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Halbgruppenelement invertierba: Inverse eindeutig
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Do 29.01.2009
Autor: Stefantastisch

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Wär schön, wenn jemand Lust hat.
Ohne weitere Ansätze von mir, für Freiwillige quasi.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Do 29.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Stefan,

> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Wär schön, wenn jemand Lust hat.
>  Ohne weitere Ansätze von mir, für Freiwillige quasi.

Nimm an, es gäbe zwei inverse Elemente zu a, sagen wir $b,b'$

Dann ist $ab=ba=ab'=b'a=e$, $e=$ neutrales Element

Zeige, dass dann $b=b'$ gelten muss.

Beginne so: $b=be=b(ab')=...$

Nutze, dass in einer Halbgruppe das Assoziativgesetz gilt

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Sa 31.01.2009
Autor: ohmeinkreuz

Leider sind die Aufgaben von S. ja etwas negativ konnotiert. Da ich diese aber auch gelöst haben muss und es quatsch finde sie nochmal komplett neu reinzustellen, mach ich halt hier weiter.
Hoffe mein Ansatz findet trotzdem Beachtung und jemand nimmt sich dem an und hilft mir...

So habe jetzt Schachuzipuz Hinweis weiterverarbeitet:

ANTWORT:
Ist ab=ba=ab'=b'a=e für ein a [mm] \in [/mm] A, so ist b=be=b(ab')=(ba)b'=eb'=b'


Muss man in der Antwort trotzdem noch schreiben das man annimmt das a zwei inverse Elemente hat? Also b,b'?

Danke :)

Bezug
                        
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Sa 31.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo omk,

> Leider sind die Aufgaben von S. ja etwas negativ
> konnotiert.

Und das zu Recht!

> Da ich diese aber auch gelöst haben muss und es
> quatsch finde sie nochmal komplett neu reinzustellen, mach
> ich halt hier weiter.
> Hoffe mein Ansatz findet trotzdem Beachtung und jemand
> nimmt sich dem an und hilft mir...
>  
> So habe jetzt Schachuzipuz Hinweis weiterverarbeitet:
>  
> ANTWORT:
>  Ist ab=ba=ab'=b'a=e für ein a [mm]\in[/mm] A, so ist
> b=be=b(ab')=(ba)b'=eb'=b' [ok]
>  
>
> Muss man in der Antwort trotzdem noch schreiben das man
> annimmt das a zwei inverse Elemente hat? Also b,b'?

Klar, das ist doch die Idee des Beweises, du nimmst an, dass es 2 inverse Elemente zu a gibt.

Dann zeigst du (bzw. das hast du ja schon getan), dass dann gelten muss, das diese gleich sind

>
> Danke :)


LG

schachuzipus

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Halbgruppenelement invertierba: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Sa 31.01.2009
Autor: ohmeinkreuz

Also schreibe ich:

Annahme: Es gibt zwei Inverse Elemente, b und b', zu a. Dann muss gelten: b=b'.
Beweis:: Ist ab=ba=ab'=b'a=e für ein a [mm] \in [/mm] A, so ist b=be=b(ab')=(ba)b'=eb'=b'                [mm] \Box [/mm]


Und jetzt muss ich noch beweisen, dass wenn a invertierbar ist, [mm] (a^{-1})^{-1}=a [/mm] gilt.

Kannst Du mir sagen wie ich den Anfang mache?


Bezug
                                        
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Sa 31.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Und jetzt muss ich noch beweisen, dass wenn a invertierbar
> ist, [mm](a^{-1})^{-1}=a[/mm] gilt.
>
> Kannst Du mir sagen wie ich den Anfang mache?

Hallo,

[mm] (a^{-1})^{-1}=a [/mm] bedeutet doch: das Inverse zu [mm] a^{-1} [/mm] ist a.

Das brauchst Du nun nur vorzurechnen. Woran merkst Du, daß zwei Elemente zueinander invers sind?

Gruß v. Angela






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Halbgruppenelement invertierba: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Sa 31.01.2009
Autor: ohmeinkreuz

Woran merkst Du, daß
> zwei Elemente zueinander invers sind?
>

Zwei Elemente sind doch dann zu einander invers, wenn gilt:

[mm] a\*a^{-1}=a^{-1}\*a=e [/mm]

???

Bezug
                                                        
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Sa 31.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Woran merkst Du, daß
> > zwei Elemente zueinander invers sind?
>  >

> Zwei Elemente sind doch dann zu einander invers, wenn
> gilt:
>  
> [mm]a\*a^{-1}=a^{-1}\*a=e[/mm]

Ja sicher, was ist also naheliegend, wenn du die Gleichung [mm] $a\star a^{-1}=e$ [/mm] vor dir hast?

Das schreit dich doch direkt an, multipliziere von rechts [mm] \Box [/mm] dran!

Na was wohl ...

>
> ???

LG

schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Sa 31.01.2009
Autor: ohmeinkreuz

...ich glaub ich bin Mathe-taub. ;)

[mm] a^{-1}\*a= [/mm]

[mm] (a^{-1}\*a)\*e= [/mm]

[mm] (a^{-1}\*a)\*(a^{-1}\*(a^{-1})^{-1})= [/mm]

[mm] a^{-1}\*(a\*a^{-1})\*(a^{-1})^{-1}= [/mm]

[mm] a^{-1}\*e\*(a^{-1})^{-1}= [/mm]

[mm] a^{-1}\*(a^{-1})^{-1}=e [/mm]


(ja... :( da bin ich nicht von alleine drauf gekommen, aber hab ichs richtig umgeformt/umgesetzt??)

Bezug
                                                                        
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:55 Sa 31.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ...ich glaub ich bin Mathe-taub. ;)
>  
> [mm]a^{-1}\*a=[/mm]
>  
> [mm](a^{-1}\*a)\*e=[/mm]
>  
> [mm](a^{-1}\*a)\*(a^{-1}\*(a^{-1})^{-1})=[/mm]
>  
> [mm]a^{-1}\*(a\*a^{-1})\*(a^{-1})^{-1}=[/mm]
>  
> [mm]a^{-1}\*e\*(a^{-1})^{-1}=[/mm]
>  
> [mm]a^{-1}\*(a^{-1})^{-1}=e[/mm]
>  
>
> (ja... :( da bin ich nicht von alleine drauf gekommen, aber
> hab ichs richtig umgeformt/umgesetzt??)

Die Umformungen stimmen, aber was hast du gezeigt?

Da steht (mit Zwischenfüllung) [mm] $a\star a^{-1}=e$, [/mm] was wir aber schon wussten.

Nun steht da [mm] $e=a^{-1}\star\left(a^{-1}\right)^{-1}$ [/mm]

Nun multipliziere $a$ von links an die Gleichung

LG

schachuzipus


Bezug
                                                                        
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Sa 31.01.2009
Autor: reverend

Hallo ohmeinkreuz,

> ...ich glaub ich bin Mathe-taub. ;)

:-)

> [mm]a^{-1}\*a=[/mm]
>  
> [mm](a^{-1}\*a)\*e=[/mm]
>  
> [mm](a^{-1}\*a)\*\red{(a^{-1}\*(a^{-1})^{-1})}=[/mm]
>  
> [mm]a^{-1}\*(a\*a^{-1})\*(a^{-1})^{-1}=[/mm]
>  
> [mm]a^{-1}\*e\*(a^{-1})^{-1}=[/mm]
>  
> [mm]a^{-1}\*(a^{-1})^{-1}=e[/mm]

Ähem. Das ist aber kompliziert.
Außerdem hast Du das, was Du zeigen willst, oben schon verwendet (rot markiert).

> (ja... :( da bin ich nicht von alleine drauf gekommen, aber
> hab ichs richtig umgeformt/umgesetzt??)

Naja. Gemeint war wohl eher:

[mm] a*a^{-1}=e \rightarrow [/mm] Daran von rechts [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] heranmultiplizieren:

[mm] a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=e*(a^{-1})^{-1} [/mm]

[mm] a*e=a=(a^{-1})^{-1} [/mm]

So. Jetzt schreit es nicht mehr so laut.

lg,
rev

Bezug
                                                                                
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Sa 31.01.2009
Autor: ohmeinkreuz


> Naja. Gemeint war wohl eher:
>  
> [mm]a*a^{-1}=e \rightarrow[/mm] Daran von rechts [mm](a^{-1})^{-1}[/mm]
> heranmultiplizieren:
>  
> [mm]a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=e*(a^{-1})^{-1}[/mm]
>

diesen schritt versteh ich aber nicht so ganz. fehlt da ein zwischenschritt??

> [mm]a*e=a=(a^{-1})^{-1}[/mm]

lg-omk

Bezug
                                                                                        
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:40 Sa 31.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> > Naja. Gemeint war wohl eher:
>  >  
> > [mm]a*a^{-1}=e \rightarrow[/mm] Daran von rechts [mm](a^{-1})^{-1}[/mm]
> > heranmultiplizieren:
>  >  
> > [mm]a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=e*(a^{-1})^{-1}[/mm]
>  >

> diesen schritt versteh ich aber nicht so ganz. fehlt da ein
> zwischenschritt??
> > [mm]a*e=a=(a^{-1})^{-1}[/mm]

Ganz formal von der bekannten Gleichung aus:

[mm] $a\star a^{-1}=e [/mm] \ \ \ [mm] \mid \star \left(a^{-1}\right)^{-1}$ [/mm] von rechts

[mm] $\Rightarrow \left(a\star a^{-1}\right)\star\left(a^{-1}\right)^{-1}=e\star\left(a^{-1}\right)^{-1}$ [/mm]

Nun die Assoziativität von [mm] \star [/mm] nutzen für die linke Seite und dass e neutral ist für die rechte Seite

[mm] $\Rightarrow a\star\left(\underbrace{a^{-1}\star\left(a^{-1}\right)^{-1}}_{=e}\right)=\left(a^{-1}\right)^{-1}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow a\star e=\left(a^{-1}\right)^{-1}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow a=\left(a^{-1}\right)^{-1} [/mm] \ \ \ \ [mm] \Box$ [/mm]

>
> lg-omk

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                                                
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:43 Sa 31.01.2009
Autor: ohmeinkreuz

ohhkayyyy!!!

Oh mann... Danke! :-)

Bezug
                                                                
Bezug
Halbgruppenelement invertierba: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:26 So 01.02.2009
Autor: angela.h.b.


> > [mm]a\*a^{-1}=a^{-1}\*a=e[/mm]
>
> Ja sicher, was ist also naheliegend, wenn du die Gleichung
> [mm]a\star a^{-1}=e[/mm] vor dir hast?
>  
> Das schreit dich doch direkt an, multipliziere von rechts
> [mm]\Box[/mm] dran!

Hallo,

ich würde hier überhaupt nichts daranmultiplizieren - wir haben's ja auch mit einer Halbgruppe zu tun und wissen zunächst gar nicht, ob [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] ein Inverses Element hat.

Nach Voraussetzung  ist ab=ba=e    für [mm] b:=a^{-1}. [/mm]

Also ist a das inverse Element von b, in Zeichen: [mm] a=b^{-1}=(a^{-1})^{-1}. [/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
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