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Höhenlinien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Di 02.02.2016
Autor: Mathics

Aufgabe
Betrachten Sie folgendes Minimierungsproblem:

[mm] \min_{x,y} [/mm] f = [mm] \min_{x,y} [/mm] f(x,y)

u.d.N. x + y = 1
x,y [mm] \ge [/mm] 0

Sei (x*, y*) die Lösung des Problems.
Welche Aussage ist richtig?

a) die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) muss -1 sein.

b) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann ist die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich -1.

c) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann können wir nicht sagen, was die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) ist.

d) wenn (x*, y*) ein Randpunkt ist, dann muss die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich -1 sein.

Hallo,

meine Idee wäre die folgende:

Wenn (x*, y*) die Lösung des Problems ist, dann muss sie auch die Nebenbedingung x + y = 1 (und x,y [mm] \ge [/mm] 0) erfüllen.

D.h. , dass wenn man f= [mm] \min_{x,y} [/mm] f(x,y) nach x+y umformt, erhält man beim Einsetzen von (x*,y*) gleich 1.

x + y = 1 nach y umgeformt, ergibt y = 1 - x. Dies ist auch die explizite Gleichung (x und y stehen auf zwei verschiedenen Seiten) y(x) der Höhenlinie. Die Steigung ist -1.

(x*, y*) muss dabei aber ein innerer Punkt sein. Wieso? Weil die Ränder nicht differenzierter sind. Und nach dem Satz über implizite Funktionen existiert nur dann eine Höhenlinie bzw. eine Steigung einer Höhenlinie, wenn die partiellen Ableitungen [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] existieren.

Deshalb ist b) richtig.

Was sagt ihr dazu? Ist meine Argumentation richtig, oder liege ich daneben?


LG
Mathics





        
Bezug
Höhenlinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Di 02.02.2016
Autor: fred97

Das ist nun wirklich eine ganz schlampig gestellte Aufgabe !

Was ist den Dein Dozent von Beruf ??


> Betrachten Sie folgendes Minimierungsproblem:
>  
> [mm]\min_{x,y}[/mm] f = [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y)
>  
> u.d.N. x + y = 1
>  x,y [mm]\ge[/mm] 0


Was ist der Definitionsbereich D von f ????

>  
> Sei (x*, y*) die Lösung des Problems.
>  Welche Aussage ist richtig?
>  
> a) die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*)
> muss -1 sein.

Hä ? Von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?? Für mich ist eine Höhenlinie folgendes: ist c [mm] \in \IR, [/mm] so ist

   [mm] H_c:=\{(x,y) \in D: f(x,y)=c\} [/mm]

eine Höhenlinie zum Niveau c.

Also:  von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?

Eine Höhenlinie ist eine Menge, hier im [mm] \IR^2. [/mm] Was bedeutet dann "Steigung " ??

>  
> b) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann ist die
> Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich
> -1.

Hier frage ich mich: innerer Punkt von was ???


>  
> c) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann können wir
> nicht sagen, was die Steigung der Höhenlinie von f im
> Punkt (x*, y*) ist.

Hier frage ich mich wieder: innerer Punkt von was ???


>  
> d) wenn (x*, y*) ein Randpunkt ist, dann muss die Steigung
> der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich -1 sein.

Hier frage ich mich ebenso: Randpunkt von was ???


Fragen, Fragen, Fragen, ........


FRED

>  Hallo,
>  
> meine Idee wäre die folgende:
>  
> Wenn (x*, y*) die Lösung des Problems ist, dann muss sie
> auch die Nebenbedingung x + y = 1 (und x,y [mm]\ge[/mm] 0)
> erfüllen.
>  
> D.h. , dass wenn man f= [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y) nach x+y umformt,
> erhält man beim Einsetzen von (x*,y*) gleich 1.
>  
> x + y = 1 nach y umgeformt, ergibt y = 1 - x. Dies ist auch
> die explizite Gleichung (x und y stehen auf zwei
> verschiedenen Seiten) y(x) der Höhenlinie. Die Steigung
> ist -1.
>  
> (x*, y*) muss dabei aber ein innerer Punkt sein. Wieso?
> Weil die Ränder nicht differenzierter sind. Und nach dem
> Satz über implizite Funktionen existiert nur dann eine
> Höhenlinie bzw. eine Steigung einer Höhenlinie, wenn die
> partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] existieren.
>  
> Deshalb ist b) richtig.
>  
> Was sagt ihr dazu? Ist meine Argumentation richtig, oder
> liege ich daneben?
>  
>
> LG
>  Mathics
>  
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Höhenlinien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Di 02.02.2016
Autor: Mathics


> Das ist nun wirklich eine ganz schlampig gestellte Aufgabe
> !
>  
> Was ist den Dein Dozent von Beruf ??

Professor an der Universität.

>
> > Betrachten Sie folgendes Minimierungsproblem:
>  >  
> > [mm]\min_{x,y}[/mm] f = [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y)
>  >  
> > u.d.N. x + y = 1
>  >  x,y [mm]\ge[/mm] 0
>  
>
> Was ist der Definitionsbereich D von f ????

Also bisher enthielt der Definitionsbereiche alle reellen Zahlen. Ich denke hier wird es genauso sein.

> > Sei (x*, y*) die Lösung des Problems.
>  >  Welche Aussage ist richtig?
>  >  
> > a) die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*)
> > muss -1 sein.
>  
> Hä ? Von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?? Für
> mich ist eine Höhenlinie folgendes: ist c [mm]\in \IR,[/mm] so ist
>  
> [mm]H_c:=\{(x,y) \in D: f(x,y)=c\}[/mm]
>  
> eine Höhenlinie zum Niveau c.
>  
> Also:  von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?

Genau von der Höhenlinie, die du definiert hast. Also so haben wir auch in der Vorlesung eine Höhenlinie definiert, wobei es eine implizite Form f(x,y)=c und eine explizite Form y(x) bzw. x(y) existiert.

  

> Eine Höhenlinie ist eine Menge, hier im [mm]\IR^2.[/mm] Was
> bedeutet dann "Steigung " ??

Die Steigung der impliziten oder expliziten Funktion der Höhenlinie.

> > b) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann ist die
> > Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich
> > -1.
>  
> Hier frage ich mich: innerer Punkt von was ???

Innerer Punkt von f.

>  
>
> >  

> > c) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann können wir
> > nicht sagen, was die Steigung der Höhenlinie von f im
> > Punkt (x*, y*) ist.
>  
> Hier frage ich mich wieder: innerer Punkt von was ???

siehe oben.

> >  

> > d) wenn (x*, y*) ein Randpunkt ist, dann muss die Steigung
> > der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich -1 sein.
>  
> Hier frage ich mich ebenso: Randpunkt von was ???

Randpunkt von f.

> Fragen, Fragen, Fragen, ........
>  
>
> FRED
>  >  Hallo,
>  >  
> > meine Idee wäre die folgende:
>  >  
> > Wenn (x*, y*) die Lösung des Problems ist, dann muss sie
> > auch die Nebenbedingung x + y = 1 (und x,y [mm]\ge[/mm] 0)
> > erfüllen.
>  >  
> > D.h. , dass wenn man f= [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y) nach x+y umformt,
> > erhält man beim Einsetzen von (x*,y*) gleich 1.
>  >  
> > x + y = 1 nach y umgeformt, ergibt y = 1 - x. Dies ist auch
> > die explizite Gleichung (x und y stehen auf zwei
> > verschiedenen Seiten) y(x) der Höhenlinie. Die Steigung
> > ist -1.
>  >  
> > (x*, y*) muss dabei aber ein innerer Punkt sein. Wieso?
> > Weil die Ränder nicht differenzierter sind. Und nach dem
> > Satz über implizite Funktionen existiert nur dann eine
> > Höhenlinie bzw. eine Steigung einer Höhenlinie, wenn die
> > partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] existieren.
>  >  
> > Deshalb ist b) richtig.
>  >  
> > Was sagt ihr dazu? Ist meine Argumentation richtig, oder
> > liege ich daneben?
>  >  
> >
> > LG
>  >  Mathics
>  >  
> >
> >
> >  

>  

Bezug
                        
Bezug
Höhenlinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Di 02.02.2016
Autor: fred97


> > Das ist nun wirklich eine ganz schlampig gestellte Aufgabe
> > !
>  >  
> > Was ist den Dein Dozent von Beruf ??
>  
> Professor an der Universität.
>  
> >
> > > Betrachten Sie folgendes Minimierungsproblem:
>  >  >  
> > > [mm]\min_{x,y}[/mm] f = [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y)
>  >  >  
> > > u.d.N. x + y = 1
>  >  >  x,y [mm]\ge[/mm] 0
>  >  
> >
> > Was ist der Definitionsbereich D von f ????
>  
> Also bisher enthielt der Definitionsbereiche alle reellen
> Zahlen. Ich denke hier wird es genauso sein.

So, denkst Du. Wenn [mm] D=\IR, [/mm] wie kann dann die Fkt. f, die eine Funktion von 2 Variablen ist, auf D def. sein ?

Wenn D = [mm] \IR^2 [/mm] wäre, so wäre "innerer Punkt" übeflüssig, denn jeder Punkt von D ist dann auch innerer Punkt von D. Weiter hat D dann keine Randpunkte !




>  
> > > Sei (x*, y*) die Lösung des Problems.
>  >  >  Welche Aussage ist richtig?
>  >  >  
> > > a) die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*)
> > > muss -1 sein.
>  >  
> > Hä ? Von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?? Für
> > mich ist eine Höhenlinie folgendes: ist c [mm]\in \IR,[/mm] so ist
>  >  
> > [mm]H_c:=\{(x,y) \in D: f(x,y)=c\}[/mm]
>  >  
> > eine Höhenlinie zum Niveau c.
>  >  
> > Also:  von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?
>  
> Genau von der Höhenlinie, die du definiert hast. Also so
> haben wir auch in der Vorlesung eine Höhenlinie definiert,
> wobei es eine implizite Form f(x,y)=c und eine explizite
> Form y(x) bzw. x(y) existiert.

Uah ! Wie sieht das denn bei der Funktion f(x,y)= 0 aus ????

Für c [mm] \ne [/mm] 0 ist [mm] H_c= \emptyset [/mm] und für c=0 ist [mm] H_c=\IR^2. [/mm]

Da ist nix mit y(x) oder x(y) !


>  
>
> > Eine Höhenlinie ist eine Menge, hier im [mm]\IR^2.[/mm] Was
> > bedeutet dann "Steigung " ??
>  
> Die Steigung der impliziten oder expliziten Funktion der
> Höhenlinie.

Eine solche Funktion muss es nicht gegben !


>  
> > > b) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann ist die
> > > Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich
> > > -1.
>  >  
> > Hier frage ich mich: innerer Punkt von was ???
>  
> Innerer Punkt von f.

Unfug !!!!! Man spricht bei Mengen von inneren Punkten.


>  
> >  

> >
> > >  

> > > c) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann können wir
> > > nicht sagen, was die Steigung der Höhenlinie von f im
> > > Punkt (x*, y*) ist.
>  >  
> > Hier frage ich mich wieder: innerer Punkt von was ???
>  
> siehe oben.

siehe oben


>  
> > >  

> > > d) wenn (x*, y*) ein Randpunkt ist, dann muss die Steigung
> > > der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich -1 sein.
>  >  
> > Hier frage ich mich ebenso: Randpunkt von was ???
>  
> Randpunkt von f.

Unfug !!!!! Man spricht bei Mengen von Randpunkten .

FRED


>  
> > Fragen, Fragen, Fragen, ........
>  >  
> >
> > FRED
>  >  >  Hallo,
>  >  >  
> > > meine Idee wäre die folgende:
>  >  >  
> > > Wenn (x*, y*) die Lösung des Problems ist, dann muss sie
> > > auch die Nebenbedingung x + y = 1 (und x,y [mm]\ge[/mm] 0)
> > > erfüllen.
>  >  >  
> > > D.h. , dass wenn man f= [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y) nach x+y umformt,
> > > erhält man beim Einsetzen von (x*,y*) gleich 1.
>  >  >  
> > > x + y = 1 nach y umgeformt, ergibt y = 1 - x. Dies ist auch
> > > die explizite Gleichung (x und y stehen auf zwei
> > > verschiedenen Seiten) y(x) der Höhenlinie. Die Steigung
> > > ist -1.
>  >  >  
> > > (x*, y*) muss dabei aber ein innerer Punkt sein. Wieso?
> > > Weil die Ränder nicht differenzierter sind. Und nach dem
> > > Satz über implizite Funktionen existiert nur dann eine
> > > Höhenlinie bzw. eine Steigung einer Höhenlinie, wenn die
> > > partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] existieren.
>  >  >  
> > > Deshalb ist b) richtig.
>  >  >  
> > > Was sagt ihr dazu? Ist meine Argumentation richtig, oder
> > > liege ich daneben?
>  >  >  
> > >
> > > LG
>  >  >  Mathics
>  >  >  
> > >
> > >
> > >  

> >  


Bezug
                                
Bezug
Höhenlinien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Di 02.02.2016
Autor: Mathics


> > > > Betrachten Sie folgendes Minimierungsproblem:
>  >  >  >  
> > > > [mm]\min_{x,y}[/mm] f = [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y)
>  >  >  >  
> > > > u.d.N. x + y = 1
>  >  >  >  x,y [mm]\ge[/mm] 0
>  >  >  
> > >
> > > Was ist der Definitionsbereich D von f ????
>  >  
> > Also bisher enthielt der Definitionsbereiche alle reellen
> > Zahlen. Ich denke hier wird es genauso sein.
>  
> So, denkst Du. Wenn [mm]D=\IR,[/mm] wie kann dann die Fkt. f, die
> eine Funktion von 2 Variablen ist, auf D def. sein ?
>  
> Wenn D = [mm]\IR^2[/mm] wäre, so wäre "innerer Punkt"
> übeflüssig, denn jeder Punkt von D ist dann auch innerer
> Punkt von D. Weiter hat D dann keine Randpunkte !

Ja, bei zwei Variablen meinte ich auch [mm] \IR^{2}, [/mm] entschuldige bitte für die Ungenauigkeit. Wieso gibt es keine Randpunkte? (0,1) wäre doch einer?


> >  

> > > > Sei (x*, y*) die Lösung des Problems.
>  >  >  >  Welche Aussage ist richtig?
>  >  >  >  
> > > > a) die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*)
> > > > muss -1 sein.
>  >  >  
> > > Hä ? Von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?? Für
> > > mich ist eine Höhenlinie folgendes: ist c [mm]\in \IR,[/mm] so ist
>  >  >  
> > > [mm]H_c:=\{(x,y) \in D: f(x,y)=c\}[/mm]
>  >  >  
> > > eine Höhenlinie zum Niveau c.
>  >  >  
> > > Also:  von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?
>  >  
> > Genau von der Höhenlinie, die du definiert hast. Also so
> > haben wir auch in der Vorlesung eine Höhenlinie definiert,
> > wobei es eine implizite Form f(x,y)=c und eine explizite
> > Form y(x) bzw. x(y) existiert.
>  
> Uah ! Wie sieht das denn bei der Funktion f(x,y)= 0 aus
> ????
>  
> Für c [mm]\ne[/mm] 0 ist [mm]H_c= \emptyset[/mm] und für c=0 ist
> [mm]H_c=\IR^2.[/mm]
>  
> Da ist nix mit y(x) oder x(y) !

Nehmen wir doch mal, dass es eine Funktion ist, bei der man y(x), x(y) prinzipiell bilden kann. Ich gebe dir Recht, dass es wirklich ungenau formuliert ist, liegt aber glaub ich daran, dass es ein Einführungskurs für Wirtschaftswissenschaftler ist und der Prof es so einfach wie möglich halten wollte.


> > > Eine Höhenlinie ist eine Menge, hier im [mm]\IR^2.[/mm] Was
> > > bedeutet dann "Steigung " ??
>  >  
> > Die Steigung der impliziten oder expliziten Funktion der
> > Höhenlinie.
>  
> Eine solche Funktion muss es nicht gegben !
>  
>
> >  

> > > > b) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann ist die
> > > > Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich
> > > > -1.
>  >  >  
> > > Hier frage ich mich: innerer Punkt von was ???
>  >  
> > Innerer Punkt von f.
>  
> Unfug !!!!! Man spricht bei Mengen von inneren Punkten.

Wir haben immer gesagt, dass wenn das Problem eine innere Lösung hat, ist das ein innerer Punkt, also keiner am Rand.

Beachtet man, dass die Frage sehr ungenau formuliert ist und der Anspruch der Vorlesung nicht mit dem einer reinen Mathematikveranstaltung zu vergleichen ist, liege ich mit meinem Lösungsvorschlag dennoch richtig? Also relativ richtig?


> > > >  

> > > > c) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann können wir
> > > > nicht sagen, was die Steigung der Höhenlinie von f im
> > > > Punkt (x*, y*) ist.
>  >  >  
> > > Hier frage ich mich wieder: innerer Punkt von was ???
>  >  
> > siehe oben.
>  
> siehe oben
>  
>
> >  

> > > >  

> > > > d) wenn (x*, y*) ein Randpunkt ist, dann muss die Steigung
> > > > der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich -1 sein.
>  >  >  
> > > Hier frage ich mich ebenso: Randpunkt von was ???
>  >  
> > Randpunkt von f.
>  
> Unfug !!!!! Man spricht bei Mengen von Randpunkten .
>  
> FRED
>  
>
> >  

> > > Fragen, Fragen, Fragen, ........
>  >  >  
> > >
> > > FRED
>  >  >  >  Hallo,
>  >  >  >  
> > > > meine Idee wäre die folgende:
>  >  >  >  
> > > > Wenn (x*, y*) die Lösung des Problems ist, dann muss sie
> > > > auch die Nebenbedingung x + y = 1 (und x,y [mm]\ge[/mm] 0)
> > > > erfüllen.
>  >  >  >  
> > > > D.h. , dass wenn man f= [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y) nach x+y umformt,
> > > > erhält man beim Einsetzen von (x*,y*) gleich 1.
>  >  >  >  
> > > > x + y = 1 nach y umgeformt, ergibt y = 1 - x. Dies ist auch
> > > > die explizite Gleichung (x und y stehen auf zwei
> > > > verschiedenen Seiten) y(x) der Höhenlinie. Die Steigung
> > > > ist -1.
>  >  >  >  
> > > > (x*, y*) muss dabei aber ein innerer Punkt sein. Wieso?
> > > > Weil die Ränder nicht differenzierter sind. Und nach dem
> > > > Satz über implizite Funktionen existiert nur dann eine
> > > > Höhenlinie bzw. eine Steigung einer Höhenlinie, wenn die
> > > > partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] existieren.
>  >  >  >  
> > > > Deshalb ist b) richtig.
>  >  >  >  
> > > > Was sagt ihr dazu? Ist meine Argumentation richtig, oder
> > > > liege ich daneben?
>  >  >  >  
> > > >
> > > > LG
>  >  >  >  Mathics
>  >  >  >  
> > > >
> > > >
> > > >  

> > >  

>  



Bezug
                                        
Bezug
Höhenlinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Di 02.02.2016
Autor: fred97


> > > > > Betrachten Sie folgendes Minimierungsproblem:
>  >  >  >  >  
> > > > > [mm]\min_{x,y}[/mm] f = [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y)
>  >  >  >  >  
> > > > > u.d.N. x + y = 1
>  >  >  >  >  x,y [mm]\ge[/mm] 0
>  >  >  >  
> > > >
> > > > Was ist der Definitionsbereich D von f ????
>  >  >  
> > > Also bisher enthielt der Definitionsbereiche alle reellen
> > > Zahlen. Ich denke hier wird es genauso sein.
>  >  
> > So, denkst Du. Wenn [mm]D=\IR,[/mm] wie kann dann die Fkt. f, die
> > eine Funktion von 2 Variablen ist, auf D def. sein ?
>  >  
> > Wenn D = [mm]\IR^2[/mm] wäre, so wäre "innerer Punkt"
> > übeflüssig, denn jeder Punkt von D ist dann auch innerer
> > Punkt von D. Weiter hat D dann keine Randpunkte !
>  
> Ja, bei zwei Variablen meinte ich auch [mm]\IR^{2},[/mm]
> entschuldige bitte für die Ungenauigkeit. Wieso gibt es
> keine Randpunkte? (0,1) wäre doch einer?

Nein, das ist kein Randpunkt von [mm] \IR^2, [/mm] denn [mm] \IR^2 [/mm] hat keine Randpunkte.


>
>
> > >  

> > > > > Sei (x*, y*) die Lösung des Problems.
>  >  >  >  >  Welche Aussage ist richtig?
>  >  >  >  >  
> > > > > a) die Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*)
> > > > > muss -1 sein.
>  >  >  >  
> > > > Hä ? Von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?? Für
> > > > mich ist eine Höhenlinie folgendes: ist c [mm]\in \IR,[/mm] so ist
>  >  >  >  
> > > > [mm]H_c:=\{(x,y) \in D: f(x,y)=c\}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > eine Höhenlinie zum Niveau c.
>  >  >  >  
> > > > Also:  von welcher Höhenlinie ist denn die Rede ?
>  >  >  
> > > Genau von der Höhenlinie, die du definiert hast. Also so
> > > haben wir auch in der Vorlesung eine Höhenlinie definiert,
> > > wobei es eine implizite Form f(x,y)=c und eine explizite
> > > Form y(x) bzw. x(y) existiert.
>  >  
> > Uah ! Wie sieht das denn bei der Funktion f(x,y)= 0 aus
> > ????
>  >  
> > Für c [mm]\ne[/mm] 0 ist [mm]H_c= \emptyset[/mm] und für c=0 ist
> > [mm]H_c=\IR^2.[/mm]
>  >  
> > Da ist nix mit y(x) oder x(y) !
>  
> Nehmen wir doch mal, dass es eine Funktion ist, bei der man
> y(x), x(y) prinzipiell bilden kann. Ich gebe dir Recht,
> dass es wirklich ungenau formuliert ist, liegt aber glaub
> ich daran, dass es ein Einführungskurs für
> Wirtschaftswissenschaftler ist und der Prof es so einfach
> wie möglich halten wollte.

Ja, offenbar will er es auch so ungenau wie nur möglich halten. Was ist der Prof. den von Beruf ?


>  
>
> > > > Eine Höhenlinie ist eine Menge, hier im [mm]\IR^2.[/mm] Was
> > > > bedeutet dann "Steigung " ??
>  >  >  
> > > Die Steigung der impliziten oder expliziten Funktion der
> > > Höhenlinie.
>  >  
> > Eine solche Funktion muss es nicht gegben !
>  >  
> >
> > >  

> > > > > b) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann ist die
> > > > > Steigung der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich
> > > > > -1.
>  >  >  >  
> > > > Hier frage ich mich: innerer Punkt von was ???
>  >  >  
> > > Innerer Punkt von f.
>  >  
> > Unfug !!!!! Man spricht bei Mengen von inneren Punkten.
>  
> Wir haben immer gesagt, dass wenn das Problem eine innere
> Lösung hat,


Was ist eine innere Lösung ?



>  ist das ein innerer Punkt, also keiner am
> Rand.

Wenn D= [mm] \IR^2 [/mm] ist, so ist, nochmal, jeder Punkt von D ein innerer Punkt von D.


>
> Beachtet man, dass die Frage sehr ungenau formuliert ist
> und der


> Anspruch der Vorlesung nicht mit dem einer reinen
> Mathematikveranstaltung zu vergleichen ist,

Von einem solchen Anspruch muss man nicht ausgehen, aber ein winzig klein wenig mehr Präzision wäre angebracht. Ansonsten hat das mit Mathematik gar nichts mehr zu tun und geht über in Esoterik.





>  liege ich mit
> meinem Lösungsvorschlag dennoch richtig?

Nein.



Also relativ

> richtig?

Nein.

Relative Grüße (was das auch immer ist)

FRED

>  
>
> > > > >  

> > > > > c) wenn (x*, y*) ein innerer Punkt ist, dann können wir
> > > > > nicht sagen, was die Steigung der Höhenlinie von f im
> > > > > Punkt (x*, y*) ist.
>  >  >  >  
> > > > Hier frage ich mich wieder: innerer Punkt von was ???
>  >  >  
> > > siehe oben.
>  >  
> > siehe oben
>  >  
> >
> > >  

> > > > >  

> > > > > d) wenn (x*, y*) ein Randpunkt ist, dann muss die Steigung
> > > > > der Höhenlinie von f im Punkt (x*, y*) gleich -1 sein.
>  >  >  >  
> > > > Hier frage ich mich ebenso: Randpunkt von was ???
>  >  >  
> > > Randpunkt von f.
>  >  
> > Unfug !!!!! Man spricht bei Mengen von Randpunkten .
>  >  
> > FRED
>  >  
> >
> > >  

> > > > Fragen, Fragen, Fragen, ........
>  >  >  >  
> > > >
> > > > FRED
>  >  >  >  >  Hallo,
>  >  >  >  >  
> > > > > meine Idee wäre die folgende:
>  >  >  >  >  
> > > > > Wenn (x*, y*) die Lösung des Problems ist, dann muss sie
> > > > > auch die Nebenbedingung x + y = 1 (und x,y [mm]\ge[/mm] 0)
> > > > > erfüllen.
>  >  >  >  >  
> > > > > D.h. , dass wenn man f= [mm]\min_{x,y}[/mm] f(x,y) nach x+y umformt,
> > > > > erhält man beim Einsetzen von (x*,y*) gleich 1.
>  >  >  >  >  
> > > > > x + y = 1 nach y umgeformt, ergibt y = 1 - x. Dies ist auch
> > > > > die explizite Gleichung (x und y stehen auf zwei
> > > > > verschiedenen Seiten) y(x) der Höhenlinie. Die Steigung
> > > > > ist -1.
>  >  >  >  >  
> > > > > (x*, y*) muss dabei aber ein innerer Punkt sein. Wieso?
> > > > > Weil die Ränder nicht differenzierter sind. Und nach dem
> > > > > Satz über implizite Funktionen existiert nur dann eine
> > > > > Höhenlinie bzw. eine Steigung einer Höhenlinie, wenn die
> > > > > partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] existieren.
>  >  >  >  >  
> > > > > Deshalb ist b) richtig.
>  >  >  >  >  
> > > > > Was sagt ihr dazu? Ist meine Argumentation richtig, oder
> > > > > liege ich daneben?
>  >  >  >  >  
> > > > >
> > > > > LG
>  >  >  >  >  Mathics
>  >  >  >  >  
> > > > >
> > > > >
> > > > >  

> > > >  

> >  

>
>  


Bezug
                                                
Bezug
Höhenlinien: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:10 Mi 03.02.2016
Autor: Mathics

Also ich habe das mit dem Definitionsbereich nicht ganz verstanden.

Ist der Definitionsbereich denn hier nicht:

D [mm] =\{(x;y) \in \IR^{2} : x + y = 1 , x,y \ge 0\} [/mm]

Die Funktion f(x,y) ist beliebig wählbar.
Ich möchte anhand von 2 Beispielen verdeutlichen, was unter inneren Punkt und Randpunkt gemeint ist. Zugleich möchte ich rechnerisch belegen, dass b) richtig ist.


Beispiel 1:

[mm] \min_{x,y} [/mm] f(x,y) = [mm] \min_{x,y} x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm]

u.d.N. x + y = 1
x,y  [mm] \ge [/mm] 0

Für die Existenz von inneren Punkten (=stationären Punkten) muss die Bedingung erster Ordnung gelten, die besagt, dass die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion Null ergeben müssen.

L(x,y, [mm] \lambda) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] (x + y - 1)

[mm] L_{x} [/mm] = 2x - [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_{y} [/mm] = 2y - [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_{\lambda} [/mm] = - x - y + 1 = 0

Aus [mm] L_{x} [/mm] = [mm] L_{y} [/mm] erhält man x = y

Daraus folgt:

[mm] L_{\lambda} [/mm] = - x - x + 1 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 1/2 sowie y = 1/2 sowie [mm] \lambda [/mm] = 1

Es ist leicht ersichtlich, dass f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] eine konvexe Funktion ist, aber hier nochmal der Beweis:

[mm] H_{L} [/mm] = [mm] \pmat{ L_{xx} & L_{xy} \\ L_{yx} & L_{yy} } [/mm] =  [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm]

det [mm] H_{L} [/mm] = 4 > 0 , a=2 >0 , c=2 > 0 . Die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion ist positiv definit, womit die Lagrangefunktion konvex ist. Da die Nebenbedingung linear ist, ist übrigens auch f(x,y) konvex.

Eine Randlösung ergibt somit keinen Sinn, da ein stationärer Punkt einer konvexen Funktion vorliegt und dies somit das Minimum ist.

In der Aufgabe wird ja nun u.a. behauptet, dass die Steigung der Höhenlinie von f im Punk (x*, y*) gleich - 1 ist.

Dies möchte ich jetzt überprüfen:

1. Möglichkeit: Explizite Gleichung der Höhenlinie von f bilden und Steigung ausrechnen

f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = c

f(1/2, 1/2) = [mm] (1/2)^2 [/mm] + [mm] (1/2)^2 [/mm] = 1/2 = c

x*^2 + y*^2 = 1/2  | - x*^2  | [mm] \wurzel{} [/mm]

y* = [mm] \wurzel{1/2 -x^2} [/mm]

y' = 1/2 * (1/2 - [mm] x^2)^{-1/2} [/mm] * (-2x) = [mm] \bruch{-2 * 1/2}{2 *\wurzel{1/2 - (1/2)^2}} [/mm] = - 1

Die Steigung der Höhenlinie beträgt -1.


2. Möglichkeit: Satz über implizite Funktionen

Steigung der Höhenlinie der Form y(x):

- [mm] \bruch{f_{x}}{f_{x}} [/mm] = - [mm] \bruch{2x}{2y} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = -1

Die Steigung der Höhenlinie beträgt -1.


Beispiel 2:

Neue Funktion:

[mm] \min_{x,y} [/mm] f(x,y) = [mm] \min_{x,y} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm]

u.d.N. x + y = 1
x,y  [mm] \ge [/mm] 0

Diese Funktion ist konkav. Der stationäre Punkte, also der innere Punkt, ist das Maximum. Die Lösung des Minimierungsproblem ist somit ein Randpunkt, also kein stationärer Punkt!

Unter den Nebenbedingungen sind die Randpunkte (0,1) und (1,0) die Lösungen des Minimierungsproblem.

Steigung der Höhenlinie der Form y(x):

- [mm] \bruch{f_{x}}{f_{x}} [/mm] = - [mm] \bruch{2x}{2y} [/mm] = - [mm] \bruch{2*0}{2*1} [/mm] = 0

- [mm] \bruch{f_{x}}{f_{x}} [/mm] = - [mm] \bruch{2x}{2y} [/mm] = - [mm] \bruch{2*1}{2*0} [/mm] nicht möglich.

Bei Randpunkten als Lösungen, ist die Steigung der Höhenlinie von f in diesen Punkten also nicht -1.


Diese Rechnungen bestätigen somit, dass die Aussage a) richtig ist.

Ich frage mich allerdings, wieso, dass so ist. Also wieso kann man das auch ganz ohne Rechnung begründen?


LG
Mathics

Bezug
                                                        
Bezug
Höhenlinien: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:18 Do 04.02.2016
Autor: Mathics

Mein erster Lösungsvorschlag, dass f(x,y) im Optimum nach x+y umgeformt immer 1 ergibt, scheint falsch zu sein. Aber meine Rechnung in meinem letzten Beitrag ist doch richtig oder? Wie aber kann man das auch ohne Rechnung begründen?

Bezug
                                                                
Bezug
Höhenlinien: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Sa 06.02.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Höhenlinien: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Fr 05.02.2016
Autor: matux

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