Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tamilboy |
| Aufgabe | Berechnen sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreiehn.
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}x^{2n} [/mm] |
Für den Konvergenzradius betrachtet man ja nur das [mm] a_n, [/mm] also nur n! durch [mm] n^n [/mm] . Da aber ein x^2n da hinter steht, verwende ich doch die Formel von Cauchy-Hadamard nur etwas abgewandelt oder? Also 1/2n-te wurzel aus [mm] |a_n|. [/mm] Ich habe da als Lösung raus 2n-te wurzel aus n! / wurzel n. Kann man das noch weiter vereinfachen? Oder reicht das alls Lösung raus? Andere Kollegen haben da etwas mit e raus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen sie die Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreiehn.
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}x^{2n}[/mm]
> Für den
> Konvergenzradius betrachtet man ja nur das [mm]a_n,[/mm] also nur n!
> durch [mm]n^n[/mm] . Da aber ein x^2n da hinter steht, verwende ich
> doch die Formel von Cauchy-Hadamard nur etwas abgewandelt
> oder? Also 1/2n-te wurzel aus [mm]|a_n|.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du müßtest die $2\,$n-te Wurzel bei der Formel schreiben, nicht die $1/2\,$n-te.
> Ich habe da als
> Lösung raus 2n-te wurzel aus n! / wurzel n.
Das ist doch nicht die Lösung, sondern Du musst da doch noch $n \to \infty$
laufen lassen (und dann nach der Existenz bzw. dem Wert etwa eines
entsprechenden Limsup gucken...).
> Kann man das
> noch weiter vereinfachen? Oder reicht das alls Lösung
> raus? Andere Kollegen haben da etwas mit e raus.
Wir können es mal ganz sauber machen - bei einem Weg 'erkläre ich nur
den Ansatz', den anderen machen wir ausführlicher:
1. Weg (nur mit Ansatz):
Die Potenzreihe
$$\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}x^{2n}$$
kannst Du auch als
$$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$
schreiben, wobei Du definierst
$$a_k:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \frac{n!}{n^n}, & \mbox{für } k=2n \text{ mit einem }n \in \IN_0} \end{cases}\,.$$
Mit $r=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}}$ (was hier nicht direkt geht, ist $r=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} |a_{k+1}/a_k|}$ - warum
ich das erwähne? Nunja: siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Wiki, zur Erinnerung (klick!))
kannst Du nun 'versuchen, zu arbeiten...'
2. Weg:
Substituiert man [mm] $y:=x^2\,,$ [/mm] so folgt [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}x^{2n}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}y^{n}\,.$
[/mm]
Mit Wiki, s.o. (klick!) berechnet man nun einfach
den Konvergenzradius der Potenzreihe in [mm] $y\,:$
[/mm]
Aus [mm] $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\;/\;\frac{n!}{n^n}\right)=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!*(n+1)}{n!}*\frac{n^n}{(n+1)*(n+1)^n}\right)=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=1/e\,$
[/mm]
folgt also, dass die Potenzreihe in [mm] $y\,$ [/mm] konvergiert für alle [mm] $y\,$ [/mm] mit
$|y| < [mm] 1/(1/e)=e\,,$ [/mm] und dass sie divergiert für alle [mm] $y\,$ [/mm] mit $|y| > [mm] 1/(1/e)=e\,.$
[/mm]
Nun bedenke, dass [mm] $x^2=y\,$ [/mm] ist und dass [mm] $|x^2|=|x|^2$ [/mm] gilt: Die Potenzreihe
in [mm] $x\,$ [/mm] ist also konvergent für alle $x$ mit [mm] $|x^2|=|x|^2 [/mm] < [mm] e\,,$ [/mm] und
sie ist divergent für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x^2|=|x|^2 [/mm] > [mm] e\,.$
[/mm]
Nun gilt
[mm] $$|x|^2\;\; \substack{>\\<}\;\; [/mm] e [mm] \gdw |x|\;\; \substack{>\\<}\;\;\sqrt{e}\,.$$
[/mm]
Also: Welchen Konvergenzradius hat die Potenzreihe in [mm] $x\,$ [/mm] demnach?
(P.S. Allgemein gilt, und das kannst Du Dir ja mal überlegen: Hat die
Potenzreihe
[mm] $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k*(x-x_0)^k$$
[/mm]
den Konvergenzradius $R [mm] \in [0,\infty]\,,$ [/mm] so hat für jedes beliebige, aber
feste $N [mm] \in \IN$ [/mm] die Potenzreihe [mm] $g(x)=g_{f,N}(x)$ [/mm] mit
[mm] $$g(x):=\sum_{k=0}^\infty a_k*(x-x_0)^{N*k}$$
[/mm]
den Konvergenzradius [mm] $R^{1/N}=\sqrt[N]{R}\,$; [/mm] hierbei setzen wir insbesondere [mm] $\sqrt[N]{\infty}:=\infty^{1/N}:=\infty$ [/mm] fest!
Oben wäre übrigens [mm] $N=2\,$ [/mm] und es ist bekanntlich [mm] $\sqrt[2]{R}=\sqrt{R}$ [/mm] für alle $R [mm] \ge 0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:44 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tamilboy |
AH okay Vielen Dank. Den 1. Weg verstehe ich nicht ganz, aber der 2. Weg ist der, den ich auch benutzt habe nur bin ich nicht auf soweit mit dem umformen gekommen das es 1/e ist. Dazu fehlte mir das einfache wissen, das n! auch als n-1!*n aufgeschrieben werden kann, damit ich es wegkürzen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> AH okay Vielen Dank. Den 1. Weg verstehe ich nicht ganz,
was verstehst Du daran nicht ganz? Prinzipiell benutze ich einfach
folgende Aussage, die Du Dir klar machen solltest:
Die Reihen $\sum_{k=0}^\infty a_k$ und $\sum_{m=0}^\infty b_m\,,$ wobei $b_m$ definiert seien durch
$$b_m:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } m \mbox{ ungerade} \\ a_k, & \mbox{für } m=2k \mbox{ mit einem }k \in \IN_0 \end{cases}$$
haben das gleiche Konvergenzverhalten (warum?) - d.h. genau dann,
wenn $\sum_{k=0}^\infty a_k$ konvergiert, konvergiert auch $\sum_{k=0}^\infty b_k\,.$ Im Falle der Konvergenz einer der beiden Reihen (damit konvergieren ja schon beide) gilt zudem die Gleichheit der Reihenwerte (dies benutze ich beim ersten Weg insbesondere auch!).
"Anschaulich" sieht man das eigentlich direkt ein:
Man schreibt ja 'verkürzend' einfach
$$\sum_{k=0}^\infty a_k=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+\ldots$$
und entsprechend
$$\sum_{k=0}^\infty b_k=b_0+b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+\ldots=a_0+0+a_1+0+a_2+0+a_3+0+a_4+0+a_5+0+a_6+0+\ldots$$
Inhaltlich steht da aber dennoch eine nicht ganz triviale Aussage:
Schließlich ist die Folge der Teilsummen bei $\sum_{k=0}^\infty a_k$ eine
andere wie die Folge der Teilsummen bei $\sum_{k=0}^\infty b_k\,.$
> aber der 2. Weg ist der, den ich auch benutzt habe nur bin
> ich nicht auf soweit mit dem umformen gekommen das es 1/e
> ist. Dazu fehlte mir das einfache wissen, das n! auch als
> n-1!*n aufgeschrieben werden kann
Man würde $n-1!*n$ lesen als $n-(1!)*n\,.$ Setze also Klammern:
$$n!=(n-1)!*n\,.$$
> , damit ich es wegkürzen
> kann.
Wie habt ihr denn die Fakultät definiert? Über das Produktzeichen? Und
na gut: Gemäß der Definition eines Produktes mit dem Produktzeichen
gilt dann für $N \in \IN$
$$(\*)\;\;\;\produkt_{k=1}^{N+1} a_k=(\produkt_{k=1}^N a_k)*a_{N+1}\,,$$
analog zum Summenzeichen, wo gilt
$$\summe_{k=1}^{N+1} a_k=(\summe_{k=1}^N a_k)+a_{N+1}\,.$$
Und es ist halt etwa per Definitionem
$$n!:=\produkt_{k=1}^n k\,.$$
und $0!:=1\,.$
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Aber um den ersten Weg dann dennoch mal zu Ende zu führen:
> Die Potenzreihe
> $ \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}x^{2n} $
> kannst Du auch als
> $ \sum_{k=0}^\infty a_k x^k $
> schreiben, wobei Du definierst
> $ a_k:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \frac{n!}{n^n}, & \mbox{für } k=2n \text{ mit einem }n \in \IN_0} \end{cases}\,. $
Das ganze, wie gesagt, 'plausibel gemacht' durch:
$$\sum_{k=0}^\infty \frac{n!}{n^n}*x^{2n}=\frac{0!}{0^0}*x^0+\frac{1!}{1^1}*x^2+\frac{2!}{2^2}*x^4+\frac{3!}{3^3}*x^6+\ldots\;\red{=}\;\frac{0!}{0^0}*x^0+0*x^1+\frac{1!}{1^1}*x^2+0*x^3+\frac{2!}{2^2}*x^4+0*x^5+\frac{3!}{3^3}*x^6+0*x^7+\ldots$$
Um damit weiter arbeiten zu können, berechnen wir $\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}$:
$$\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}\;\;\;\stackrel{\text{wegen der Def. der }a_k}{=}\;\;\;\limsup_{k=2n \to \infty} \sqrt[2n]{|a_{k}|}\;\;\;\stackrel{\text{wieder wegen der Def. der }a_k}{=}\;\;\;\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{\frac{n!}{n^n}}=\sqrt{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}}$$
Sieht nun nicht schön aus - denn woher weiß ich, dass ich so rechnen darf:
Ich muss ja etwa wissen, dass $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$ existiert: Das weiß ich auch. Ich habe mir nämlich mal
Bemerkung 6.20 angeschaut, und damit (siehe auch Satz 5.21 2.Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) gesehen:
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\limsup_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} / \frac{n!}{n^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} / \frac{n!}{n^n}=\ldots=1/e\,,$$
so dass
$$\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\sqrt{1/e}$$
folgt und damit der Konvergenzradius der Potenzreihe eben $\sqrt{e}$
ist.
Bemerkung: Bei meiner anderen Antwort hatte ich vergessen,
den Kehrwert von $\limsup ...$ zu bilden. Ich habe das nun auch dort
korrigiert!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tamilboy |
Deine ausführliche erklärung hat mir sehr geholfen. Denn noch verwirt mich der letzte Satz, das der KR r= [mm] \wurzel{e} [/mm] sei, wen aber r= [mm] \bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel|a_n|} [/mm] ist. Also demnach r= [mm] \wurzel{1/e}. [/mm] Warum dann aber den Kehrwert?
//EDIT
Hab es gesehen ^^ r= [mm] 1/\wurzel{1/e} [/mm] weil nur [mm] \wurzel{1/e} [/mm] ja eben nur [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel|a_n|
[/mm]
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Deine ausführliche erklärung hat mir sehr geholfen. Denn
> noch verwirt mich der letzte Satz, das der KR r= [mm]\wurzel{e}[/mm]
> sei, wen aber r= [mm]\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel|a_n|}[/mm]
> ist. Also demnach r= [mm]\wurzel{1/e}.[/mm] Warum dann aber den
> Kehrwert?
>
> //EDIT
> Hab es gesehen ^^ r= [mm]1/\wurzel{1/e}[/mm] weil nur [mm]\wurzel{1/e}[/mm]
> ja eben nur [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel|a_n|[/mm]
genau - aber die Verwirrung war ich ja selbst Schuld - ich hatte da
anfangs vergessen, drauf zu achten!
> Vielen Dank
Gerne! 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 So 16.12.2012 | | Autor: | tamilboy |
Fragen die hierraus weiter aufbauen, kann ich die einfach hier weiter stellen oder muss ich dafür ein neuen Beitrag machen?
Frage:
Kann ich eigentlich auch weiterhin substituieren, wen sich die Potenz x ändert?
Meine nächste Aufgabe wäre nämlich
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{8^n+5}x^{3n+2}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 So 16.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Fragen die hierraus weiter aufbauen, kann ich die einfach
> hier weiter stellen oder muss ich dafür ein neuen Beitrag
> machen?
Im allgemeinen ist es übersichtlicher, für jede Frage einen neuen thread aufzumachen. Lange Diskussionen schrecken eher ab, weil sie schnell unübersichtlich werden.
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> Frage:
>
> Kann ich eigentlich auch weiterhin substituieren, wen sich
> die Potenz x ändert?
>
> Meine nächste Aufgabe wäre nämlich
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{8^n+5}x^{3n+2}[/mm]
Ja. Setze [mm] $y=x^{3}$. [/mm] Hier bietet sich allerdngs die Wurzelformel an, da $n$ im Exponenten [mm] vorkommt($8^n$), [/mm] und da wäre eine vorherige Substitution nicht sinnvoll. Wir substituieren nämlich nur, um zu einer Potenzreihe zu kommen, deren Koeffizienten nicht verschwinden. Dann und nur dann können wir die Quotientenformel anwenden.
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Fragen die hierraus weiter aufbauen, kann ich die einfach
> hier weiter stellen oder muss ich dafür ein neuen Beitrag
> machen?
eigentlich ist's relativ klar: Fragen konkret passend zu der Aufgabe hier
werden hier gestellt, neue Fragen mit neuer Aufgabe -> neuer Thread!
> Frage:
>
> Kann ich eigentlich auch weiterhin substituieren, wen sich
> die Potenz x ändert?
>
> Meine nächste Aufgabe wäre nämlich
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{8^n+5}x^{3n+2}[/mm]
Trotzdem mal kurz dazu:
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{8^n+5}x^{3n+2}=x^2*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{8^n+5}x^{3n}$$
[/mm]
und nun kannst Du [mm] $y:=x^3\,$ [/mm] substituieren.
Nach der Substitution kannst Du eigentlich sowohl mit dem Limsup der
n-ten Wurzel arbeiten, oder aber mit der Quotientenformel:
Es ist
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)^3}{8^{n+1}+5}*\frac{8^n+5}{n^3}\right)=\lim_{n \to \infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^3*\frac{1+5/8^n}{8+5/8^n}\right)=...?\,,$$
[/mm]
(das ? sollst Du natürlich ergänzen!) der Kehrwert davon ist also der
Konvergenzradius der Potenzreihe in [mm] $y\,.$ [/mm] Den der Ausgangsreihe
berechnest Du dann nochmal selbst!
P.S. Wenn Du den Konvergenzradius mit [mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
berechnen willst: Beachte, dass [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ und damit folgt auch
[mm] $\sqrt[n]{n^3}=(\sqrt[n]{n})^3 \to 1^3=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 16.12.2012 | | Autor: | tamilboy |
könntest du mir $ [mm] \limsup_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)^3}{8^{n+1}+5}\cdot{}\frac{8^n+5}{n^3}\right)=\lim_{n \to \infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\cdot{}\frac{1+5/8^n}{8+5/8^n}\right)\,, [/mm] $
den schritt ausführlicher erklären?
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