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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 So 24.10.2010 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | [mm] \produkt_{i=0}^{n}(1+a^{2^{i}}) [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{(n+1)}}}{1-a}
[/mm]
$a [mm] \not= [/mm] 1$ $n$ [mm] \in \IN_{0} [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe scheiter ich bereits am Induktionsanfang.
Induktions-Anfang
$n=0$
dann ergibt sich:
[mm] (1+a^{2^{0}}) [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{(0+1)}}}{1-a}
[/mm]
[mm] (1+a^{2*0}) [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a}
[/mm]
[mm] $(1+a^{0})$ [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a}
[/mm]
$(1+1)$ = [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a} [/mm] | $* (1-a)$
$2(1-a)= [mm] 1-a^2$
[/mm]
$2-2a= [mm] 1-a^2$
[/mm]
[mm] $a^2 [/mm] - 2a + 1 = 0$
[mm] $(a-1)^2 [/mm] = 0$
$(a-1)*(a-1) = 0$
Ein Produkt ist null wenn mindestens einer der beiden Faktoren auch 0 ist.
Das kann hier nur für $a=1$ eintreten und das haben wir ja bereits ausgeschlossen.
Ich hoffe ihr könnt mir da auf die Sprünge helfen.
lg moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 24.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Hier steckt dein Fehler :
> $ [mm] (1+a^{2^{0}}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-a^{2^{(0+1)}}}{1-a} [/mm] $
> $ [mm] (1+a^{2\cdot{}0}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-a^{2^{1}}}{1-a} [/mm] $
[mm] 2^0 [/mm] = 1 und [mm] 2^0 [/mm] = 2*0 ist falsch.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 So 24.10.2010 | | Autor: | moody |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
[mm] 2^{2^3} [/mm] = [mm] 2^{8} [/mm]
[mm] 2^{8} \not= 2^{2*3}
[/mm]
Macht ja auch irgendwie sinn ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 24.10.2010 | | Autor: | moody |
So jetzt komme ich beim Induktionsschluss nicht wirklich dahin wo ich hin möchte.
$A(n+1): [mm] \bruch{1-a^{2^{n+1+1}}}{1-a}$
[/mm]
Ich weiss das ich dahin möchte.
$A(n+1):$ [mm] \produkt_{i=0}^{n+1}(1+a^{2^{i}}) [/mm]
= [mm] \produkt_{i=0}^{n}(1+a^{2^{i}}) [/mm] * [mm] (1+a^{2^{n+1}})
[/mm]
nach Vorraussetzung = [mm] \bruch{1-a^{2^{n+1}}}{1-a} [/mm] * [mm] (1+a^{2^{n+1}})
[/mm]
= [mm] \bruch{(1-a^{2^{n+1}})*(1+a^{2^{n+1}})}{1-a}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-a^{2^{n+1}} + a^{2^{n+1}} +(-a^{2^{n+1}})(a^{2^{n+1}})}{1-a}
[/mm]
= [mm] \bruch{1+(-a^{2^{n+1}})(a^{2^{n+1}})}{1-a}
[/mm]
[mm] (-a^{2^{n+1}})(a^{2^{n+1}}) [/mm] ist doch [mm] -a^{2^{2n+2}} [/mm] oder?
Wenn man mit [mm] a^2 [/mm] multiplizieren würde, würde es ja passen. Wo habe ich mich diesmal vertan?
lg moody
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 So 24.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
diesmal hier :
> $ [mm] (-a^{2^{n+1}})(a^{2^{n+1}}) [/mm] $ ist doch $ [mm] -a^{2^{2n+2}} [/mm] $ oder?
$ [mm] a^{2^{n+1}} [/mm] * [mm] a^{2^{n+1}} [/mm] = [mm] (a^{2^{n+1}})^2 [/mm] = [mm] a^{2^{n+1}*2} [/mm] = [mm] a^{2^{n+1}*2^1} [/mm] = [mm] a^{2^{n+1+1}} [/mm] = [mm] a^{2^{n+2}} [/mm] $ wie es sein soll.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 So 24.10.2010 | | Autor: | moody |
Mir kam die Umformung zu [mm] $(...)^2$ [/mm] nicht in den Sinn.
Bzw. durch Anwendung des Potenzgesetzes gleicher Exponent, verschiedene Basis kommt man auch ans Ziel, wenn auch über Umwege. Jetzt habe ich aber alles verstanden und werde mir am besten die Potenzgesetze nochmal anschauen, denn die sollten mittlerweile eigentlich sitzen.
Vielen Dank und schönen abend noch.
lg moody
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