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Kurvendiskussion lnx/x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Mo 06.12.2010
Autor: celeste16

Aufgabe
Es sei [mm] f(x)=\bruch{lnx}{x} [/mm]
a) Man bestimmt die Monotonieintervalle von f
b) Man bestimme [mm] sup_{x>0}. [/mm] Wird das Supremum angenommen?
c) In welchen Bereichen ist f konvex bzw. konkav? Geben Sie die Wendepunkte von f an.

Ich rechne das jetzt mal nach besten Wissen und Gewissen:

Ich bilde also erstmal die 3 Ableitungen:
[mm] f'(x)=\bruch{1-lnx}{x^2} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{-2-3lnx}{x^3} [/mm]

[mm] f'''(x)=\bruch{6-12lnx}{x^3} [/mm]

a) für die Monotonieintervalle gilt: f'(x)>0-> monoton wachsend und f'(x)<0
Ich guck mir daher die Extrempunkte an:
[mm] f'(x)=0=\bruch{1-lnx}{x^2} \Rightarrow [/mm] 1=lnx [mm] \Rightarrow x=e^1 [/mm]
[mm] f''(e^1)=\bruch{-5}{e^3}<0 [/mm] -> Maximum bei [mm] e^1 [/mm]

jetzt guck ich mir ne willkürliche zahl aus dem Intervall drüber und drunter aus und guck ob die größer oder kleiner sind:
f'(1)=1>0 -> in  [mm] (0,e^1) [/mm] ist die Funktion monoton steigend
f'(3)=(3-ln3)/9<0 -> in [mm] (e^1,\infty) [/mm] ist die Funktion monoton fallend

b) hab ich ad hoc erstmal keinen einfall, vllt den grenzwert gegen unendlich bilden?

c) Wendepunkt:
[mm] f''(x)=\bruch{-2-3lnx}{x^3}=0 \Rightarrow [/mm] -2/3=lnx [mm] \Rightarrow x=e^{-\bruch{2}{3}} [/mm]
[mm] f'''(e^{-\bruch{2}{3}})\not=0 [/mm] -> Wendepunkt bei [mm] e^{-\bruch{2}{3}} [/mm]

bei konvex ist f''(x)>0, konkav f''(x)<0
teste ich also wieder einfach mal
f''(0,5)>0 -> in [mm] (0,e^{-\bruch{2}{3}}) [/mm] ist die Kurve konvex
f''(1)<0 -> in [mm] (e^{-\bruch{2}{3}}, \infty) [/mm] ist die Kurve konkav


Meinungen?


        
Bezug
Kurvendiskussion lnx/x: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Mo 06.12.2010
Autor: Loddar

Hallo celeste!


> Ich bilde also erstmal die 3 Ableitungen:
>  [mm]f'(x)=\bruch{1-lnx}{x^2}[/mm]

[ok]


> [mm]f''(x)=\bruch{-2-3lnx}{x^3}[/mm]

[notok] Im Zähler habe ich etwas anderes.


> [mm]f'''(x)=\bruch{6-12lnx}{x^3}[/mm]

[notok] Dann wohl Folgefehler.


> a) für die Monotonieintervalle gilt: f'(x)>0-> monoton
> wachsend und f'(x)<0

[ok]


>  Ich guck mir daher die Extrempunkte an:
>  [mm]f'(x)=0=\bruch{1-lnx}{x^2} \Rightarrow[/mm] 1=lnx [mm]\Rightarrow x=e^1[/mm]

[ok]


> [mm]f''(e^1)=\bruch{-5}{e^3}<0[/mm] -> Maximum bei [mm]e^1[/mm]

Prinzipiell okay (nochmals berechnen mit korrekter 2. Ableitung).


> jetzt guck ich mir ne willkürliche zahl aus dem Intervall
> drüber und drunter aus und guck ob die größer oder
> kleiner sind:
>  f'(1)=1>0 -> in  [mm](0,e^1)[/mm] ist die Funktion monoton

> steigend
>  f'(3)=(3-ln3)/9<0 -> in [mm](e^1,\infty)[/mm] ist die Funktion

> monoton fallend

[ok]


> b) hab ich ad hoc erstmal keinen einfall, vllt den
> grenzwert gegen unendlich bilden?

Das auch. Und dann vergleichen mit dem Funktionswert des relativenen Hochpunktes (siehe a.)


> c) Wendepunkt:
>  [mm]f''(x)=\bruch{-2-3lnx}{x^3}=0 \Rightarrow[/mm] -2/3=lnx
> [mm]\Rightarrow x=e^{-\bruch{2}{3}}[/mm]
>  
> [mm]f'''(e^{-\bruch{2}{3}})\not=0[/mm] -> Wendepunkt bei [mm]e^{-\bruch{2}{3}}[/mm]

[notok] Nochmals rechnen mit korrekter 2. Ableitung.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion lnx/x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Di 07.12.2010
Autor: celeste16

ich steh auf diese stückweise *thumbs up* bewertungen

[mm] f''(x)=\bruch{-3+2lnx}{x^3} [/mm]

[mm] f'''(x)=\bruch{11-6lnx}{x^4} [/mm]

Prüfe ob Maximum oder Minimum:
[mm] f''(e^1)<0 [/mm] -> Maximum bei [mm] e^1 [/mm]

Wendepunkte:
[mm] f'''(x)=\bruch{-3+2lnx}{x^3}=0 \Rightarrow lnx=\bruch{3}{2} [/mm] ; [mm] x=e^{\bruch{3}{2}} [/mm]

[mm] f'''(e^{\bruch{3}{2}}) \not= [/mm] 0 -> Wendepunkt bei [mm] (e^{\bruch{3}{2}} [/mm] , [mm] f(e^{\bruch{3}{2}})) [/mm]

Für die Konvexität suche ich mir 2 beliebige Werte aus den Intervallen:
[mm] f''(e^1)<0 [/mm] -> ist von [mm] (0,e^{\bruch{3}{2}} [/mm] ) konkav
[mm] f''(e^2)>0 [/mm] -> ist von [mm] (e^{\bruch{3}{2}} [/mm] , [mm] \infty) [/mm] konvex

b)
bleibt das Supremum.
der Maximal erreichte Wert ist [mm] f(Maximum)=f(e^1)=e^{-1} [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{lnx}{x})=\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0

verstehe ich jetzt nicht ganz. das Supremum sollte doch der maximale Wert sein



Bezug
                        
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Kurvendiskussion lnx/x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Di 07.12.2010
Autor: leduart

Hallo
zur Monotonie:
links vom Max steigt eine fkt immer, rechts fällt sie, da muss man keine Punkte mehr einsetzen!
2. konvex-konkav beim max ist ein graph immer konvex bis zum nächsten Wendepunkt, der hier rechts vom max ist also konvex links vom Wdpkt, konkav danach.
Dass du x gegen [mm] \infty [/mm] noch untersuchen musst ist nicht unbedingt nötig, da du kein Min hast ist klar, dass die fkt ihren höchsten Wert also sup beim Max hat.Aber prinzipiell muss man immer die Ränder des Definitionsgebietes noch ansehen, ob da die fkt größer ist als im relativen Max. oder begründen wie ich hier, dass das nicht sein kann.
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion lnx/x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 Di 07.12.2010
Autor: celeste16

Nochmal zur sup-betrachtung: wenn bei meiner Grenzwertberechnung ein kleinerer Wert als das Maximum rauskommt, ist das Sup das Maximum (und wird demnach auch erreicht). Wenn ich einen höheren Grenzwert habe, ist dieser das Sup und der Wert wird nicht erreicht, kann man das so sagen?

Zu dieser Untersuchung würde also jetzt noch der Grenzwert Richtung 0 kommen, um die Betrachtungen (ohne logische Begründungen wie du sie gemacht hast) zum Sup zu beenden?

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Kurvendiskussion lnx/x: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Di 07.12.2010
Autor: Loddar

Hallo celeste!


Das hast Du richtig erkannt. [daumenhoch]


Gruß
Loddar




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Kurvendiskussion lnx/x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Di 07.12.2010
Autor: celeste16

das ist ja eigentlich alles ganz einfach (wenn man in der lage ist die richtigen ableitungen zu bilden^^). danke für eure hilfe!

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