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Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Mi 03.10.2012
Autor: lisa2802

Aufgabe
Sei  R:= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } \in \IC^{4x4} [/mm]

a) Bestimmen Sie das charakteristische POlynom und das Minimalpolynom von R
b) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von R und die zugehörige Basis von [mm] \IC^{4} [/mm]

Hallo,

Aufgabe a habe ich gelöst

chpol = [mm] \lambda^{4}-1 [/mm] = minpol

[mm] \lambda_{1}= [/mm] 1
[mm] \lambda_{2}= [/mm] -1
[mm] \lambda_{3}= [/mm] i
[mm] \lambda_{4}= [/mm] -i


Allerdings fällt mir die b sehr schwer. Ich verstehe das mit der Jordannormalform leider gar nicht und weiß auch nicht genau wie das mit der zugehörigen Basis geht. Ich wäre froh, wenn ihr mir helfen könntet und mir das eventuell erklären könntet.

Danke
lisa2802

        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Mi 03.10.2012
Autor: MathePower

Hallo lisa2802,

> Sei  R:= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } \in \IC^{4x4}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie das charakteristische POlynom und das
> Minimalpolynom von R
>  b) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von R und die
> zugehörige Basis von [mm]\IC^{4}[/mm]
>  Hallo,
>  
> Aufgabe a habe ich gelöst
>  
> chpol = [mm]\lambda^{4}-1[/mm] = minpol
>  
> [mm]\lambda_{1}=[/mm] 1
>  [mm]\lambda_{2}=[/mm] -1
>  [mm]\lambda_{3}=[/mm] i
>  [mm]\lambda_{4}=[/mm] -i
>  


[ok]


>
> Allerdings fällt mir die b sehr schwer. Ich verstehe das
> mit der Jordannormalform leider gar nicht und weiß auch
> nicht genau wie das mit der zugehörigen Basis geht. Ich
> wäre froh, wenn ihr mir helfen könntet und mir das
> eventuell erklären könntet.

>


Um eine Basis zu bestimmen, bestimmst Du zunächst den Kern
eines jeden Eigenwerts [mm]\lambda_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm]

Konkret bestimmst Du dann ein  eine nichttriviale Lösung von

[mm]\left(A-\lambda_{i}E_{4}\right)*\vec{x}=\vec{0}, \ i=1,2,3,4,\ x \in \IC^{4}[/mm]

,wobei [mm]E_{4}[/mm] die Einheitsmatrix ist.

Da es sich um 4 verschiedene Eigenwerte handelt,
ist die Jordan-Normalform besonders einfach. Es
handelt sich hierbei um eine Diagonalmatrix, auf deren
Diagonalen gerade die Eigenwerte stehen.


> Danke
>  lisa2802


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Mi 03.10.2012
Autor: lisa2802

ich bin gerade dabei die Eigenräume zu bestimmen. wobei [mm] E_{\lambda_{n}}=Ker(R-\lambda*I_{4}) [/mm]
[mm] E_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
[mm] E_{-1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1} [/mm]
[mm] E_{i} [/mm] = [mm] \vektor{i \\ i \\ i \\ i} [/mm]
[mm] E_{-i} [/mm] = [mm] \vektor{-i \\ 1 \\ i \\ -1} [/mm]

ist das so korrekt?


und J = [mm] \pmat{ 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & i & \\ & & & -i } [/mm]

und was steht auf den "freien Feldern"?



>
> Um eine Basis zu bestimmen, bestimmst Du zunächst den
> Kern
>  eines jeden Eigenwerts [mm]\lambda_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm]

habe ich ja oben gemacht aber  das ist doch dann schon die nichtriviale lösung? also sind die 4 eigenräume der eigenwerte meine Basis zu [mm] \IC^{4} [/mm] ???

>  
> Konkret bestimmst Du dann ein  eine nichttriviale Lösung
> von
>  
> [mm]\left(A-\lambda_{i}E_{4}\right)*\vec{x}=\vec{0}, \ i=1,2,3,4,\ x \in \IC^{4}[/mm]
>  
> ,wobei [mm]E_{4}[/mm] die Einheitsmatrix ist.
>  



Bezug
                        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Mi 03.10.2012
Autor: MathePower

Hallo lisa2802,

> ich bin gerade dabei die Eigenräume zu bestimmen. wobei
> [mm]E_{\lambda_{n}}=Ker(R-\lambda*I_{4})[/mm]
>  [mm]E_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>  [mm]E_{-1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>  
> [mm]E_{i}[/mm] = [mm]\vektor{i \\ i \\ i \\ i}[/mm]
>  [mm]E_{-i}[/mm] = [mm]\vektor{-i \\ 1 \\ i \\ -1}[/mm]
>  
> ist das so korrekt?
>  


Der Eigenvektor zum Eigenwert i stimmt nicht.


>
> und J = [mm]\pmat{ 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & i & \\ & & & -i }[/mm]
>  
> und was steht auf den "freien Feldern"?
>  


Nun, da alle Eigenwerte einfach vorkommen,
stehen auf den freien Feldern Nullen.


>
>
> >
> > Um eine Basis zu bestimmen, bestimmst Du zunächst den
> > Kern
>  >  eines jeden Eigenwerts [mm]\lambda_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm]
>  
> habe ich ja oben gemacht aber  das ist doch dann schon die
> nichtriviale lösung? also sind die 4 eigenräume der
> eigenwerte meine Basis zu [mm]\IC^{4}[/mm] ???


Sofern die 4 Eigenräume alle richtig berechnet wurden.


>  >  
> > Konkret bestimmst Du dann ein  eine nichttriviale Lösung
> > von
>  >  
> > [mm]\left(A-\lambda_{i}E_{4}\right)*\vec{x}=\vec{0}, \ i=1,2,3,4,\ x \in \IC^{4}[/mm]
>  
> >  

> > ,wobei [mm]E_{4}[/mm] die Einheitsmatrix ist.
>  >  
>

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
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Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Mi 03.10.2012
Autor: lisa2802

[mm] E_{i} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -i \\ -1 \\ i} [/mm]
doofer rechenfehler. Danke!

wie sieht die Jordanform aus wenn die Eigenwerte mehrfach vorkomen?

die Basis ist also einfach { [mm] E_{i}, E_{-i}, E_{1}, E_{-1} [/mm] } ?

Bezug
                                        
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Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Mi 03.10.2012
Autor: MathePower

Hallo lisa2802,

> [mm]E_{i}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -i \\ -1 \\ i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)




[ok]


>  doofer rechenfehler.
> Danke!
>  
> wie sieht die Jordanform aus wenn die Eigenwerte mehrfach
> vorkomen?


Das hängt davon ab, wie die Vektoren des betreffenden Eigenwertes
in der Transformationsmatrix angeordnet sind.

Die Transformationsmatrix besteht aus den ermittelnden Vektoren.


>  
> die Basis ist also einfach { [mm]E_{i}, E_{-i}, E_{1}, E_{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

> ?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Mi 03.10.2012
Autor: lisa2802

Aufgabe
Sei H eine komplexe 6x6 Matrix mit dem charakeristischen POlynom f [mm] =(x-2)^{4}*(x-3)^{2} [/mm] und dem Minimalpolynom p [mm] =(x-2)^{2}*(x-3).Finden [/mm] Sie eine Jordannormalform für H. Wie viele mögliche JNF gibt es in diesem Fall? Begründen sie Ihre Aussage.



danke erstmal.
[mm] J=SHS^{-1} [/mm]  ??? Und S besteht dann aus den EV?

J [mm] =\pmat{ 2 & & & & & \\ 0 & 2 & & & & \\ 0 & 0 & 2 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 2 & \\0 & 0 & 0 & 0 & 3 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3} [/mm]

richtig? aber was steht oben drüber? und woher weiß ich jetzt wie lang jeder block ist? weil das ist doch ausschlag geben dafür was in der oberen "hälfte" steht oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mi 03.10.2012
Autor: fred97

Das

"Die [mm] \lambda_j [/mm] sind dabei die Eigenwerte von A. Zu jedem Eigenwert [mm] \lambda_j [/mm] gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordanblöcke. Die geometrische Vielfachheit ist dabei die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert [mm] \lambda_j. [/mm] Die Gesamtdimension aller Jordanblöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d. h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom."

hab ich von hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mi 03.10.2012
Autor: lisa2802

Die Länge des Jordanblocks zu [mm] \lambda_{1} [/mm] = 2 ist 4.
Die Länge des Jordanblocks zu [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 ist 2. korrekt?

aber woher weiß ich was oben drüber steht? und inwiefern spielt die länge des Blocks eine Rolle? ich möchte das Thema verstehen. Deswegen bitte ich um Hilfe.

Bezug
                                                                        
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Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Mi 03.10.2012
Autor: MathePower

Hallo lisa2802,

> Die Länge des Jordanblocks zu [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2 ist 4.
>  Die Länge des Jordanblocks zu [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3 ist 2.
> korrekt?
>  


Das kommt darauf an, wie ihr "Jordanblock" definiert habt.


> aber woher weiß ich was oben drüber steht? und inwiefern
> spielt die länge des Blocks eine Rolle? ich möchte das
> Thema verstehen. Deswegen bitte ich um Hilfe.


Die Vielfachheit eines Eigenwertes im Minimalpolynom
gibt die Länge der  längsten Hauptvektorkette an.

Für den Eigenwert 2 ist die Länge der längsten Hauptvektorkette 2.
Für den Eigenwert 3 ist die Länge der längsten Hauptvektorkette 1.

Siehe auch: []Minimalpolynom


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
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Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:18 Do 04.10.2012
Autor: lisa2802

okay stimmt. hab mich vertan. habe auf das chpol geguckt.
für EW 2 ist die längste 2 also sind die verschieden möglichkeiten in dem fall  auf der diagonalen (2 2) (2) (2) oder (2 2) (2 2)? ginge auch? (2) (2) (2) (2) ?!
und bei dem EW 3 geht nur (3) (3) oder?
also :
[mm] \pmat{ (2 & & & & & \\ 0 & 2) & & & & \\ 0 & 0 & (2) & & & \\ 0 & 0 & 0 & (2) & \\0 & 0 & 0 & 0 & (3) & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (3)} [/mm]

[mm] \pmat{ (2 & & & & & \\ 0 & 2) & & & & \\ 0 & 0 & (2 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 2) & \\0 & 0 & 0 & 0 & (3) & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (3)} [/mm]

so als aufbau für mich " wie finde ich eine JNF?"
1. chpol bestimmen
2. minpol bestimmen . Die Vielfachheit der EW im minpol gibt die Länge des längsten Blocks an?
3. dim E = Anzahl der Kästchen in den einzelnen Blöcken
4. auf den Hauptdiagonalen stehen die EW

und weiter?

Danke !!!

Bezug
                                                                                        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Do 04.10.2012
Autor: ralpho

Ein Jordankästchen der Größe 2 zum EW 2 siehst so aus:
[mm]\begin{pmatrix} 2&1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} [/mm]
bzw zur Größe drei:
[mm]\begin{pmatrix} 2&1&0 \\ 0 & 2 &1 \\ 0&0&2 \end{pmatrix} [/mm]
Und so weiter. Also besteht ein Unterschied zwischen (2 2) und (2) (2)!

lg

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Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Do 04.10.2012
Autor: MathePower

Hallo lisa2802,

> okay stimmt. hab mich vertan. habe auf das chpol geguckt.
>  für EW 2 ist die längste 2 also sind die verschieden
> möglichkeiten in dem fall  auf der diagonalen (2 2) (2)
> (2) oder (2 2) (2 2)? ginge auch? (2) (2) (2) (2) ?!


Mit (2 2) meinst Du wohl eine Hauptvektorkette der Länge 2 zum Eigenwert 2
Analog (2), Hauptvektorketteder Länge 1 zum Eigenwert 2.

Wenn dem so ist,dann geht (2) (2) (2) (2) nicht.


>  und bei dem EW 3 geht nur (3) (3) oder?


Siehe oben.


> also :
>  [mm]\pmat{ (2 & & & & & \\ 0 & 2) & & & & \\ 0 & 0 & (2) & & & \\ 0 & 0 & 0 & (2) & \\0 & 0 & 0 & 0 & (3) & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (3)}[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ (2 & & & & & \\ 0 & 2) & & & & \\ 0 & 0 & (2 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 2) & \\0 & 0 & 0 & 0 & (3) & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (3)}[/mm]
>  
> so als aufbau für mich " wie finde ich eine JNF?"
>  1. chpol bestimmen
>  2. minpol bestimmen . Die Vielfachheit der EW im minpol
> gibt die Länge des längsten Blocks an?
>  3. dim E = Anzahl der Kästchen in den einzelnen Blöcken


Wenn E die Dimension des Kerns zu einem Eigenwert ist,
dann gibt dieser die Anzahl der Blöcke zu diesen Eugenwert an.


>  4. auf den Hauptdiagonalen stehen die EW
>  
> und weiter?
>
> Danke !!!


Gruss
MathePower

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