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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz /Divergenz
Konvergenz /Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz /Divergenz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Di 04.12.2018
Autor: studiseb

Aufgabe
Testen Sie [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1}) [/mm] auf Konvergenz/Divergenz.

Liebes Forum, mir fehlt bei dieser Aufgabe noch die richtige Begründung und ich würde mich freuen wenn ihr mir da weiter helfen könntet. DANKE!

Ich habe [mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1}) [/mm] umgeformt zu [mm] -2\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k^2-1}) [/mm] aber wie muss ich jetzt weiter machen?

LG

        
Bezug
Konvergenz /Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Di 04.12.2018
Autor: fred97


> Testen Sie
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1})[/mm] auf
> Konvergenz/Divergenz.
>  Liebes Forum, mir fehlt bei dieser Aufgabe noch die
> richtige Begründung und ich würde mich freuen wenn ihr
> mir da weiter helfen könntet. DANKE!
>  
> Ich habe
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1})[/mm]
> umgeformt zu [mm]-2\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k^2-1})[/mm] aber
> wie muss ich jetzt weiter machen?
>  
> LG

  

Für n [mm] \ge [/mm] 2 sei $ [mm] s_n:= \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k-1}) [/mm] $


Schreibe s_ n in der Form

[mm] $s_n= \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k})+ \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k-1})$ [/mm]

Die beiden Summen rechts sind Teleskopsummen ! Die kannst Du ausrechnen, dann solltest Du sehen, dass [mm] (s_n) [/mm] konvergiert.

Bezug
                
Bezug
Konvergenz /Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:24 Mi 05.12.2018
Autor: studiseb

Guten Morgen und vielen Dank für den Tipp mit den Teleskopsummen.

Ich habe dann wie folgt weiter gemacht:
[mm] ...\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1})+\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1})=-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n+1}+-1+\bruch{1}{n}=-1,5+\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{n}=-1,5 [/mm] (wenn n [mm] \to \infty) [/mm]

Somit exisiterit ein Grenzwert bei -1,5 und wir haben Konvergenz.
Kann ich das so machen?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz /Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Mi 05.12.2018
Autor: fred97


> Guten Morgen und vielen Dank für den Tipp mit den
> Teleskopsummen.
>  
> Ich habe dann wie folgt weiter gemacht:
>  
> [mm]...\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1})+\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1})=-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n+1}+-1+\bruch{1}{n}=-1,5+\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{n}=-1,5[/mm]
> (wenn n [mm]\to \infty)[/mm]


Der Ausdruck ganz links ist natürlich falsch. Richtig ist



$  [mm] \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k})+ \summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k-1}) [/mm] $.

Und ganz am Ende ist

[mm] -1,5+\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{n}=-1,5 [/mm]

auch nicht korrekt. Korrekt ist

[mm] -1,5+\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{n} \to [/mm] -1,5 für n [mm] \to \infty. [/mm]


>  
> Somit exisiterit ein Grenzwert bei -1,5 und wir haben
> Konvergenz.
>  Kann ich das so machen?

Ja, wenn Du die nötigen Korrekturen anbringst.

>  
> Viele Grüße


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz /Divergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 Mi 05.12.2018
Autor: studiseb

Vielen Dank und den linken Ausdruck hab ich wohl falsch kopiert :-) Sorry! Aber jetzt ist alles klar. DANKE nochmals!

Bezug
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