matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationIntegration einer e-Funktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Integration" - Integration einer e-Funktion
Integration einer e-Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integration einer e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Di 24.07.2018
Autor: Pacapear

Aufgabe
Berechnen Sie:

[mm] $\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} [/mm] dx$

Hallo zusammen.

Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast aufs richtige Ergebnis.

Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen.

Hier mein Weg:

Ich substituiere $z = 1 + [mm] e^x$, [/mm] dann ist [mm] $\frac{dz}{dx} [/mm] = [mm] e^x \gdw \frac{1}{e^x} [/mm] dz = dx$.

[mm] $\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} [/mm] dx$

$= [mm] \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} [/mm] dx$

$= [mm] \int \frac{e^{x} * e^x}{z} [/mm] * [mm] \frac{1}{e^x} [/mm] dz$

$= [mm] \int \frac{e^x}{z} [/mm] dz$

Jetzt forme ich meine Substitution um: $z = 1 + [mm] e^x \gdw [/mm] z-1 = [mm] e^x$ [/mm]

$= [mm] \int \frac{z-1}{z} [/mm] dz$

$= [mm] \int \frac{z}{z} [/mm] - [mm] \frac{1}{z} [/mm] dz$

$= [mm] \int [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{z} [/mm] dz$

$= [ z - [mm] \ln(|z|) [/mm] ]$

Rücksubstitution liefert $1 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C$.

Rauskommen soll allerdings nur [mm] $e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C$.

Wo liegt mein Fehler?

Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren Konstante [mm] $C_1$ [/mm] zusammenfassen?

Danke und VG,
Nadine

        
Bezug
Integration einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Di 24.07.2018
Autor: angela.h.b.


> Berechnen Sie:

>

> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
> Hallo zusammen.

>

> Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast
> aufs richtige Ergebnis.

>

> Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir
> jemand von euch weiterhelfen.

>

> Hier mein Weg:

>

> Ich substituiere [mm]z = 1 + e^x[/mm], dann ist [mm]\frac{dz}{dx} = e^x \gdw \frac{1}{e^x} dz = dx[/mm].

>

> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} dx[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{z} * \frac{1}{e^x} dz[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{e^x}{z} dz[/mm]

>

> Jetzt forme ich meine Substitution um: [mm]z = 1 + e^x \gdw z-1 = e^x[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{z-1}{z} dz[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{z}{z} - \frac{1}{z} dz[/mm]

>

> [mm]= \int 1 - \frac{1}{z} dz[/mm]

>

> [mm]= [ z - \ln(|z|) ][/mm]

>

> Rücksubstitution liefert [mm]1 + e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].

>

> Rauskommen soll allerdings nur [mm]e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].

>

> Wo liegt mein Fehler?

Hallo,

es gibt keinen.

Du hast es ja schon erkannt:

1 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C ist genauso richtig wie
54321 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C oder
0+ [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C.

Beim Ableiten merkst Du ja auch, daß das Richtige herauskommt.

LG Angela




>

> Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren
> Konstante [mm]C_1[/mm] zusammenfassen?

>

> Danke und VG,
> Nadine


Bezug
                
Bezug
Integration einer e-Funktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Di 24.07.2018
Autor: Pacapear

Super - Danke :-)

Bezug
        
Bezug
Integration einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Mi 25.07.2018
Autor: fred97


> Berechnen Sie:
>  
> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
>  Hallo zusammen.
>  
> Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast
> aufs richtige Ergebnis.
>  
> Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir
> jemand von euch weiterhelfen.
>  
> Hier mein Weg:
>  
> Ich substituiere [mm]z = 1 + e^x[/mm], dann ist [mm]\frac{dz}{dx} = e^x \gdw \frac{1}{e^x} dz = dx[/mm].
>  
> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} dx[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{z} * \frac{1}{e^x} dz[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{e^x}{z} dz[/mm]
>  
> Jetzt forme ich meine Substitution um: [mm]z = 1 + e^x \gdw z-1 = e^x[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{z-1}{z} dz[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{z}{z} - \frac{1}{z} dz[/mm]
>  
> [mm]= \int 1 - \frac{1}{z} dz[/mm]
>  
> [mm]= [ z - \ln(|z|) ][/mm]
>  
> Rücksubstitution liefert [mm]1 + e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].
>  
> Rauskommen soll allerdings nur [mm]e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].
>  
> Wo liegt mein Fehler?
>  
> Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren
> Konstante [mm]C_1[/mm] zusammenfassen?

Wie Angela schon sagte : Du hast  alles  richtig gemacht.

Merke: eine Stammfunktion  ist nur  bis  auf  eine  additive Konstante eindeutig  bestimmt.

Noch was :warum lässt denn keiner die Betragsstriche weg?? Es ist doch  [mm] 1+e^x [/mm] >0



>  
> Danke und VG,
>  Nadine


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]