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| Aufgabe | 1. Gegeben ist ein Ursprungskreis mit r= 5 cm. Vom Punkt P(7;1), welcher nicht Punkt des Kreises ist, werden Tangenten an den Kreis gelegt.
a) --> Gleichungen der Tangenten
b) --> Koordinaten der Berührungspunkte
2. Gesucht ist der Kreis k. Gegeben ist dessen Mittelpunkt M(0;0) und die Gerade g: 7x + 24y = 100
Welcher Kreis mit dem Mittelpunkt M(15;5) berührt die Gerade g?
3. Durch die Eckpunkte des Dreiecks [mm] \Delta [/mm] ABC ist der Kreis k eindeutig bestimmt.
A(2;2)
B(3;-5)
C(-1;-7)
Gesucht sind der Mittelpunkt des Kreises M(c;d), der Radius r und die Kreisgleichung.
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Habe große Probleme mit der Problematik Kreis an sich, deswegen bräuchte ich mal ausführliche Lösungswege.
1. Ich hab keine Idee, wie ich da überhaupt anfangen soll. Bei Tangenten schlatet mein Gehirn sowieso immer gleich ab... 
2. geg.: M(0;0)
g: 7x + 24y = 100
x² + y² = r²
Anstieg der Tangente [mm] m_{t} [/mm] = -7/24
--> [mm] m_{t} [/mm] habe ich mir auch abgeschrieben... für den Anstieg der Tangente muss ich das was vor dem x in der Geradengleichung steht einfach x(-1) nehmen und das dann durch den Wert vor y teilen, oder was? Gibt's da irgend eine Logik?
Anstieg der Normale [mm] m_{n} [/mm] = 24/7
--> wie ist hier die Logik?
g: y = -7/24 x + 25/6 y = 27/7 x ---> hääääää????
Naja, und weiter weiß ich leider nicht.
3. Gleichungssystem lösen:
I (2-c)² + (2-d)² = r²
II (3-c)² + (-5-d)² = r²
III (-1-c)² + (-7-d)² = r²
Ich denke mal, ich muss jetzt die Klammern auflösen, oder? Mach ich einfach mal:
I 4 - 4c + c² + 4 - 4d + d² = r²
II 9 - 6c + c² + 25 + 10d + d² = r²
III 1 + 2c + c² + 49 + 14d + d² = r²
________________________________________________________
I c² + d² - 4d - 4c + 8 = r² | + | +
II c² + d² + 10d - 6c + 34 = r² | x(-1) |
III c² + d² + 14d + 2c + 50 = r² | x(-1)
_______________________________________________________
I c² + d² - 4d - 4c + 8 = r²
II' - 14d + 2c - 26 = 0 | + 26
III' -18d - 6c - 42 = 0 | + 42
______________________________________
I c² + d² - 4d - 4c + 8 = r²
II' - 14d + 2c = 26 | x3 +
III' - 18d - 6c = 42 |
________________________________________
I -- "" --
II' - 14d + 2c = 26
III'' - 60d = 120
_______________________________________
I -- "" --
II' c = - 1
III'' d = - 2
in I eingesetzt ergibt das:
(-1)² + (-2)² - 4(-2) - 4(-1) + 8 = r²
1 + 4 + 8 + 4 + 8 = r²
25 = r²
r = 5 LE
Nun habe ich mir die Lösung der Kreisgleichung von jemandem abgeschrieben: (x+1)² + (y+2)² = 25
Das heißt, ich muss einfach nur die Formel (x-c)² + (y-d)² = r² nehmen und die ausgerechneten Parameter c und d dort einsetzen, und schon habe ich die Kreisgleichung, oder wie?
Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, was ich richtig gemacht habe und was total falsch ist. Und es wäre total lieb, wenn mir auch jemand bei 1. und 2. nen ausführlichen Lösungsweg geben könnte. Schreib nämlich morgen einen Test und möcht das unbedingt können! :-D
Ciao und danke im Voraus,
Katrin
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[mm] $\bffamily \text{Hi.}$
[/mm]
> 1. Gegeben ist ein Ursprungskreis mit r= 5 cm. Vom Punkt
> P(7;1), welcher nicht Punkt des Kreises ist, werden
> Tangenten an den Kreis gelegt.
>
> a) --> Gleichungen der Tangenten
> b) --> Koordinaten der Berührungspunkte
>
> 2. Gesucht ist der Kreis k. Gegeben ist dessen Mittelpunkt
> M(0;0) und die Gerade g: 7x + 24y = 100
>
> Welcher Kreis mit dem Mittelpunkt M(15;5) berührt die
> Gerade g?
>
> 3. Durch die Eckpunkte des Dreiecks [mm]\Delta[/mm] ABC ist der
> Kreis k eindeutig bestimmt.
>
> A(2;2)
> B(3;-5)
> C(-1;-7)
>
> Gesucht sind der Mittelpunkt des Kreises M(c;d), der Radius
> r und die Kreisgleichung.
>
>
> Habe große Probleme mit der Problematik Kreis an sich,
> deswegen bräuchte ich mal ausführliche Lösungswege.
>
> 1. Ich hab keine Idee, wie ich da überhaupt anfangen soll.
> Bei Tangenten schlatet mein Gehirn sowieso immer gleich
> ab...
[mm] $\bffamily \text{Du suchst eine (bzw. zwei, aber erst mal gehst du von einer aus) Gerade, die den Kreis berührt und durch den Punkt }P\text{geht.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{So müssen dessen Koordinaten folgende Gleichung erfüllen:}$
[/mm]
[mm] $\bffamily [/mm] h:t(x)=mx+n$
[mm] $\bffamily P\in G_{h}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \Rightarrow [/mm] 1=7m+n$
[mm] $\bffamily \text{Jetzt nach }n\text{umstellen.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily [/mm] 1-7m=n$
[mm] $\bffamily \text{Das wieder in die Ausgangsgleichung einsetzen.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily [/mm] t(x)=mx+1-7m$
[mm] $\bffamily \text{Vorliegend: ein Geradenbüschel.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Für ein (oder mehrere) }m\text{ ist (sind) eine (oder zwei) Gerade(n) Tangente(n) an den Kreis.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Also: Schnittpunkte in Abhängigkeit von }m\text{ berechnen.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \Rightarrow x^2+(mx+1-7m)^2=25 \gdw x^2+m^2x^2-14m^2x+49m^2+2mx-14m+1=25$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Das so vereinfachen, so dass du die }p\text{-}q\text{-Formel anwenden kannst. Dann erst mal melden, falls du nicht weiter weißt.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{(Hinweis: Die Diskriminante muss gleich 0 sein.)}$
[/mm]
>
> 2. geg.: M(0;0)
> g: 7x + 24y = 100
> x² + y² = r²
>
> Anstieg der Tangente [mm]m_{t}[/mm] = -7/24
> --> [mm]m_{t}[/mm] habe ich mir auch abgeschrieben... für den
> Anstieg der Tangente muss ich das was vor dem x in der
> Geradengleichung steht einfach x(-1) nehmen und das dann
> durch den Wert vor y teilen, oder was? Gibt's da irgend
> eine Logik?
[mm] $\bffamily \text{Ist richtig so. Die Geradengleichung lautet dann }y=-\bruch{7}{24}x+\bruch{100}{24}$
[/mm]
>
> Anstieg der Normale [mm]m_{n}[/mm] = 24/7
> --> wie ist hier die Logik?
>
[mm] $\bffamily \text{Weiß ich im Moment auch noch nicht.}$
[/mm]
> g: y = -7/24 x + 25/6 y = 27/7 x --->
> hääääää????
>
[mm] $\bffamily \text{Was das soll, weiß ich auch noch nicht.}$
[/mm]
> Naja, und weiter weiß ich leider nicht.
>
[mm] $\bffamily \text{Wieder so ähnlich wie gerade.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Gleichung des Kreises ist: }x^2+y^2=r^2$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Geradengleichung einsetzen und Schnittpunkte in Abhängigkeit von }r\text{.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \Rightarrow x^2+\left(-\bruch{7}{24}x+\bruch{100}{24}\right)^2=r^2$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Wieder dasselbe tun wie bei 1.}$
[/mm]
>
>
> 3. Gleichungssystem lösen:
>
> I (2-c)² + (2-d)² = r²
> II (3-c)² + (-5-d)² = r²
> III (-1-c)² + (-7-d)² = r²
>
> Ich denke mal, ich muss jetzt die Klammern auflösen, oder?
> Mach ich einfach mal:
>
> I 4 - 4c + c² + 4 - 4d + d² = r²
> II 9 - 6c + c² + 25 + 10d + d² = r²
> III 1 + 2c + c² + 49 + 14d + d² = r²
> ________________________________________________________
>
> I c² + d² - 4d - 4c + 8 = r² |
> + | +
> II c² + d² + 10d - 6c + 34 = r² | x(-1)
> |
> III c² + d² + 14d + 2c + 50 = r²
> | x(-1)
> _______________________________________________________
>
> I c² + d² - 4d - 4c + 8 = r²
> II' - 14d + 2c - 26 = 0 | + 26
> III' -18d - 6c - 42 = 0 | + 42
> ______________________________________
>
> I c² + d² - 4d - 4c + 8 = r²
> II' - 14d + 2c = 26 | x3
> +
> III' - 18d - 6c = 42 |
> ________________________________________
>
> I -- "" --
> II' - 14d + 2c = 26
> III'' - 60d = 120
> _______________________________________
>
> I -- "" --
> II' c = - 1
> III'' d = - 2
>
> in I eingesetzt ergibt das:
>
> (-1)² + (-2)² - 4(-2) - 4(-1) + 8 = r²
>
> 1 + 4 + 8 + 4 + 8 = r²
>
> 25 = r²
>
> r = 5 LE
>
> Nun habe ich mir die Lösung der Kreisgleichung von jemandem
> abgeschrieben: (x+1)² + (y+2)² = 25
>
> Das heißt, ich muss einfach nur die Formel (x-c)² + (y-d)²
> = r² nehmen und die ausgerechneten Parameter c und d dort
> einsetzen, und schon habe ich die Kreisgleichung, oder
> wie?
[mm] $\bffamily \text{Das ist völlig korrekt so.}[ok]$
[/mm]
>
> Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, was ich richtig
> gemacht habe und was total falsch ist. Und es wäre total
> lieb, wenn mir auch jemand bei 1. und 2. nen ausführlichen
> Lösungsweg geben könnte. Schreib nämlich morgen einen Test
> und möcht das unbedingt können! :-D
>
> Ciao und danke im Voraus,
> Katrin
[mm] $\bffamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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Bei 1. hast du mir gesagt, dass ich das so vereinfachen, soll, dass ich p-q-Formel anwenden kann. Ich weiß nicht, wie man das noch vereinfachen kann, da es ja verscheidene Werte sind, die man nicht zusammenfassen kann. Und wie lautet noch mal die p-q-Formel?
Danke,
Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mo 26.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Katrin
"vereinfachen" heisst hier alles, was zu [mm] x^2 [/mm] gehoert zusammenschreiben, genauso alles mit x und alles ganz ohne.
Dann hast du [mm] (....)*x^2+ [/mm] (...)*x+(......)=0
eine quadratische Gleichung fuer x. die musst du nach der Methode loesen, die du kennst.
dann kommt raus [mm] x=(...)\pm\wurzel{....}
[/mm]
da eine Tangente nur einen Schnittpunkt hat also nur ein x, muss das was unter der Wurzel steht 0 sein. Aber die Rechng ist ziemlich laenglich.
Zur 2. aufgabe die Logik:
Dass die Tangente senkrecht auf dem Radius steht ist klar!
Wenn dus also konstruieren statt rechnen wuerdest, willst du ne Senkrechte vom Mittelpunkt auf die Gerade faellen, dann hast du den Beruehrpkt.
zwei geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ist. Zeichne mal ne gerade mit 3/2 steigung , die Senkrechte dazu und lies die steigung ab, dann siehst dus auch fuer andere Werte ein. deshalb ist die Gerade mit der Steigung 24/7 senkrecht auf der mit -7/24.
Du willst die Senkrechte vom Mittelpunkt aus, also durch (0,0), also hat die Gerade der senkrechten die Gleichung y=24/7*x
Wenn du die mit der anderen geraden schneidest, hast du den Beruehrpkt.
3. Logik.
Kreis: alle Punkte auf dem Kreis haben vom Mittelpunkt denselben Abstand r. Wenn der Mittelpunkt (c,d) ist und x,y ein Pkt auf dem Kreis ist nach Pythagoras das Abstandsquadrat:
[mm] (x-c)^2+(y-c)^2 [/mm] und das muss [mm] r^2 [/mm] sein fuer alle Punkte auf dem Kreis.
Ich hoff, jetzt ist einiges logischer.
(die 1. aufgabe hat ne Menge Rechnerei, in nem Test kommen deshalb vielleicht einfachere. Und wenn du zeigst, dass du weisst, was du rechnen musst, gibt das meistens schon viele Punkte.
Gruss leduart
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