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Forum "Uni-Stochastik" - Integrale Näherungsformel
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Integrale Näherungsformel: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Di 18.09.2007
Autor: Elph

Aufgabe
Herr Spar isst 192-mal im Jahr in einem Imbiss. Sein Essen wird gewogen und er bezahlt nach Gewicht, wobei auf Vielfache von 0,50 € auf- oder abgerundet wird. Wie groß ist sein Risiko, im Jahr durch Rundung mehr als 2 € zu verlieren?

Diese Aufgabe steht im Kapitel "Näherungen" (Poisson, de Moivre-Laplace,...). Ich weiß nicht, wie ich hier auf den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und die Standardabweichung komme.
Kann man für [mm] \mu [/mm] = 192 * n * 0,50 € annehmen? Wie bekomme ich dann n?

        
Bezug
Integrale Näherungsformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Di 18.09.2007
Autor: DesterX

Hi Elph,

das Experiment "Abrunden/Aufrunden" ist zunächst einmal [mm] $B_{n,p}$-verteilt [/mm] mit $n=192$ Durchführungen und [mm] $p=\bruch{1}{2}$, [/mm] wobei p die Wahrscheinlichkeit sei, dass aufgerundet wird.
Hilft dir das schon weiter?

Viele Grüße

Bezug
                
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Integrale Näherungsformel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Di 18.09.2007
Autor: Elph

Danke erstmal.
Jetzt bekomme ich für [mm] \mu [/mm] = 96 und für die Standardabweichung 6,93.
Jetzt muss ich doch P(X>4) ausrechnen, oder?
Dann bekomme ich eine Wahrscheinlichkeit von 1. Kann das stimmen?

Bezug
                        
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Integrale Näherungsformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Di 18.09.2007
Autor: luis52

Moin Elph

> Danke erstmal.
>  Jetzt bekomme ich für [mm]\mu[/mm] = 96 und für die
> Standardabweichung 6,93.
>  Jetzt muss ich doch P(X>4) ausrechnen, oder?

Leider nein...

>  Dann bekomme ich eine Wahrscheinlichkeit von 1. Kann das
> stimmen?

... sondern $P(X>100)$. (($X=96)$ bedeutet, dass genauso haeufig
ab- wie aufgerundet wird).

lg

Luis

PS: *Ich* erhate $P(X>100)=0.2581$.

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Integrale Näherungsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Di 18.09.2007
Autor: DesterX

Hey Luis.

Wenn ich das nicht falsch verstehe, wird ja grad immer auf ein Vielfaches von 0,50€ gerundet - somit bedeutet der Fall "Aufrunden" nicht automatisch, dass   wir 0,50€ verlieren(also wir auch nicht unbedingt nach 4mal Aufrunden 2€ verlieren), sondern vielmehr dass wir einen Verlust X mit $X [mm] \in [/mm] \  ]0,0.5[$ haben, oder?

Das würde das Problem deutlich verkomplizieren ...

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Integrale Näherungsformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Di 18.09.2007
Autor: luis52

Hallo allerseits,


DesterX' Kommentar ist mir nicht angenehm... [peinlich]

Na, dann wollen wir nochmal.

Ich unterstelle, dass wie folgt gerundet wird:  Muss er 3,00, 3,01,...,
3,24 Euro bezahlen, so hat er einen Gewinn von 0, 1, ..., 24 Cent.
Muss er 3,25, 3,26,..., 3,49 Euro bezahlen, so hat er einen Verlust von
25, 24, ..., 1 Cent, usw.  Am Tag $i$ erhaelt/verliert er also [mm] $x_i$ [/mm] Cent,
[mm] $x_1=-25,...,-1,0,1,...,24$. [/mm]  Sei [mm] $X_i$ [/mm] die zugehoerige Zufallsvariable.  Ich unterstelle  [mm] $P(X_i=x_i)=1/50$. [/mm]  Dann ist [mm] $\operatorname{E}[X_i]=-0.5$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[X_i]=-(50^2-1)/12=208.25$. [/mm]  Weiter unterstelle ich, dass [mm] $X_1,...,X_{192}$ [/mm] unabhaengig sind.  Gesucht ist $P(S<-200)$ fuer [mm] $S:=\sum_{i=1}^{192}X_i$. [/mm]

Wegen [mm] $\operatorname{E}[S]=-0.5\times [/mm] 192=-96$ und
[mm] $\operatorname{Var}[S]=208.25\times192=39984$ [/mm] und weil $S$ approximativ
normalverteilt ist, erhalte *ich* in einem neuerlichen Versuch

[mm] $P(S<-200)\approx\Phi(\frac{-200.5+96}{\sqrt{39984}})=0.2989$. [/mm]

lgluis                    

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Integrale Näherungsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Di 18.09.2007
Autor: DesterX

Das ist genial modelliert und gefällt mir nun auch richtig gut ;-)

Aber ich kann mir eigentlich nicht vorstellen, dass dies Niveau einer Schulaufgabe sein kann- aber wie auch immer: So ist es auch meines Erachtens korrekt!

Gruß,
Dester


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Integrale Näherungsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:26 Mi 19.09.2007
Autor: luis52

Moin DesterX,

> Das ist genial modelliert

Danke, das wird ein schoener Tag.

> und gefällt mir nun auch richtig  gut ;-)

Du bist mir auch sehr sympathisch... ;-) [bussi]

lgluis

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