] - demnach schreibt man es mit e und nicht mit ä.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Mo 03.09.2007
Autor: Tauphi

Hallo Bastiane,

ich bin schon etwas müde, da sei mir die Erleuchtung hoffentlich vergeben :)

Stimmt. n sollte eigentlich x sein. n war im Editor standard und ich hab leider nicht gesehen, dass man es ändern kann.

Zu der Aufgabe:
Wenn etwas gegen [mm] \infty [/mm] läuft, sollte dafür immer 0 rauskommen, richtig? (Ist wahrscheinlich nicht sehr klug ausgedrückt)
Das heißt, wenn ich das auf meine Funktion anwende und für x = [mm] \infty [/mm] einsetze, würde ich folgende Schritte nehmen:

Mein Ergebnis nach dem Ausklammern und Kürzen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+\bruch{2}{x}}-2*\wurzel{1-\bruch{2}{x}}}{4*\wurzel{1+\bruch{2}{x}}} [/mm]

Für x [mm] \infty [/mm] einsetzen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+\bruch{2}{\infty}}-2*\wurzel{1-\bruch{2}{\infty}}}{4*\wurzel{1+\bruch{2}{\infty}}} [/mm]

Dann etwas rechnen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+0}-2*\wurzel{1-0}}{4*\wurzel{1+0}} [/mm]

Und noch etwas:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-2*1}{4*1} [/mm]

Buhaha:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-2}{4} [/mm]

Jetzt freu ich mich :) ... Aaaaber! Eine Sache, die ich nicht wirklich verstehe. Und zwar, warum muss man erst ausklammern und kürzen, bevor man einsetzt? Warum macht man das nicht direkt?

Zur Erinnerung nochmal die Funktion aus der Aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x+2}-2*\wurzel{x-2}}{4*\wurzel{x+2}} [/mm]

Danke und Liebe Grüße :D
Andi

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Mo 03.09.2007
Autor: Bastiane

Hallo Tauphi!

> ich bin schon etwas müde, da sei mir die Erleuchtung
> hoffentlich vergeben :)

Ok. :-)
  

> Stimmt. n sollte eigentlich x sein. n war im Editor
> standard und ich hab leider nicht gesehen, dass man es
> ändern kann.

Ja, das passiert anfangs schon mal. ;-) Jetzt weißt du aber für die Zukunft, dass man es ändern kann.
  

> Zu der Aufgabe:
> Wenn etwas gegen [mm]\infty[/mm] läuft, sollte dafür immer 0
> rauskommen, richtig? (Ist wahrscheinlich nicht sehr klug
> ausgedrückt)

In der Tat - ist nicht gut ausgedrückt. Wenn du in einem Bruch den Nenner gegen unendlich laufen lässt - dann sollte der Bruch gegen 0 gehen, genau. :-)

>  Das heißt, wenn ich das auf meine Funktion anwende und für
> x = [mm]\infty[/mm] einsetze, würde ich folgende Schritte nehmen:
>  
> Mein Ergebnis nach dem Ausklammern und Kürzen:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+\bruch{2}{x}}-2*\wurzel{1-\bruch{2}{x}}}{4*\wurzel{1+\bruch{2}{x}}}[/mm]
>  
> Für x [mm]\infty[/mm] einsetzen:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+\bruch{2}{\infty}}-2*\wurzel{1-\bruch{2}{\infty}}}{4*\wurzel{1+\bruch{2}{\infty}}}[/mm]

Das ist schon im Prinzip richtig, allerdings nicht ganz korrekt aufgeschrieben. Und zwar setzt man [mm] \infty [/mm] nicht ein wie eine Zahl - diesen Schritt hier kannst du also komplett weglassen (auch wenn du ihn dir ruhig im Kopf denken kannst). Und solltest du es vllt noch auf einen Schmierzettel schreiben, dann lass auf jeden Fall den [mm] \limes [/mm] davor weg - denn wenn du ja schon [mm] \infty [/mm] für x einsetzt, ist ja gar kein x mehr da, das gegen unendlich laufen kann - der [mm] \limes [/mm] macht also gar keinen Sinn davor mehr (und hat da nichts zu suchen!).

> Dann etwas rechnen:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{1+0}-2*\wurzel{1-0}}{4*\wurzel{1+0}}[/mm]
>  
> Und noch etwas:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-2*1}{4*1}[/mm]
>  
> Buhaha:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-2}{4}[/mm]

Auch in den ganzen Fällen hat der [mm] \limes [/mm] da nichts zu suchen - schreib ihn da ja nicht mehr hin! Oder war das auch nur ein Fehler aufgrund der späten Stunde?

> Jetzt freu ich mich :) ... Aaaaber! Eine Sache, die ich
> nicht wirklich verstehe. Und zwar, warum muss man erst
> ausklammern und kürzen, bevor man einsetzt? Warum macht man
> das nicht direkt?
>  
> Zur Erinnerung nochmal die Funktion aus der Aufgabe:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x+2}-2*\wurzel{x-2}}{4*\wurzel{x+2}}[/mm]

Kannst es ja mal passieren - aber da kommst du nicht weit. Denn x+2 ginge doch dann gegen [mm] \infty [/mm] und die Wurzel davon auch, und der zweite Teil im Zähler auch, und dann hättest du [mm] \infty-\infty [/mm] und das kannst du schon nicht rechnen. Und selbst, wenn du jetzt behaupten würdest, dass das vielleicht immer noch [mm] \infty [/mm] ist, hättest du auch noch im Nenner ein [mm] \infty [/mm] stehen - und was ist dann [mm] \frac{\infty}{\infty}? [/mm] ;-)

Aber ich wollte dir noch einen Tipp geben, wie man auf so etwas kommt: kürzen ist bei solchen Sachen immer gut! Und wie du spätestens jetzt siehst, ist es praktisch, wenn man einen Term hinbekommt, indem die [mm] \infty's [/mm] dann letztendlich im Nenner stehen, denn dann kann man ganz einfach weiterrechnen. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:03 Mo 03.09.2007
Autor: Tauphi

Hallo Bastiane,

>  
> Auch in den ganzen Fällen hat der [mm]\limes[/mm] da nichts zu
> suchen - schreib ihn da ja nicht mehr hin! Oder war das
> auch nur ein Fehler aufgrund der späten Stunde?
>  

Ne das war leider kein Fehler der späten Stunde. Ich bin nicht sooo der allergrößte Held darin, mathematische Dinge richtig hinzuschreiben. Aber ich habe mir Deine Tipps zu Herzen genommen. In Zukunft werde ich drauf achten :)

>  
> Kannst es ja mal passieren - aber da kommst du nicht weit.
> Denn x+2 ginge doch dann gegen [mm]\infty[/mm] und die Wurzel davon
> auch, und der zweite Teil im Zähler auch, und dann hättest
> du [mm]\infty-\infty[/mm] und das kannst du schon nicht rechnen. Und
> selbst, wenn du jetzt behaupten würdest, dass das
> vielleicht immer noch [mm]\infty[/mm] ist, hättest du auch noch im
> Nenner ein [mm]\infty[/mm] stehen - und was ist dann
> [mm]\frac{\infty}{\infty}?[/mm] ;-)
>  

Ok, da gebe ich dir Recht :D Rechnen wird blöde dann.

> Aber ich wollte dir noch einen Tipp geben, wie man auf so
> etwas kommt: kürzen ist bei solchen Sachen immer gut! Und
> wie du spätestens jetzt siehst, ist es praktisch, wenn man
> einen Term hinbekommt, indem die [mm]\infty's[/mm] dann letztendlich
> im Nenner stehen, denn dann kann man ganz einfach
> weiterrechnen. :-)
>  

Verstehe, das ist gut zu wissen. Bisher hatte ich immer nur an Grenzwerten rumgerechnet, die gegen 0 waren. Da hatte ich wesentlich weniger Probleme. Und die Übungsaufgaben, die gegen Unendlich gingen, waren alle so gestaltet, dass man so kürzen konnte, dass kein x bzw. n mehr vorkam, welches man dann "indirekt" einsetzen konnte.

Ansonsten aber tausend Dank für die Hilfe + Erklärung :)

Viele Grüße
Andi

Bezug
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