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Gruppenhomomorphisms: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Di 10.04.2018
Autor: noglue

Aufgabe
Sei G eine endliche abelsche Gruppe und [mm] H\subseteq [/mm] G Untergruppe.

Zeige, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus [mm] \phi: \widehat{G}\rightarrow\widehat{H}, \chi\mapsto \chi |_{H} [/mm] gleich [mm] H^{\perp} [/mm] ist.

Hallo zusammen,

ich habe einige Schwierigkeiten diese Aufgabe zulösen bzw. wie ich am besten vorangehen soll, daher bitte ich euch,um ein paar Tipps. Jeden noch so kleinen Tipp wäre für mich hilfreich.

Also [mm] Ker(\phi):=\lbrace g\in [/mm] G: [mm] \phi(g)=1 \rbrace [/mm]

Und [mm] \widehat{G} [/mm] und [mm] \widehat{H} [/mm] sind jeweils die Dualräume von G bzw. H gemeint.

        
Bezug
Gruppenhomomorphisms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Do 12.04.2018
Autor: hippias


> Sei G eine endliche abelsche Gruppe und [mm]H\subseteq[/mm] G
> Untergruppe.
>  
> Zeige, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus [mm]\phi: \widehat{G}\rightarrow\widehat{H}, \chi\mapsto \chi |_{H}[/mm]
> gleich [mm]H^{\perp}[/mm] ist.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich habe einige Schwierigkeiten diese Aufgabe zulösen bzw.
> wie ich am besten vorangehen soll, daher bitte ich euch,um
> ein paar Tipps. Jeden noch so kleinen Tipp wäre für mich
> hilfreich.
>  
> Also [mm]Ker(\phi):=\lbrace g\in[/mm] G: [mm]\phi(g)=1 \rbrace[/mm]

Das ist insofern nicht richtig, als dass [mm] $\phi$ [/mm] nicht auf $G$, sondern auf [mm] $\hat{G}$ [/mm] definiert ist. Ändere das doch mal ab.

Wie ist [mm] $H^{\perp}$ [/mm] definiert?

>  
> Und [mm]\widehat{G}[/mm] und [mm]\widehat{H}[/mm] sind jeweils die Dualräume
> von G bzw. H gemeint.


Bezug
                
Bezug
Gruppenhomomorphisms: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Do 12.04.2018
Autor: noglue

Stimmt, danke!
Also
[mm] kern(\phi)=\lbrace f\in\widehat{G}: \phi(f)=1\rbrace [/mm] und

[mm] H^{\perp}=\lbrace f\in\widehat{G}: [/mm] f(z)=1 [mm] \forall z\in H\rbrace [/mm]

Stimmt das nun?

Bezug
                        
Bezug
Gruppenhomomorphisms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Fr 13.04.2018
Autor: hippias

Nun: was bedeutet es für $f(z)$, wenn [mm] $z\in [/mm] H$ und [mm] $f\in kern(\phi)$? [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Gruppenhomomorphisms: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:13 Fr 13.04.2018
Autor: noglue

Dass H auch im Kern liegt?

Bezug
                                        
Bezug
Gruppenhomomorphisms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:24 Sa 14.04.2018
Autor: hippias

Toll! Ich frage: was bedeutet es für $ f(z) $, wenn $ [mm] z\in [/mm] H $ und $ [mm] f\in kern(\phi) [/mm] $?
Antwort:

> Dass H auch im Kern liegt?

Viel Erfolg noch!




Bezug
                                        
Bezug
Gruppenhomomorphisms: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 15.04.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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