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Intervalle abbilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 So 14.12.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Zeige die Äquivalenz:
f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] besitzt die Zwischenwerteigenschaft [mm] \gdw [/mm] für alle nicht leeren Intervalle I [mm] \subseteq \IR [/mm] ist [mm] f(I)\subseteq \IR [/mm] ein Intervall

Hallo zusammen,

=>
Seien s,t [mm] \in [/mm] f(I) mit s <t
ZZ.: [s,t] [mm] \subseteq [/mm] f(I)
Zunächst [mm] \exists i_1, i_2 \in [/mm] I: [mm] f(i_1)=s, f(i_2)=t [/mm]
[mm] f(i_1) [/mm] = s < [mm] t=f(i_2) [/mm]

Nach der Zwischenwerteigenschaft: [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [f(i_1),f(i_2)]: \exists x_0 \in [i_1, i_2]: f(x_0)=c [/mm]

Sei nun w [mm] \in [/mm] [s,t] dann folgt w [mm] \in [/mm] f(I) da [mm] \exists x_0 \in [i_1, i_2]: f(x_0)=c [/mm]

<=
Sei [a,b] [mm] \subseteq [/mm] I ein beliebiges aber festes Intervall, w [mm] \in [/mm] [f(a), f(b)]
ZZ.: w [mm] \in [/mm] f([a,b]) d.h. [mm] \exists x_0 \in [/mm] [a,b]: [mm] f(x_0)=w [/mm]

Hier stecke ich, hat wer einen Tipp?
Würde mich sehr freuen,
LG,
sissi

        
Bezug
Intervalle abbilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 So 14.12.2014
Autor: hippias


> Zeige die Äquivalenz:
>  f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] besitzt die Zwischenwerteigenschaft [mm]\gdw[/mm]

> für alle nicht leeren Intervalle I [mm]\subseteq \IR[/mm] ist
> [mm]f(I)\subseteq \IR[/mm] ein Intervall
>  Hallo zusammen,
>  
> =>
>  Seien s,t [mm]\in[/mm] f(I) mit s <t
>  ZZ.: [s,t] [mm]\subseteq[/mm] f(I)
>  Zunächst [mm]\exists i_1, i_2 \in[/mm] I: [mm]f(i_1)=s, f(i_2)=t[/mm]
>  
> [mm]f(i_1)[/mm] = s < [mm]t=f(i_2)[/mm]
>  
> Nach der Zwischenwerteigenschaft: [mm]\forall[/mm] c [mm]\in [f(i_1),f(i_2)]: \exists x_0 \in [i_1, i_2]: f(x_0)=c[/mm]
>  
> Sei nun w [mm]\in[/mm] [s,t] dann folgt w [mm]\in[/mm] f(I) da [mm]\exists x_0 \in [i_1, i_2]: f(x_0)=c[/mm]

[mm] $f(x_0)=w$, [/mm] statt [mm] $f(x_0)=c$. [/mm] Sonst ist das in Ordnung.

>  
> <=
>  Sei [a,b] [mm]\subseteq[/mm] I ein beliebiges aber festes
> Intervall, w [mm]\in[/mm] [f(a), f(b)]
>  ZZ.: w [mm]\in[/mm] f([a,b]) d.h. [mm]\exists x_0 \in[/mm] [a,b]: [mm]f(x_0)=w[/mm]

Ich weiss nicht, was ihr genau unter Zwischenwerteigenschaft versteht, aber es duerfte so etwas sein wie: gilt [mm] $f(a)\leq w\leq [/mm] f(b)$, so existiert $x$ zwischen $a$ und $b$ mit $f(x)= w$.

Du solltest also vermutlich nicht mit einem beliebigen Intervall $I$ den Beweis beginnen, sondern mit [mm] $a,b\in \IR$ [/mm] und einem $w$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann sei $I:= [mm] [\min\{a,b\}, \max\{a,b\}]$. [/mm] Nach Vor. ist $f(I)$ ein Intervall $I'$ mit [mm] $f(a),w,f(b)\in [/mm] I'$.

Hilft Dir das schon weiter?  

>  
> Hier stecke ich, hat wer einen Tipp?
>  Würde mich sehr freuen,
>  LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
Intervalle abbilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 So 14.12.2014
Autor: sissile

Hallo,

Danke für deine Antwort!
Zwischenwerteigenschaft:
Sei I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall. f: I -> [mm] \mathbb{R} [/mm] hat die Zwischenwerteigenschaft auf I wenn zu jeden Intervall [a,b] $ [mm] \subseteq [/mm] I$ und zu jeden c zwischen f(a) und f(b)  =>  $ [mm] \exists x_0 \in [/mm] $ [a,b] mit $ [mm] f(x_0)=c [/mm] $

Sei nun $ I:= [mm] [\min\{a,b\}, \max\{a,b\}] [/mm] $ mit  w [mm] \in [f(\min\{a,b\}),f(\max\{a,b\}] [/mm]
Nach Voraussetzung ist f(I) ein Intervall I'.
Woher weiß du, dass w [mm] \in [/mm] I' , dass sollen wir doch gerade zeigen?

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Intervalle abbilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 So 14.12.2014
Autor: hippias

Nach Konstruktion enthaelt $I'$ die Zahlen $f(a)$ und $f(b)$. Da $I'$ ein Intervall ist, ist das Intervall [mm] $[\min\{f(a),f(b)\}, \max\{f(a),f(b)\}]$ [/mm] darin enthalten. Ferner war $w$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ gewaehlt...

Bezug
                                
Bezug
Intervalle abbilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 So 14.12.2014
Autor: sissile

Hallo hippias,
Danke, ist nun klar geworden!

Ich hätte noch eine Frage, die ich nur interessenshalber stelle: Besitzt f schon die Zwischenwerteigenschaft wenn nur für alle abgeschlossenen (oder offenen) Intervall I auch f(I) ein Intervall ist?

LG,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
Intervalle abbilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Mo 15.12.2014
Autor: hippias

Fuer mich sieht es so aus. Nur ob $f(I)$ offen, abgeschlossen o. ae. ist, kann ich nicht ohne weiteres sagen.

Bezug
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