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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Gruppenordnung/Elementordnung
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Gruppenordnung/Elementordnung: Teilbarkeit von Gruppenordnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:17 Mo 14.11.2016
Autor: asg

Aufgabe
Sei [mm](G, \circ) [/mm] eine endliche abelsche Gruppe. Für [mm]g \in G[/mm] sei die Ordnung von [mm]g[/mm]
[mm] ord(g) = m[/mm]  mit [mm]m \in \IN[/mm] so dass [mm]g^m = e[/mm] ist. Zeigen Sie, dass [mm] ord(g)[/mm] stets die Gruppenordnung
von [mm]G[/mm] teilt.


Hallo,

ich habe die Aufgabe wie folgt, bin mir aber nicht sicher, ob ich doch nicht einen Fehler in meiner Lösung habe.

Lösung:
Beweis durch Widerspruch:

Annahme: [mm]m[/mm] teilt nicht stets die Gruppenordnung [mm]|G|[/mm].
Dann gilt: [mm]|G| = m * k + r[/mm] mit [mm]0 < r < m [/mm] und [mm]k \in \IN_0[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|-m*k}[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|}*g^{-m*k}[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|}*{(g^{m})^{-k}}[/mm]
[mm]g^r = e*{e^{-k}}[/mm]
[mm]g^r = e*\frac{1}{e^{k}}}[/mm]
[mm]g^r = e*\frac{1}{e}[/mm]
[mm]g^r = 1 \Rightarrow r = 0[/mm] Das ist aber ein Widerspruch zur Bedingung in der Annahme mit [mm]0
Würde mich über Hinweise auf mögliche Fehler oder Bestätigung freuen :)

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mo 14.11.2016
Autor: hippias


> Sei [mm](G, \circ)[/mm] eine endliche abelsche Gruppe. Für [mm]g \in G[/mm]
> sei die Ordnung von [mm]g[/mm]
> [mm]ord(g) = m[/mm]  mit [mm]m \in \IN[/mm] so dass [mm]g^m = e[/mm] ist. Zeigen Sie,
> dass [mm]ord(g)[/mm] stets die Gruppenordnung
>  von [mm]G[/mm] teilt.
>  
> Hallo,
>  
> ich habe die Aufgabe wie folgt, bin mir aber nicht sicher,
> ob ich doch nicht einen Fehler in meiner Lösung habe.
>  
> Lösung:
>  Beweis durch Widerspruch:
>  
> Annahme: [mm]m[/mm] teilt nicht stets die Gruppenordnung [mm]|G|[/mm].
>  Dann gilt: [mm]|G| = m * k + r[/mm] mit [mm]0 < r < m[/mm] und [mm]k \in \IN_0[/mm]
>  
> [mm]g^r = g^{|G|-m*k}[/mm]
>  [mm]g^r = g^{|G|}*g^{-m*k}[/mm]
>  [mm]g^r = g^{|G|}*{(g^{m})^{-k}}[/mm]
>  
> [mm]g^r = e*{e^{-k}}[/mm]
>  [mm]g^r = e*\frac{1}{e^{k}}}[/mm]
>  [mm]g^r = e*\frac{1}{e}[/mm]
>  
> [mm]g^r = 1 \Rightarrow r = 0[/mm]

Aufgrund der minimalen Wahl von $m$! Wäre $m$ irgendeine Zahl mit [mm] $g^{m}=e$, [/mm] dann wäre der Schluss auf $r=0$ falsch.


> Das ist aber ein Widerspruch zur
> Bedingung in der Annahme mit [mm]0
>  
> Würde mich über Hinweise auf mögliche Fehler oder
> Bestätigung freuen :)

Wenn [mm] $g^{|G|}= [/mm] e$ bekannt ist, dann ist Dein Beweis in Ordnung.

>  
> Danke vorab
>  
> Viele Grüße
>  
> Asg


Bezug
                
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:19 Mo 14.11.2016
Autor: asg

Guten Morgen und Dankeschön für die schnelle Hilfe.

> Aufgrund der minimalen Wahl von [mm]m[/mm]! Wäre [mm]m[/mm] irgendeine Zahl
> mit [mm]g^{m}=e[/mm], dann wäre der Schluss auf [mm]r=0[/mm] falsch.

Stimmt, das habe ich übersehen. Aber doch auch aufgrund der Bedingung in der Annahme [mm]0 < r < m [/mm] wäre der Schluss auf [mm] r = 0 [/mm] falsch oder nicht??

>  Wenn [mm]g^{|G|}= e[/mm] bekannt ist, dann ist Dein Beweis in Ordnung.
>  

Ja [mm]g^{|G|} = e [/mm] ist als Satz im Skript angegeben und ich verweise darauf (hier habe ich es ausgelassen ...)

Danke nochmals

Bezug
                        
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Di 15.11.2016
Autor: angela.h.b.


> Guten Morgen und Dankeschön für die schnelle Hilfe.

>

> > Aufgrund der minimalen Wahl von [mm]m[/mm]! Wäre [mm]m[/mm] irgendeine Zahl
> > mit [mm]g^{m}=e[/mm], dann wäre der Schluss auf [mm]r=0[/mm] falsch.

>

> Stimmt, das habe ich übersehen. Aber doch auch aufgrund
> der Bedingung in der Annahme [mm]0 < r < m[/mm] wäre der Schluss
> auf [mm]r = 0[/mm] falsch oder nicht??

>

Hallo,

Du hast am Ende [mm] g^r=1 [/mm] für 0<r<m.

Der Widerspruch ergibt nun sich daraus, daß m voraussetzungsgemäß die Ordnung von g ist, also die kleinste natürliche Zahl, für die [mm] g^m=1 [/mm] ist.

Deshalb kann [mm] g^r=1 [/mm] nicht sein.

Damit hast Du einen Widerspruch, also teilt m die Gruppenordnung.


Wenn man einfach nur hat [mm] g^k=1, [/mm] ohne daß k die Ordnung von g ist, funktioniert die Argumentation für "dann teilt k die Gruppenordnung" nicht - kein Wunder, dann stimmt sie ja auch nicht.

LG Angela

 

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