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| Aufgabe | Sei K [mm] \supset [/mm] k eine Körpererweiterung, x,y [mm] \in [/mm] K.
Zeigen Sie: x,y sind algebraisch über k [mm] \gdw [/mm] x + y, x * y algebraisch über k. |
Hallo!
Zu obiger Aufgabenstellung habe ich mir folgendes überlegt, habe aber das Gefühl, dass ich mir das alles ein bisschen zu einfach mache, also schaut doch mal bitte drüber...
bekannte Definition:
x [mm] \in [/mm] K heißt alg. über k [mm] \gdw \exists [/mm] f [mm] \in [/mm] k[X], f [mm] \not= [/mm] 0, so dass f(x)=0
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
x algebraisch über k [mm] \Rightarrow [/mm] nach Def. [mm] \exists [/mm] f mit f(x)=0
y ... mit f(y)=0
f(x) + f(y) = 0
ii ii
0 + 0 = 0
analog für Multiplikation
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
x + y algebraisch über k [mm] \Rightarrow
[/mm]
f(x+y) = 0 = f(x) + f(y)
ii ii
0 0 [mm] \Rightarrow [/mm] nach Def x, y algebraisch über k
Analog für Multiplikation
Dieses doppelte ii steht immer für ein normales =
Kann das alles so stimmen??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Du machst es Dir tatsächlich in vielerlei Hinsicht zu leicht:
1) Die algebraische Relation, die von x erfüllt wird muß nicht von y erfüllt werden.
2) [mm] f(x+y)\neq [/mm] f(x)+f(y) für nicht-lineare Polynome.
Ich sag mal was zu
$$
x,y [mm] \text{ algebraisch über } k\Rightarrow [/mm] x+y [mm] \text{ algebraisch über } [/mm] k.
$$
Betrachte den $k$-Untervektorraum [mm] V\subseteq [/mm] K, der von den Elementen
[mm] x^i y^j
[/mm]
für [mm] i,j=0,1,2,\ldots [/mm] erzeugt wird. Da x und y algebraisch sind, erfüllen sie Relationen der Form
$$
[mm] x^m=a_{m-1}x^{m-1}+\ldots
[/mm]
$$
bzw.
$$
[mm] y^n=b_{n-1}y^{n-1}+\ldots
[/mm]
$$
mit [mm] a_i,b_j\in [/mm] k. Deshalb ist für [mm] i\geq [/mm] m oder [mm] j\geq [/mm] n [mm] x^i{}y^j [/mm] eine $k$-lineare Kombination von Termen [mm] x^k y^l [/mm] mit [mm] 0\leq [/mm] k < m und [mm] 0\leq [/mm] l < n. D.h. die Dimension von V über k ist höchstens [mm] \dim(V)\leq [/mm] mn. Daher sind (mn+1) Elemente von V stets linear abhängig. Wenn man dies auf die Vektoren
1, (x+y), [mm] (x+y)^2,\ldots, (x+y)^{mn}
[/mm]
anwendet, findet man [mm] c_i\in [/mm] k, [mm] 0\leq i\leq [/mm] mn mit
[mm] \sum_{i=0}^{mn} c_i(x+y)^i=0
[/mm]
und einem [mm] c_{i-0}\neq [/mm] 0. Fertig.
Die Algebraiziät von xy zeigt man genauso, d.h. [mm] "\Rightarrow" [/mm] ist fertig.
Volker
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Oh, wow!
Also ich wäre wohl auf vieles gekommen, nur nicht auf das... Werd mir das ganze nochmal durchn Kopf gehen lassen und dann die andere Richtung versuchen zu Zeigen..
Vielen Dank
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