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Ich habe die Frage in kein weiteres Forum gestellt
Funktion Y=cos(x) für [mm] 0\le x\le\pi
[/mm]
Habe Ich raus [mm] b_n=0 [/mm] und [mm] a_n=0
[/mm]
Desweiteren habe ich genutzt [mm] \bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}cos^2(ax)dx=\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{4a}sin(2ax)
[/mm]
Jetzt meine Frage
Wie muss man hier weiter rechnen
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:30 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopf!
Leider ist mir Deine Frage hier völlig unklar ... gehört das zur obigen Aufgabe oder ist das eine neue Aufgabe?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Nein dasist eine neue Aufgabe.
Ich komme da rechnerisch nicht zumende
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopf!
Dann solltest Du hier schon die vollständige Aufgabenstellung posten ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:12 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Ich möchte zu der Funktion Cos(x) im Intervall [mm] [0,\pi]
[/mm]
die Fourier Reihe entwickeln und habe gepostet wie weit ich gekommen bin und komme da nicht weiter
Würde mich freuen wenn du mir das zeigst
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mo 25.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Da das eine neue Frage war, habe ich diesen Teil mal aus der alten Diskussion ausgelöst
Marius
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Hallo,
mit den Fourierreihen hast Du nun ja schon mehrfach rumgewurschtelt.
Ich meine, es ist an der Zeit, daß wir der Frage, wieviel Du von diesem Thema verstanden hast, auf den Grund gehen, damit wir Unverstandenes klären können wirklich klären können.
> Ich habe die Frage in kein weiteres Forum gestellt
> Funktion Y=cos(x) für [mm]0\le x\le\pi[/mm]
>
> Habe Ich raus [mm]b_n=0[/mm] und [mm]a_n=0[/mm]
???
Wieso ist das so?
Was ist das n?
Hast Du es vielleicht mit [mm] a_0 [/mm] und [mm] b_0 [/mm] verwechselt.
>
> Desweiteren habe ich genutzt
> [mm]\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}cos^2(ax)dx=\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{4a}sin(2ax)[/mm]
Was soll das sein? Einer der Fourierkoeffizienten? Wenn ja: welcher?
Was meinst Du mit a?
So. Jetzt mal von Grund auf.
Du hast auf eine periodische Funktion f gegeben, die Du in eine Fourierreihe entwickeln sollst.
Für den Bereich zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] sei die Funktionsvorschrift angegeben, weiter habe sie die Periode [mm] \pi, [/mm] es gelte also [mm] f(x+\pi)=f(x) [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Ist Dir klar, wie diese Funktion aussieht: im Bereich zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] haben wir ja die Funktionsvorschrift, und dieses Funktionsstückchen wird nun vorne und hinten immer wieder angesetzt.
Solch periodische Funktion kann man nun als unendliche Reihe einer bestimmten Gestalt schreiben. Wie sieht diese Fourierreihe aus?
Wie errechnet man die in der Darstellung der Reihe vorkommenden Koeffizienten?
Wenn die Sache soweit geklärt ist, können wir weitermachen.
Achtung: ich erwarte nicht, daß Du was ausrechnest, lediglich die benötigtn Formeln sollen hier einmal vernünftig stehen. Mit Gleichheitszeichen usw.
Gruß v. Angela
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Aufgabe y=cos(x) [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le\pi
[/mm]
Lösung
1.Schritt: Ich schaue ob die Funktion gerade ist oder
ungerade
Antwort:Die Funktion ist gerade, damit ist [mm] a_n=0
[/mm]
2.Schritt: Formel aufschreiben
Antwort: [mm] b_n=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(x)dx}=0
[/mm]
3.Schritt: Koeffizenten berechnen
Antwort: [mm] b_k=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(x)*cos(nx)dx}
[/mm]
4.Schritt: Integral lösen
Antwort: Dazu nutze ich das fertige Integral aus dem Bronstein Nr 314
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos^2(ax) dx}=\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{4a}sin(2ax)
[/mm]
5.Das Integral auf die Aufgabe anpassen
Antwort: [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos^2(nx) dx}=\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{4n}sin(2nx)
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
aus irgendeinem Grund sträubst Du Dich, die allgemeinen Formeln aufzuschreiben, aber die brauchen wir doch, damit wir wissen, was zu tun ist.
Ich zitiere in weiten Zügen aus meiner Antwort an Dich im anderen Post.
Du möchtest also die Fourierreihe der periodischen Funktion f(x)=cosx für $ 0}\le x\le \pi $ berechnen.
Bemerkungen im Thread entnehme ich, daß Du mit dem Bronstein arbeitest, ich übernehme also, was man dort lesen kann.
Fourierentwicklung bedeutet, daß Du Deine Funktion schreibst als
$ f(x)=\bruch{a_0}{2} $ + $ \summe_{k=1}^{\infty}(a_k \cos $ kx + $ b_k \sin $ kx).
Die Koeffizienten sind lt. Bronstein (bei mir 4.49 )
$ a_k=\bruch{1}{l}\integral_{0}^{\pi}f(x)\cos\bruch{k\pi x}{l}dx $
und
$ b_k=\bruch{1}{l}\integral_{0}^{\pi}f(x)\sin\bruch{k\pi x}{l}dx, $,
l ist die halbe Periodenlänge, also \bruch{\pi}{2}.
> Aufgabe y=cos(x) [mm]0\le[/mm] x [mm]\le\pi[/mm]
>
> Lösung
> 1.Schritt: Ich schaue ob die Funktion gerade ist oder
> ungerade
> Antwort:Die Funktion ist gerade,
Nein.
Deine Funktion f ist nicht die Cosinusfunktion. Es ist der Abschnitt der cos-Funktion zwischen 0 und [mm] \pi, [/mm] welcher dann um jeweils [mm] \pi [/mm] unendlich oft nach vorn und hinten verschoben wird.. (Im Bronstein findest Du bei der Tabelle der Fourierentwicklungen ein Bild.)
Die zu betrachtende Funktion ist ungerade (!).
> damit ist [mm]a_n=0[/mm]
für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Damit hat die Fourierreihe von f(x) die Gestalt
[mm] (\*) [/mm] f(x)= [mm] \summe_{k=1}^{\infty}($ b_k \sin [/mm] $ kx)
>
> 2.Schritt: Formel aufschreiben
> Antwort:
> [mm]b_n=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(x)dx}=0[/mm]
Was soll das für eine Formel sein?
>
> 3.Schritt: Koeffizenten berechnen
> Antwort:
> [mm]b_k=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(x)*cos(nx)dx}[/mm]
Veranstalte erstens kein Chaos zwischen k und n.
Zweitens sind doch die [mm] b_k [/mm] die Integrale mit dem Sinus.
Die Formel für die [mm] b_k [/mm] ist ja
[mm] b_k=\bruch{1}{l}\integral_{0}^{\pi}f(x)\sin\bruch{k\pi x}{l}dx,
[/mm]
mit [mm] l=\pi/2 [/mm] erhält man
[mm] b_k=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}f(x)\sin(2kx)dx,
[/mm]
und da f(x)=cosx ist, hast Du
[mm] b_k=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}cos(x)\sin(2kx)dx [/mm] zu berechnen.
Die [mm] b_k [/mm] berechnet man, um sie später in [mm] (\*) [/mm] einzusetzen.
Gruß v. Angela
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Kannst du mir das mal durchrechnen
Ich habe in meiner Mitteilung geschriben welche Formeln ich nutze
Danke
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1.y=cos(x) im Intervall [mm] [-\pi,\pi] [/mm] ist eine gerade Funktion
2.y=sin(x) im Intervall [mm] [-\pi,\pi] [/mm] ist eine ungerade Funktion
3.y=lnx) im Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] ist eine ungerade Funktion
Sind meine Aussagen richtig
Danke
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> 1.y=cos(x) im Intervall [mm][-\pi,\pi][/mm] ist eine gerade
> Funktion
Ja.
> 2.y=sin(x) im Intervall [mm][-\pi,\pi][/mm] ist eine ungerade
> Funktion
Ja.
> 3.y=lnx) im Intervall [mm][0,\pi][/mm] ist eine ungerade
> Funktion
Ich weiß nicht genau, welche Funktion Du hiermit meinst.
Wie soll die denn in [mm] [-\pi, [/mm] 0] aussehen? Soll sie um [mm] \pi [/mm] nach links verschoben sein? Dann ist#s eine Funktion mit der Periode [mm] \pi, [/mm] welche weder gerade noch ungerade ist (aufzeichnen!),
oder soll sie an der y-Achse gespiegelt sein, so daß man insgesamt eine gerade Funktion der Periode [mm] 2\pi [/mm] hat? (aufzeichnen!).
Gruß v. Angela
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ich meine [mm] ln(2cos\bruch{x}{2}) [/mm] Im Intervall [mm] [0,\pi]
[/mm]
Danke
Rechnest du bitte die letzte aufgabe noch
Bitte
Und schau dir bitte meie Formeln an. Würdest mir sehr helfen
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> ich meine [mm]ln(2cos\bruch{x}{2})[/mm] Im Intervall [mm][0,\pi][/mm]
Damit eine Funktion $f$ gerade oder ungerade sein kann, muss ihr Definitionsbereich [mm] $D_f$ [/mm] symmetrisch zu $0$ sein, denn es muss für jedes [mm] $x\in D_f$ [/mm] gelten, dass auch [mm] $-x\in D_f$ [/mm] ist. Da [mm] $[0,\pi]$ [/mm] diese Bedingung nicht erfüllt ist diese Funktion von vornherein weder gerade noch ungerade.
Würdest Du jedoch [mm] $f(x)=\ln(2\cos\frac{x}{2})$ [/mm] mit Definitionsbereich [mm] $[-\pi,\pi]$ [/mm] betrachten, dann wäre $f$ in der Tat eine gerade Funktion, weil $f(-x)=f(x)$, für alle [mm] $x\in [-\pi;\pi]$ [/mm] gilt.
Man kann also beim Entscheid über die Frage, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, nicht einfach nur auf den Funktionsterm schauen sondern muss auch den Definitionsbereich der Funktion berücksichtigen.
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> Kannst du mir das mal durchrechnen
> Ich habe in meiner Mitteilung geschriben welche Formeln
> ich nutze
Hallo,
nachdem nun die Formeln stehen, verstehe ich nicht, warum Du nicht endlich die Fourierkoeffizienten ausrechnest.
Welche Du benötigst ist geklärt, die [mm] b_k [/mm] nämlich, und es ist
$ [mm] b_k=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}cos(x)\sin(2kx)dx [/mm] $
Nun mach Du Dich doch mal dran, das Integral zu lösen.
Möglicherweise sind Dir hier zunächst die Additionstheoreme von Nutzen, damit wirst Du nämlich das Produkt im Integral los.
Also, hopp: wie sehen die [mm] b_k [/mm] aus?
Wenn Du die Koeffizienten berechnet hast, kannst Du die reihe aufstellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Di 26.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Deine Formeln für Die Koeffizent finde ich weder im Bronstein noch bei wiki.
und deine Angabe Bronstein 4.49. nutzt mir auch nichts
Trotzdem danke
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> Deine Formeln für Die Koeffizent finde ich weder im
> Bronstein noch bei wiki.
Hallo,
wenn Du diese Formeln nicht im Bronstein findest, ist das nicht so tragisch, denn ich habe sie ja aufgeschrieben. Mehrfach, wenn ich mich nicht täusche.
Genau wie ich doch aufgeschrieben habe, worum es bei der Fourierentwicklung geht und was zu tun ist.
Aber ich würde mich schon sehr wundern, wenn sie nicht im Bronstein stünden, denn der Abschnitt über Fourierreihen scheint ja auch in Deinem Bronstein vorhanden zu sein.
Im Inhaltsverzeichnis müßtest Du nach - oh Wunder! - "Fourierkoeffizienten" suchen.
Bei der Wikipedia kannst du Fourierreihe eingeben, und schon findest Du alles, was Du benötigst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Ich arbeite mit den Formeln zur Bildung der Koeffizenten
[mm] a_n=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(nx) dx} [/mm] n=0,1,..
[mm] b_n=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)sin(nx) dx} [/mm] n=1,..
oder
[mm] a_n=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)cos(nx) dx} [/mm]
[mm] b_n=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)sin(nx) dx} [/mm]
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Hallo sind meie Formeln richtig
Danke
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> Hallo sind meie Formeln richtig
Nein, die sind nicht allgemein gültig. Schau doch bitte mal in Deinem geliebten Bronstein unter Fourier-Reihen nach. Dort steht
[mm]a_k=\frac{2}{T}\cdot\int\limits_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos(k\omega x)\,dx[/mm]
und
[mm]b_k=\frac{2}{T}\cdot\int\limits_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin(k\omega x)\, dx[/mm]
Wobei $T$ die Periode und [mm] $\omega [/mm] = [mm] \frac{2\pi}{T}$ [/mm] die Kreisfrequenz ist.
Wie Dir Angela bereits ausführlich erklärt hat, ergibt dies für Dein Problem der Integration von [mm] $f(x)=\cos(x)$ [/mm] für [mm] $x\in [0,\pi[$, [/mm] wegen [mm] $T=\pi$ [/mm] und [mm] $\omega=\frac{2\pi}{T}=2$, [/mm] die spezielle Form
[mm]a_k=\frac{2}{\pi}\cdot \int\limits_0^\pi \cos(x)\cdot \cos(k\cdot 2x)\,dx=0[/mm]
(wobei man sich auch hätte überlegen können, dass die periodische Fortsetzung dieser Funktion ungerade ist und daher die [mm] $a_k$ [/mm] gleich $0$ sein müssen).
[mm]b_k=\frac{2}{\pi}\cdot\int\limits_0^\pi \cos(x)\cdot\sin(k\cdot 2x)\,dx=\frac{8}{\pi}\cdot\frac{k}{4k^2-1}[/mm]
Und daher ist die Fourierreihe gleich
[mm]\frac{8}{\pi}\cdot \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{4k^2-1}\cdot \sin(k\cdot 2x)[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Kannst du mir noch zeigen wie du von [mm] b_k [/mm] zu der Formel kommst
Wo du [mm] \bruch{8}{\pi} [/mm] hast steht im Buch [mm] \bruch{4}{\pi}
[/mm]
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> Kannst du mir noch zeigen wie du von [mm]b_k[/mm] zu der Formel
> kommst
>
> Wo du [mm]\bruch{8}{\pi}[/mm] hast steht im Buch [mm]\bruch{4}{\pi}[/mm]
Hallo,
dafür steht aber im Buch da, wo Somebody k stehen hat, 2k, das sollte also identisch sein.
Hast du denn die Koeffizienten auch schon berechnet? Passen sie zu den beiden Ergebnissen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Christopf |
ich habe das noch nicht versucht zu rechnen, weil ich das verstehen möchte, Ich würde gerne sehen wie man von [mm] b_k [/mm] zur Formel kommt.
Dein Vorschlag mit den Additionstheorem bin ich total überfordert. Um diese mache ich immer ein großen Bogen.
Wenn ich das komplett verstehe will ich das selber lösen.
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Kann mir jemand mathematisch vollständig beschreiben warum bei gerade Funktionen [mm] b_k=0 [/mm] und ungeraden Funktionen [mm] a_k=0 [/mm] wird
Danke
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> Kann mir jemand mathematisch vollständig beschreiben warum
> bei gerade Funktionen [mm]b_k=0[/mm] und ungeraden Funktionen [mm]a_k=0[/mm]
> wird
Hallo,
mal sehr : die Funktionen hinter den [mm] b_k [/mm] sind allesamt ungerade und müssen daher irgendwie verscheinden, wwenn man eine gerade Funktion will.
Hast Du denn mal angefangen, den Beweis zu führen.
Was bedeutet es denn, wenn die Funktion, die in eine Fourierreihe entwickelt werden soll, gerade ist?
Was bedeutet das für die Fourierreihe?
Gruß v. Angela
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> ich habe das noch nicht versucht zu rechnen, weil ich das
> verstehen möchte,
Hallo,
so funktioniert Mathematik nicht.
Man muß wagen zu rechnen, auf die Gefahr hin, daß man Fehler macht.
Berge von beschriebenem Papier mit Irrwegen gehören dazu.
Wenn man nichts selber macht, bekommt man nie ein Gefühl dafür, wie's geht.
Es ist mit der Mathematik wie mit kleinen Kindern: die müssen die Sachen auch anfassen und in den Mund nehmen, die Welt begreifen, um zu verstehen.
Vieles versteht man beim Tun, und es ist mir absolut schleierhaft, warum Du noch nicht angefangen hast - zumal die Vorlage doch inzwischen steht.
> Ich würde gerne sehen wie man von [mm]b_k[/mm] zur
> Formel kommt.
Fang an und hangel Dich am Kochrezept entlang. Es ist doch alles rezeptartig aufgeschrieben.
>
> Dein Vorschlag mit den Additionstheorem bin ich total
> überfordert. Um diese mache ich immer ein großen Bogen.
Das ist ja wohl nicht dein Ernst!
Wenn Du um Additionstheoreme einen Bogen machst, kannst Du Dir Fourierreihen komplett abschminken, tut mir leid, daß ich das so hart sagen muß.
Die Additionstheoreme stehen doch auch im Bronstein, und man muß (wieder kochrezeptartig) nur das Passende einsetzen.
Welches wäre denn das Theorem, welches zur Anwendung kommen müßte.
> Wenn ich das komplett verstehe will ich das selber lösen.
Klar, so macht man das.
Du solltest zuerst endlich mal am "betreuten Rechnen" teilnehmen, und wenn die Stücke stehen, schreibt man natürlich alles schön auf und schaut dabei nch, ob man's ohne Hilfe hinbekommt.
Vielleicht schreibst Du auch mal etwas in Dein Profil über Deinen mathematischen Hintergrund.
Warum mußt Du Dich mit Fourierreihen beschäftigen?
Gruß v. Angela
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Hallo
Kann mir jemand den Rechenweg zeigen wie man von der Formel [mm] b_k [/mm] zu Lösung kommt
Danke
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> Kann mir jemand den Rechenweg zeigen wie man von der Formel
> [mm]b_k[/mm] zu Lösung kommt
Hallo,
so'n bißchen was wollen wir auch mal von Dir sehen. Der rechnet, sollst nämlich Du sein...
Wie weit bist Du denn inzwischen gekommen?
Wie hast Du den Tip mit dem Additionstheorem umgesetzt, und woran scheitert die Integration?
Rechne doch mal vor, was Du hast.
Dann sieht man, wo Fehler sind, ob Du alles verstanden hast, und kann ggf. gezielt helfen.
Gruß v. Angela
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> Hallo
>
> Kann mir jemand den Rechenweg zeigen wie man von der Formel
> [mm]b_k[/mm] zu Lösung kommt
Du möchtest also folgende Integrale berechnen:
[mm]b_k = \frac{2}{\pi}\cdot\int\limits_0^\pi \cos(x)\cdot \sin(2kx)\,dx[/mm]
Dann schau mal in Deinem Bronstein in 2.7. Trigonometrische Funktionen nach, ob Du etwas findest, das Dir erlaubt, den Integranden in eine appetitlichere Form zu bringen. Etwa die folgende, im Abschnitt 2.7.2.6 Produkte trigonometrischer Funktione aufgeführte Formel (2.119)
[mm]\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}\big[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\big][/mm]
die direkt aus einer zweimaligen Anwendung des Additionstheorems für [mm] $\sin(\alpha\pm \beta)$ [/mm] auf deren rechte Seite folgt.
Mit [mm] $\alpha [/mm] := 2kx$ und [mm] $\beta [/mm] := x$ kannst Du Dein Integral deshalb so umformen
[mm]b_k=\frac{2}{\pi}\cdot\int\limits_0^\pi \cos(x)\cdot \sin(2kx)\,dx=\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi \frac{1}{2}\cdot \Big[\sin((2k-1)x)+\sin((2k+1)x)\Big]\, dx=\ldots[/mm]
den Rest der Integration solltest Du meiner Meinung nach wieder selbst versuchen.
P.S: Eine andere Möglichkeit ist zweimalige partielle Integration. Im folgenden lasse ich den Faktor [mm] $\frac{2}{\pi}$ [/mm] weg, um mir die Tipparbeit ein kleines Bisschen zu erleichtern:
[mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\integral_0^\pi \underset{\uparrow}{\cos(x)}\cdot\underset{\downarrow}{\sin(2kx)}\,dx &=& \displaystyle \underbrace{\sin(x)\cdot\sin(2kx)\Big|_{x=0}^\pi}_{=0}-2k\cdot\integral_0^\pi \underset{\uparrow}{\sin(x)}\cdot\underset{\downarrow}{\cos(2kx)}\,dx\\
&=&\displaystyle -2k\cdot\Big[\underbrace{-\cos(x)\cdot\cos(2kx)\Big|_{x=0}^\pi}_{=2}+2k\integral_0^\pi \cos(x)\sin(2kx)\,dx\Big]\\
&=& \displaystyle -4k+4k^2\integral_0^\pi \cos(x)\cdot\sin(2kx)\,dx\\
\displaystyle\Rightarrow \integral_0^\pi \cos(x)\cdot\sin(2kx)\,dx&=& \displaystyle\frac{4k}{4k^2-1}
\end{array}[/mm]
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Ich habe deine Rechnung versucht auch zu lösen
[mm] \bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(x)*sin(2kx)dx}
[/mm]
Ich nutze dazu wie du geschrieben hast die Partielle Integration mit [mm] \integral{u(x)*v^|(x) dx}=|u(x)*v(x)|-\integral{v(x)*u^|(x)dx}
[/mm]
Rechnung
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x)*sin(2kx)dx}=|sin(x)*sin(2kx)|-2k\integral_{0}^{\pi}{cos(x)* cos(x) dx}...
[/mm]
Was hast du anders gemacht
Ich habe mich an die genante Formel gehalten
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> Ich habe deine Rechnung versucht auch zu lösen
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> [mm]\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(x)*sin(2kx)dx}[/mm]
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> Ich nutze dazu wie du geschrieben hast die Partielle
> Integration mit [mm]\integral{u(x)*v'(x) dx}=|u(x)*v(x)|-\integral{v(x)*u'(x)dx}[/mm]
>
> Rechnung
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(x)*sin(2kx)dx}=|sin(x)*sin(2kx)|-2k\integral_{0}^{\pi}{cos(x)* cos(x) dx}...[/mm]
>
> Was hast du anders gemacht
Ich hab's in meiner letzten Antwort doch ausführlichst hingeschrieben.
> Ich habe mich an die genante Formel gehalten
Keineswegs: Du scheinst [mm] $u(x)=\sin(2kx)$ [/mm] und [mm] $v'(x)=\cos(x)$ [/mm] gewählt zu haben (bzw. solltest diese Faktorfunktionen gemäss meinem Vorschlag so gewählt haben). Dann ist [mm] $u'(x)=\sin(x)$ [/mm] und [mm] $v(x)=2k\cdot \cos(2kx)$ [/mm] (Kettenregel). Möglichst direkt an Deine obige Schreibweise für die Regel der partiellen Integration angelehnt ergibt dies:
[mm]\integral_0^\pi{u(x)*v'(x) dx}\,dx= \Big[u(x)*v(x)\Big]_{x=0}^\pi-\integral_0^\pi v(x)*u'(x)\,dx=\Big[sin(2kx)\cdot sin(x)\Big]_{x=0}^\pi-\integral_0^\pi \sin(x)\cdot 2k\cos(2kx)\,dx[/mm]
Dies unterscheidet sich nur in trivialer Weise von meinem eigenen Ergebnis nach der ersten partiellen Integration (Vertauschen von Faktoren und herausziehen von $2k$ aus dem Integral).
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Hallo
Kannst du mir nich zeigen wie man von:
[mm] -4k+4k^2\integral_{0}^{\pi}{f(cos(x)*sin(2kx) dx} [/mm] zu
[mm] \integral_{0}^{\pi}{f(cos(x)*sin(2kx) dx} =\bruch{4k}{4k^2-1} [/mm] kommt danke
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> Hallo
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> Kannst du mir nich zeigen wie man von:
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> [mm]-4k+4k^2\integral_{0}^{\pi}{f(cos(x)*sin(2kx) dx}[/mm] zu
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(cos(x)*sin(2kx) dx} =\bruch{4k}{4k^2-1}[/mm]
> kommt danke
>
Hallo,
Somebody hat Dir das doch schon gezeigt!!! Hier.
Er schreibt:
"$ [mm] \begin{array}{lcl} \displaystyle\red{\integral_0^\pi \underset{\uparrow}{\cos(x)}\cdot\underset{\downarrow}{\sin(2kx)}\,dx} &=& \displaystyle \underbrace{\sin(x)\cdot\sin(2kx)\Big|_{x=0}^\pi}_{=0}-2k\cdot\integral_0^\pi \underset{\uparrow}{\sin(x)}\cdot\underset{\downarrow}{\cos(2kx)}\,dx\\ &=&\displaystyle -2k\cdot\Big[\underbrace{-\cos(x)\cdot\cos(2kx)\Big|_{x=0}^\pi}_{=2}+2k\integral_0^\pi \cos(x)\sin(2kx)\,dx\Big]\\ &=& \displaystyle -4k+4k^2\red{\integral_0^\pi \cos(x)\cdot\sin(2kx)\,dx}\\ \displaystyle\Rightarrow \integral_0^\pi \cos(x)\cdot\sin(2kx)\,dx&=& \displaystyle\frac{4k}{4k^2-1} \end{array} [/mm] $ "
Ich hoffe, daß mit den roten Markierungen nun alles klar wird.
Zur Sicherheit nochmal ein kleines Beispiel mit Zahlen: x=7y+5x ==> [mm] x=-\bruch{7}{5}y.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo
Das hat nicht meine frage beantwortet wie man vom [mm] -4k+4k^2
[/mm]
zu [mm] \bruch{4k}{4k^2-1} [/mm] kommt
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> Hallo
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> Das hat nicht meine frage beantwortet wie man vom [mm]-4k+4k^2[/mm]
>
> zu [mm]\bruch{4k}{4k^2-1}[/mm] kommt
Hallo,
Du hast
[mm] \red{\integral_{0}^{\pi}{f(cos(x)\cdot{}sin(2kx) dx}}=-4k+4k^2\red{\integral_{0}^{\pi}{cos(x)\cdot{}sin(2kx) dx} }
[/mm]
==> [mm] (1-4k^2)\red{\integral_{0}^{\pi}{cos(x)\cdot{}sin(2kx) dx} }=-4k
[/mm]
Gruß v. Angela
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