L-R- Zerlegung ohne Zeilenver. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}.
[/mm]
a) Wenn $A$ regulär und diagonaldominant ist, dann existiert eine L - R - Zerlegung von $A$, die mit Gaußscher Elimination ohne Zeilenvertauschung bestimmt werden kann.
b) Wenn $A$ symmetrisch positiv definit ist, dann existiert eine L - R - Zerlegung von $A$, die mit Gaußscher Elimination ohne Zeilenvertauschung bestimmt werden kann. |
Hallo, ich beschäftige mich momentan mit obiger Aufgabe, aber ich habe Probleme, die Aussagen a) und b) zu zeigen.
Ich bin nicht sehr weit gekommen, aber hier meine Ansätze:
Zu a)
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Ich habe folgende Tipps dazu bekommen:
(i) Per Induktion zeigen, dass alle Untermatrizen wieder diagonaldominant sind.
(ii) Prüfe, ob der erste Schritt der L - R - Zerlegung durchführbar ist.
Ich verstehe den Tipp $(i)$ nicht... Warum kann ich aus (i) daraus folgern kann, dass es eine L - R - Zerlegung von $A$ gibt, die mit Gaußscher Elimination ohne Zeilenvertauschung bestimmt werden kann?
Ich habe mich erst einmal an Tipp (ii) orientiert:
Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$. [/mm]
Da $A$ nach Voraussetzung diagonaldominant ist, gilt: $ 0 [mm] \le \sum\limits_{j = 1, i \neq j}^{n} \vert a_{ij} \vert \le \vert a_{ij} \vert$
[/mm]
Daraus folgt, dass auch $ 0 [mm] \le \sum\limits_{j = 2, i \neq j}^{n} \vert a_{1j} \vert \le \vert a_{11} \vert$
[/mm]
Der Fall $ 0 = [mm] \sum\limits_{j = 2, i \neq j}^{n} \vert a_{1j} \vert [/mm] = [mm] \vert a_{11} \vert$ [/mm] kann nicht auftreten, da alle Einträge der ersten Zeile Null wären und die Matrix somit nicht vollen Zeilenrang hätte. Und wenn die Spalte nicht vollen Zeilenrang hätte, dann wäre die Matrix $A$ auch nicht regulär, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.
Also gilt $ [mm] \vert a_{11} \vert [/mm] > 0$.
Der erste Schritt der LR-Zerlegung ist durchführbar.
Aber weiter komme ich leider nicht und ich habe auch keinen weiteren Ansatz. Zumal ich nicht verstehe, warum Tipp (i) mir helfen sollte.
Würde mich für jede Hilfe freuen 
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 06.11.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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