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Gruppenhomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Do 13.11.2008
Autor: chriz123

Aufgabe
(G, ·) sei Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] $\phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] S(G) $ mit $ [mm] \phi(g)(x) [/mm] := g * x $ von G in die Gruppe S(G) der bijektiven Abbildungen $ G [mm] \to [/mm] G $ ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Also ein Gruppenhomorphismus ist unter Multiplikation abgeschlossen.
$ [mm] \phi(g)(x) [/mm] := [mm] \phi(g) [/mm] * (x)$
$g * x = g * x $
Also erstmal was ist das (x) ??
Gehort das zu G und wirkt sich das irgendwie aus??

Außerdem glaube ich das man berücksichtigen muss, dass es sich um eine Abbildung [mm] $\phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] S(G) $ handelt.
S(G) ist ja die Gruppe der bijektiven Abbildungen $ G [mm] \to [/mm] G $.
Aber ich hab keine Ahnung wie ich das berücksichtige bzw. wie sich das auswirkt.

Dann ist natürlich noch die Injektivität zu zeigen.
z.z.: $ [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: [mm] (\phi(g_1) [/mm] = [mm] \phi(g_2) \gdw g_1 [/mm] = [mm] g_2)$ [/mm]

[mm] $\phi(g) [/mm] = g$
[mm] $\phi(g_1) [/mm] = [mm] \phi(g_2) \gdw g_1 [/mm] = [mm] g_2$ [/mm]

Reicht das aus?
Vor allem ist das mathematisch korrekt ausgedrückt?
(Da mach ich noch viele Fehler)

Vielen Dank
chriz123

        
Bezug
Gruppenhomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Do 13.11.2008
Autor: pelzig


> (G, ·) sei Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]\phi : G \to S(G)[/mm]
> mit [mm]\phi(g)(x) := g * x[/mm] von G in die Gruppe S(G) der
> bijektiven Abbildungen [mm]G \to G[/mm] ein injektiver
> Gruppenhomomorphismus ist.

>  Also ein Gruppenhomorphismus ist unter Multiplikation
> abgeschlossen.

Hä?

>  [mm]\phi(g)(x) := \phi(g) * (x)[/mm]
>  [mm]g * x = g * x[/mm]
> Also erstmal was ist das (x) ??(

Die Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] nimmt ein Element aus [mm] $g\in [/mm] G$ und macht daraus die Abbildung [mm] $\phi(g):G\ni x\mapsto g\cdot x\in [/mm] G$. Genau Das steht in obiger Zeile [mm] $(\phi(g))(x):=g\cdot [/mm] x$, d.h. dir wird damit gesagt, wie diese ominöse Abbildung [mm] $\phi(g)$ [/mm] auf ein [mm] $x\in [/mm] G$ wirkt. Zunächst einmal wäre also zu prüfen, ob diese Abbildungen [mm] $\phi(g)$ [/mm] auch wirklich in $S(G)$, also bijektiv sind.

Dann musst du zeigen dass [mm] $\phi$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist, d.h. es muss gelten: [mm] $\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h)$, [/mm] wobei [mm] $\circ$ [/mm] die Verkettung von Funktionen ist.

> Dann ist natürlich noch die Injektivität zu zeigen.

z.z.: [mm]\phi(g_1) = \phi(g_2) \red{\Rightarrow} g_1 = g_2[/mm]
  

> [mm]\phi(g) = g[/mm]
> [mm]\phi(g_1) = \phi(g_2) \gdw g_1 = g_2[/mm]
> Reicht das aus?
> Vor allem ist das mathematisch korrekt ausgedrückt?

Weder noch :-)
Ist [mm] $\phi(g_1)=\phi(g_2)$, [/mm] dann stimmen sie insbesondere auf dem neutralen Element $e$ überein, d.h. es folgt [mm] $\phi(g_1)(e)=\phi(g_2)(e)$... [/mm] wie geht es weiter?

Gruß, Robert

Bezug
                
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Gruppenhomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Do 13.11.2008
Autor: chriz123

Aufgabe
> > (G, ·) sei Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]\phi : G \to S(G)[/mm]
> > mit [mm]\phi(g)(x) := g * x[/mm] von G in die Gruppe S(G) der
> > bijektiven Abbildungen [mm]G \to G[/mm] ein injektiver
> > Gruppenhomomorphismus ist.

>  Die Abbildung [mm]\Phi[/mm] nimmt ein Element aus [mm]g\in G[/mm] und macht
> daraus die Abbildung [mm]\phi(g):G\ni x\mapsto g\cdot x\in G[/mm].
> Genau Das steht in obiger Zeile [mm](\phi(g))(x):=g\cdot x[/mm],
> d.h. dir wird damit gesagt, wie diese ominöse Abbildung
> [mm]\phi(g)[/mm] auf ein [mm]x\in G[/mm] wirkt. Zunächst einmal wäre also zu
> prüfen, ob diese Abbildungen [mm]\phi(g)[/mm] auch wirklich in [mm]S(G)[/mm],
> also bijektiv sind.

Zu zeigen: $ [mm] \phi(g) [/mm] $ sind bijektiv, also injektiv und surjektiv.

$ [mm] g_1, g_2 \in [/mm] G$
[mm] $\phi(g_1) [/mm] = [mm] \phi(g_2) \Rightarrow\phi(g_1)(e) [/mm] = [mm] \phi(g_2)(e) \Rightarrow g_1 [/mm] * e = [mm] g_2 [/mm] * e [mm] \Rightarrow g_1 [/mm] = [mm] g_2$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \phi(g)$ [/mm] sind injektiv

[mm] $\phi(g)(e) [/mm] = g * e = g $
[mm] $\Rightarrow \phi(g)$ [/mm] sind surjektiv

[mm] $\Rightarrow \phi(g)$ [/mm] sind bijektiv

Ist das so ok? Und mathematisch korrekt ausgedrückt?

> Dann musst du zeigen dass [mm]\phi[/mm] ein Gruppenhomomorphismus
> ist, d.h. es muss gelten: [mm]\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h)[/mm],
> wobei [mm]\circ[/mm] die Verkettung von Funktionen ist.

z.z.: $ [mm] \phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h) [/mm] $

$ [mm] \phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h) \Rightarrow \phi(gh)(e)=\phi(g)(e)\circ\phi(h)(e) \Rightarrow [/mm] g * h * e= g * e * h * [mm] e\Rightarrow [/mm] g * h = g * h$

Bin mir hier nicht sicher mit dem neutralen Element. Simmt das so??


>  Ist [mm]\phi(g_1)=\phi(g_2)[/mm], dann stimmen sie insbesondere auf
> dem neutralen Element [mm]e[/mm] überein, d.h. es folgt
> [mm]\phi(g_1)(e)=\phi(g_2)(e)[/mm]... wie geht es weiter?

Die Injektivität hab ich ja oben schon gezeigt. Das reicht doch oder??


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Gruppenhomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Do 13.11.2008
Autor: pelzig


> Zu zeigen: [mm]\phi(g)[/mm] sind bijektiv, also injektiv und
> surjektiv.
>  
> [mm]g_1, g_2 \in G[/mm]
> [mm]\phi(g_1) = \phi(g_2) \Rightarrow\phi(g_1)(e) = \phi(g_2)(e) \Rightarrow g_1 * e = g_2 * e \Rightarrow g_1 = g_2[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \phi(g)[/mm] sind injektiv
>  
> [mm]\phi(g)(e) = g * e = g[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \phi(g)[/mm] sind surjektiv
>  
> [mm]\Rightarrow \phi(g)[/mm] sind bijektiv
>  
> Ist das so ok? Und mathematisch korrekt ausgedrückt?

Nein. Du haust hier [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\phi(g)$ [/mm] durcheinander. Du hast gezeigt [mm] $\phi(g)=\phi(h)\Rightarrow [/mm] g=h$, d.h. die Injektivität von [mm] $\phi$. [/mm] Um zu zeigen dass [mm] $\phi(g)$ [/mm] für jedes $g$ bijetiv ist, musst du zeigen:
1) [mm] $\phi(g)$ [/mm] ist injektiv, d.h. [mm] $(\phi(g))(x)=(\phi(g))(y)\Rightarrow [/mm] x=y$
2) [mm] $\phi(g)$ [/mm] ist surjektiv, d.h. zu [mm] $y\in [/mm] G$ gibt es ein [mm] $x\in [/mm] G$ sodass [mm] $(\phi(g))(x)=y$ [/mm]

> z.z.: [mm]\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h)[/mm]
> [mm]\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h) \Rightarrow \phi(gh)(e)=\phi(g)(e)\circ\phi(h)(e) \Rightarrow g * h * e= g * e * h * e\Rightarrow g * h = g * h[/mm]

Hä? Du hast gezeigt "Wenn [mm] $\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h)$ [/mm] ist, dann ist $gh=gh$"... Du musst zeigen dass für jedes [mm] $x\in [/mm] G$ gilt:
[mm] $(\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x)$ [/mm]

Gruß, Robert

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Gruppenhomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Do 13.11.2008
Autor: chriz123


>  Nein. Du haust hier [mm]\phi[/mm] und [mm]\phi(g)[/mm] durcheinander. Du
> hast gezeigt [mm]\phi(g)=\phi(h)\Rightarrow g=h[/mm], d.h. die
> Injektivität von [mm]\phi[/mm]. Um zu zeigen dass [mm]\phi(g)[/mm] für jedes
> [mm]g[/mm] bijetiv ist, musst du zeigen:
>  1) [mm]\phi(g)[/mm] ist injektiv, d.h.  [mm](\phi(g))(x)=(\phi(g))(y)\Rightarrow x=y[/mm]

[mm](\phi(g))(x)=(\phi(g))(y)\Rightarrow g * x = g * y \Rightarrow x=y[/mm]

Vielen Dank!
Chriz123

>  2) [mm]\phi(g)[/mm] ist
> surjektiv, d.h. zu [mm]y\in G[/mm] gibt es ein [mm]x\in G[/mm] sodass [mm](\phi(g))(x)= y[/mm]

[mm](\phi(g))(x)= g * x = y[/mm]

Ist das so ok??

> > z.z.: [mm]\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h)[/mm]
>  > [mm]\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h) \Rightarrow \phi(gh)(e)=\phi(g)(e)\circ\phi(h)(e) \Rightarrow g * h * e= g * e * h * e\Rightarrow g * h = g * h[/mm]

>  
> Hä? Du hast gezeigt "Wenn [mm]\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h)[/mm] ist,
> dann ist [mm]gh=gh[/mm]"... Du musst zeigen dass für jedes [mm]x\in G[/mm]
> gilt:  [mm](\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x)[/mm]

[mm](\phi(gh))(x) = g * h * x =(\phi(g)\circ\phi(h))(x)[/mm]

Das mit der Verknüpfung versteh ich noch nich ganz.
Ist denn [mm] $\phi(g)\circ\phi(h) [/mm] = g * h$ ?? (einfach mal nur für beliegige Abbildungen.)


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Gruppenhomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Do 13.11.2008
Autor: pelzig


> >  2) [mm]\phi(g)[/mm] ist

> > surjektiv, d.h. zu [mm]y\in G[/mm] gibt es ein [mm]x\in G[/mm] sodass
> [mm](\phi(g))(x)= y[/mm]
> [mm](\phi(g))(x)= g * x = y[/mm]
> Ist das so ok??

Nein, du hast eine festes [mm] $y\in [/mm] G$ vorgegeben und musst ein konkretes [mm] $x\in [/mm] G$ konstruieren, sodass [mm] $\phi(g)(x)=y$ [/mm] gilt. Probier doch mal [mm] $x:=g^{-1}y$... [/mm]

> > Hä? Du hast gezeigt "Wenn [mm]\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h)[/mm] ist,
> > dann ist [mm]gh=gh[/mm]"... Du musst zeigen dass für jedes [mm]x\in G[/mm]
> > gilt:  [mm](\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x)[/mm]
>  
> [mm](\phi(gh))(x) = g * h * x =(\phi(g)\circ\phi(h))(x)[/mm]
>  
> Das mit der Verknüpfung versteh ich noch nich ganz.
>  Ist denn [mm]\phi(g)\circ\phi(h) = g * h[/mm] ?? (einfach mal nur
> für beliegige Abbildungen.)

Diese Gleichung macht überhaupt keinen Sinn. Auf der linken Seite steht eine Abbildung [mm] $G\to [/mm] G$ und auf der rechten Seite ein Element aus $G$...
Du musst zeigen, für alle [mm] $g,h\in [/mm] G$ die beiden Abbildungen [mm] $\phi(gh)$ [/mm] und [mm] $\phi(g)\circ\phi(h)$ [/mm] gleich sind. Dazu musst du zeigen, dass für jedes [mm] $x\in [/mm] G$ gilt [mm] $(\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x)$... [/mm] du musst das einfach ausrechnen!

Gruß, Robert

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Gruppenhomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Fr 14.11.2008
Autor: chriz123


> > >  2) [mm]\phi(g)[/mm] ist

> > > surjektiv, d.h. zu [mm]y\in G[/mm] gibt es ein [mm]x\in G[/mm] sodass
> > [mm](\phi(g))(x)= y[/mm]
>  > [mm](\phi(g))(x)= g * x = y[/mm]

>  > Ist das so

> ok??
>  Nein, du hast eine festes [mm]y\in G[/mm] vorgegeben und musst ein
> konkretes [mm]x\in G[/mm] konstruieren, sodass [mm]\phi(g)(x)=y[/mm] gilt.
> Probier doch mal [mm]x:=g^{-1}y[/mm]...

zu zeigen:  [mm]\phi(g)(x)=y[/mm]
[mm]\phi(g)(x)=y \Rightarrow g * x = y \Rightarrow g * g^{-1} * y = y \Rightarrow y = y[/mm]

Ja das sieht doch schon besser aus :)
Ist das jetzt mathematisch richtig ausgedrückt??


>  Diese Gleichung macht überhaupt keinen Sinn. Auf der
> linken Seite steht eine Abbildung [mm]G\to G[/mm] und auf der
> rechten Seite ein Element aus [mm]G[/mm]...
>  Du musst zeigen, für alle [mm]g,h\in G[/mm] die beiden Abbildungen
> [mm]\phi(gh)[/mm] und [mm]\phi(g)\circ\phi(h)[/mm] gleich sind. Dazu musst du
> zeigen, dass für jedes [mm]x\in G[/mm] gilt
> [mm](\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x)[/mm]... du musst das
> einfach ausrechnen!

zu zeigen:  [mm](\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x)[/mm]
[mm](\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x) \Rightarrow g * h * x = g * h * x[/mm]

Hier weiß ich aber immer noch nicht ob ich aus der Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm]  einfach $*$ machen kann.

Bezug
                                                        
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Gruppenhomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Fr 14.11.2008
Autor: pelzig


> > Probier doch mal [mm]x:=g^{-1}y[/mm]...  
> zu zeigen:  [mm]\phi(g)(x)=y[/mm]
> [mm]\phi(g)(x)=y \Rightarrow g * x = y \Rightarrow g * g^{-1} * y = y \Rightarrow y = y[/mm]
>
>  Ist das jetzt mathematisch richtig ausgedrückt??

Nein. Du hast gezeigt "Wenn [mm] $\phi(g)(x)=y$ [/mm] ist, dann ist $y=y$." Das beweist gar nix, denn man kann auch aus falschen Aussagen eine wahre Aussage folgern (z.B. [mm] $-1=1\Rightarrow (-1)^2=1^2$). [/mm]
Du musst dir ganz genau im klaren darüber sein, wie die Beweisstruktur funktioniert. Wenn du zeigen willst dass eine Funktion [mm] $f:X\to [/mm] Y$ surjektiv ist, dann musst du zeigen, dass jedes [mm] $y\in [/mm] Y$ von f "getroffen" wird, Der Beweis läuft dann fast immer nach dem Schema:
1) Sei [mm] $y\in [/mm] Y$ fest, aber beliebig, vorgegeben
2) Konstruiere ein [mm] $x\in [/mm] X$ sodass $f(x)=y$ ist.

Also in diesem Fall: "Seien [mm] $g,y\in [/mm] G$ beliebig vorgegeben. Betrachte [mm] $x:=g^{-1}y$. [/mm] Da G eine Gruppe ist, liegt auf jeden Fall [mm] $x\in [/mm] G$. Außerdem ist [mm] $\phi(g)(x)=gx=gg^{-1}y=ey=y$. [/mm] Da [mm] $y\in [/mm] G$ beliebig gewählt war, gibt es also zu jedem [mm] $y\in [/mm] G$ ein [mm] $x\in [/mm] G$ sodass [mm] $\phi(x)=y$ [/mm] ist - also ist [mm] $\phi(g)$ [/mm] surjektiv. Da außerdem $g$ beliebig gewählt war, sind also alle [mm] $\phi(g)$ [/mm] surjektiv." (Das war jetzt extrem ausführlich)

Nochwas: gewöhne dir so schnell wie möglich ab, alles einfach nur in Formeln packen zu wollen. In Mathematik schreibt man "Prosa", d.h. insbesondere Schöne deutsche Sätze mit Subjekt, Prädikat, Objekt. Versuche Formeln nur dann einzusetzen, wenn sie das Verständnis erhöhen. Schau dir an wie die Mathematik in Büchern aufgeschrieben wird (damit meine ich jetzt keine Schulbücher...) und versuche es zu imitieren.

> zu zeigen:  [mm](\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x)[/mm]
>   [mm](\phi(gh))(x)=(\phi(g)\circ\phi(h))(x) \Rightarrow g * h * x = g * h * x[/mm]

Gleiches Problem wie oben, du hast gar nichts gezeigt, denn du gehst bereits von der Behauptung aus.
  

> Hier weiß ich aber immer noch nicht ob ich aus der
> Verknüpfung [mm]\circ[/mm]  einfach [mm]*[/mm] machen kann.

Wende einfach die Definition von [mm] $\circ$ [/mm] an:
[mm] $(\phi(g)\circ\phi(h))(x)=\phi(g)(\phi(h)(x))=\phi(g)(hx)=g(hx)=(gh)x=\phi(gh)(x)$ [/mm]

Gruß, Robert

Bezug
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