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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Di 25.04.2006
Autor: Kuebi

Aufgabe
Ist die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x}, x \in (0,1] \\ 0, x=0 \end{cases} [/mm] integrierbar?

Hallo ihr!

Hab mir nochmals zu einer Aufgabenstellung Gedanken gemacht und stelle dieser nun der öffentlichen Kritik ... ;-)

Ich habe zur Beantwortung zwei aus der Vorlesung bekannte Tatsachen benutzt:

1. Jede stetige Funktion ist integrierbar und
2.  [mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx} [/mm] := 0.

Da die Funktion f auf (0,1] stetig ist und für [mm] x_{0} [/mm] = 0 =: a müsste ja für die Funtion folgen, dass sie integrierbar ist bei [mm] x_{0} [/mm] und auf (0,1] und somit insgesamt integrierbar *!?*

Kann das so sein? Oder mache ich es mir da zu einfach?

Vielen Dank im Vorab!

Lg, Kübi
        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Di 25.04.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo Kübi,

ganz so leicht ist es nicht.... ;-) ist eine funktion auf einem abgeschlossenen, endlichen intervall stetig, so ist sie auch integrierbar, ja. Für funktionen mit unstetigkeiten (deine fkt. hat in $0$ einen pol) gilt die aussage mitnichten.
Vielmehr müsstest du hier ein grenzwert-argument durchführen:

Berechne [mm] $\int_a^1{\frac{1}{x}dx=.....}$ [/mm] und gehe dann mit $a$ gegen $0$. Was passiert mit dem integral?

VG
Matthias
Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Di 25.04.2006
Autor: Kuebi

Hallo Matthias!

Vielen Dank! Na dann schauen wir mal dass die Sache komplizierter wird! ;-)

Okay, also:

[mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] ist aus der Vorlesung bewiesen zu log(a).

Folglich ist [mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] -\integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = -log(a).

Und  [mm] \limes_{a\rightarrow 0}-log(a) [/mm] = [mm] \infty. [/mm]

Folglich saust mein Integral gegen Unendlich.

Soweit so gut! Aber heißt eine Funktion auch integrierbar wenn das Integral gegen Unendlich saust? Demzufolge was in meinem Skript zur Def. vom Riemann-Integral steht würde ich jetzt spontan sagen nein, sie ist nicht integrierbar! :-)

Dass die Funktion an [mm] x_{0} [/mm] = 0 integriebar ist stimmt dann aber, oder?

Lg, Kübi
Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Mi 26.04.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo Kübi,


> [mm]\integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] ist aus der Vorlesung
> bewiesen zu log(a).

Halt! Das gilt für $a>1$.... Für $a<1$ ist

[mm]\integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x} dx}=-\log(a)[/mm]


>  
> Folglich ist [mm]\integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] =
> [mm]-\integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] = -log(a).

[kopfschuettel] Noch ein Vorzeichenfehler...

>  
> Und  [mm]\limes_{a\rightarrow 0}-log(a)[/mm] = [mm]\infty.[/mm]
>  
> Folglich saust mein Integral gegen Unendlich.

[daumenhoch] Doppelter Fehler hebt sich auf, hier stimmts wieder! ;-)
>
> Soweit so gut! Aber heißt eine Funktion auch integrierbar
> wenn das Integral gegen Unendlich saust? Demzufolge was in
> meinem Skript zur Def. vom Riemann-Integral steht würde ich
> jetzt spontan sagen nein, sie ist nicht integrierbar! :-)

Richtig, die funktion ist nicht integriebar, da sie kein endliches integral besitzt....

> Dass die Funktion an [mm]x_{0}[/mm] = 0 integriebar ist stimmt dann
> aber, oder?

Nein! Von Integrierbarkeit in einem punkt zu sprechen macht i.A. keinen Sinn. Ich denke, darum geht es bei der aufgabe auch nicht, sondern um das intervall $I=[0;1]$.

VG
Matthias

Bezug
                                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Mi 26.04.2006
Autor: Kuebi

Hallo Matthias!

Jaja, die Vorzeichen! Im Eifer des Gefechts doppelt verdreht. Aber die Tatsache dass am Ende dann das Richtige rauskommt ist eben faszinierend! ;-)

Vielen Dank für deine Hilfe!

Lg, Kübi
Bezug
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