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Kommutatorgruppe, Faktorgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:33 Mi 20.07.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Es sei $G$ eine Gruppe. Wir bezeichnen die von [mm] $\{ghg^{-1}h^{-1}|g,h\in G\}$ [/mm] erzeugte Untegruppe von $G$ als die Kommutatoruntergruppe von $G$ und schreiben $[G,G]$.

a) $[G,G]$ ist ein Normalteiler von $G$.

b) $G/[G,G]$ ist abelsch.

c) Es sei [mm] $\pi: G\to [/mm] G/[G,G]$ die kanonische Projektion und [mm] $\varphi: G\to [/mm] A$ ein Homomorphismus in eine abelsche Gruppe $A$. Man zeige, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus [mm] $\overline{\varphi} [/mm] gibt, mit [mm] $\varphi=\overline{\varphi}\circ\pi$. [/mm]

Hallo,

ich würde mich freuen, wenn jemand meine Lösungen zu den jeweiligen Aufgabenteilen korrigieren könnte. Insbesondere Aufgabenteil c).

zu a):

Es ist zu zeigen, dass für alle [mm] $g\in [/mm] G$

[mm] $g^{-1}[G,G]g\subseteq [/mm] [G,G]$ gilt.

Sei also [mm] $g\in [/mm] G$ beliebig und [mm] $[x,y]\in [/mm] [G,G]$ beliebig.
Dann ist [mm] $g^{-1}[x,y]g=g^{-1}xyx^{-1}y^{-1}g=g^{-1}xy(g^{-1}g)x^{-1}y^{-1}g=[g^{-1}x,yg]$ [/mm]

Also ist $[G,G]$ ein Normalteiler.

zu b):

Zu erstmal ist $G/[G,G]$ wohldefiniert, da $[G,G]$ ein Normalteiler ist.
Es ist zu zeigen, dass für alle [mm] $[g],[h]\in [/mm] G/[G,G]$ gilt: $[g][h]=[h][g]$

Es ist [mm] $[g][h][g^{-1}][h^{-1}]=[ghg^{-1}h^{-1}]=[\underbrace{[g,h]}_{\in[G,G]}]=[e]\Rightarrow [/mm] [g][h]=[h][g]$

zu c):

Wir haben folgenden Satz in der Vorlesung, den man hier wohl anwenden kann:

Sei [mm] $f:G\to [/mm] H$ irgendein vorgegebener Homomorphismus mit der Eigenschaft, dass [mm] $N\subseteq [/mm] kern(f)$. Dann existiert genau ein Homomorphismus [mm] $\overline{f}: G/N\to [/mm] H$ so, dass [mm] $f=\overline{f}\circ [/mm] pr$, wobei $pr$ die kanonische Projektion [mm] $pr:G\to [/mm] G/N$ mit [mm] $g\mapsto [/mm] gN$ ist.

Nach diesem Satz reicht es also zu zeigen, dass [mm] $[G,G]\subseteq kern(\varphi)$ [/mm] gilt.

Sei also [mm] $[g,h]\in [/mm] [G,G]$ beliebig. Dann ist

[mm] $\varphi(ghg^{-1}h^{-1})=\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g)^{-1}\varphi(h)^{-1}$, [/mm] da [mm] $\varphi$ [/mm] ein Homomorphismus ist.

Da $A$ abelsch ist, gilt [mm] $\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g)^{-1}\varphi(h)^{-1}=e$, [/mm] was zu zeigen war.


Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Kommutatorgruppe, Faktorgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mi 20.07.2016
Autor: hippias


> Es sei [mm]G[/mm] eine Gruppe. Wir bezeichnen die von
> [mm]\{ghg^{-1}h^{-1}|g,h\in G\}[/mm] erzeugte Untegruppe von [mm]G[/mm] als
> die Kommutatoruntergruppe von [mm]G[/mm] und schreiben [mm][G,G][/mm].
>  
> a) [mm][G,G][/mm] ist ein Normalteiler von [mm]G[/mm].
>  
> b) [mm]G/[G,G][/mm] ist abelsch.
>  
> c) Es sei [mm]$\pi: G\to[/mm] G/[G,G]$ die kanonische Projektion und
> [mm]$\varphi: G\to[/mm] A$ ein Homomorphismus in eine abelsche
> Gruppe $A$. Man zeige, dass es genau einen
> Gruppenhomomorphismus [mm]$\overline{\varphi}[/mm] gibt, mit
> [mm]$\varphi=\overline{\varphi}\circ\pi$.[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich würde mich freuen, wenn jemand meine Lösungen zu den
> jeweiligen Aufgabenteilen korrigieren könnte. Insbesondere
> Aufgabenteil c).
>  
> zu a):
>  
> Es ist zu zeigen, dass für alle [mm]g\in G[/mm]
>  
> [mm]g^{-1}[G,G]g\subseteq [G,G][/mm] gilt.

Es sind eigentlich $2$ Dinge zu überprüfen: 1. das, was Du machst 2. $[G,G]$ ist überhaupt eine Untergruppe; dies ist aber trivial (?)

>  
> Sei also [mm]g\in G[/mm] beliebig und [mm][x,y]\in [G,G][/mm] beliebig.

Achtung: eine beliebiges Element von $[G,G]$ ist nicht von der Gestalt $[x,y]$! Warum genügt es aber trotzdem, sich auf diesen Fall zu beschränken?

>  Dann ist
> [mm]g^{-1}[x,y]g=g^{-1}xyx^{-1}y^{-1}g=g^{-1}xy(g^{-1}g)x^{-1}y^{-1}g=[g^{-1}x,yg][/mm]
>  

Die letze Gleichheit ist falsch. Die Idee ist aber zielführend.

> Also ist [mm][G,G][/mm] ein Normalteiler.
>  
> zu b):
>  
> Zu erstmal ist [mm]G/[G,G][/mm] wohldefiniert, da [mm][G,G][/mm] ein
> Normalteiler ist.
>  Es ist zu zeigen, dass für alle [mm][g],[h]\in G/[G,G][/mm] gilt:
> [mm][g][h]=[h][g][/mm]
>  
> Es ist
> [mm][g][h][g^{-1}][h^{-1}]=[ghg^{-1}h^{-1}]=[\underbrace{[g,h]}_{\in[G,G]}]=[e]\Rightarrow [g][h]=[h][g][/mm]
>  

In Ordnung.

> zu c):
>  
> Wir haben folgenden Satz in der Vorlesung, den man hier
> wohl anwenden kann:
>  
> Sei [mm]f:G\to H[/mm] irgendein vorgegebener Homomorphismus mit der
> Eigenschaft, dass [mm]N\subseteq kern(f)[/mm]. Dann existiert genau
> ein Homomorphismus [mm]\overline{f}: G/N\to H[/mm] so, dass
> [mm]f=\overline{f}\circ pr[/mm], wobei [mm]pr[/mm] die kanonische Projektion
> [mm]pr:G\to G/N[/mm] mit [mm]g\mapsto gN[/mm] ist.
>  
> Nach diesem Satz reicht es also zu zeigen, dass
> [mm][G,G]\subseteq kern(\varphi)[/mm] gilt.
>  
> Sei also [mm][g,h]\in [G,G][/mm] beliebig.

Siehe oben.

> Dann ist
>  
> [mm]\varphi(ghg^{-1}h^{-1})=\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g)^{-1}\varphi(h)^{-1}[/mm],
> da [mm]\varphi[/mm] ein Homomorphismus ist.
>  
> Da [mm]A[/mm] abelsch ist, gilt
> [mm]\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g)^{-1}\varphi(h)^{-1}=e[/mm], was
> zu zeigen war.

In Ordnung.

>  
>
> Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Kommutatorgruppe, Faktorgruppe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:38 Mi 20.07.2016
Autor: impliziteFunktion


> 2. $ [G,G] $ ist überhaupt eine Untergruppe; dies ist aber trivial (?)

In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass es sich um eine Untergruppe handelt, daher habe ich das nicht nachgerechnet.

> Achtung: eine beliebiges Element von $ [G,G] $ ist nicht von der Gestalt $ [x,y] $! Warum genügt es aber trotzdem, sich auf diesen Fall zu beschränken?

Das müsste daran liegen, dass [mm] $ghg^{-1}h^{-1}=[g,h]$ [/mm] ein Erzeuger von $[G,G]$

> Die letze Gleichheit ist falsch. Die Idee ist aber zielführend.

In der letzten Gleichheit sollte es [mm] $[g^{-1}x, yg^{-1}]$ [/mm] heißen.
Damit ist es hoffentlich korrigiert.



Bezug
                        
Bezug
Kommutatorgruppe, Faktorgruppe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Fr 22.07.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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