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Forum "Funktionalanalysis" - Länge/Bogenmaß von Funktionen
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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 18.04.2015
Autor: Rzeta

Aufgabe
a) Berechnen Sie den Umfang der Astroide [mm] \vec{x}(t)=\vektor{cos^3 t \\ sin^3 t}, [/mm] t [mm] \in [0,2\pi] [/mm]

b) Finden Sie eine Formel, mit der Sie die Länge des Graphen einer [mm] \mathcal C^1 [/mm] Funktion f: [c,d] [mm] \rightarrow \IR [/mm]



Hallo,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter.

a) Soll ich hier die Bogenlänge oder den Umfang des Kreises um die Astroide finden?

Die Bogenlänge habe ich schonmal versucht auszurechnen:

[mm] \integral_{0}^{2 \pi}\parallel{\dot{\vec{x}}\parallel dx} [/mm]

[mm] \dot{\vec{x}}(t)=\vektor{-3 \cos^2t \sin t\\ 3 \sin^2 t \cos t} [/mm]

[mm] \parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel= \wurzel{(-3 \cos^2t \sin t)^2+(3 \sin^2 t \cos t)^2}=\wurzel{9 \cos^2 t sin^2 t}=3 \cos(t) \sin(t) [/mm]

[mm] \implies s(0,2\pi)=\integral_{0}^{2 \pi}{3 \cos(t) \sin(t) dt}=\bruch{3}{2}\sin^2(2\pi)-\bruch{3}{2}\sin^2(0)=0 [/mm]

Wie kann die Bogenlänge null sein? Wie komme ich von hier auf den Umfang?

b) So wie wir das gelernt haben ist eine [mm] \mathcal C^1 [/mm] Funktion stetig und einmal differenzierbar. Irgendwie macht das aber keinen Sinn da ich doch jede Funktion undendlich of ableiten kann oder? Wie kann also die Funktion nur einmal differenzierbar sein?

Vielen Dank schonmal im Voraus

Rzeta

        
Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 18.04.2015
Autor: fred97


> a) Berechnen Sie den Umfang der Astroide
> [mm]\vec{x}(t)=\vektor{cos^3 t \\ sin^3 t},[/mm] t [mm]\in [0,2\pi][/mm]
>  
> b) Finden Sie eine Formel, mit der Sie die Länge des
> Graphen einer [mm]\mathcal C^1[/mm] Funktion f: [c,d] [mm]\rightarrow \IR[/mm]
>  
>
> Hallo,
>  
> ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter.
>  
> a) Soll ich hier die Bogenlänge oder den Umfang des
> Kreises um die Astroide finden?
>
> Die Bogenlänge habe ich schonmal versucht auszurechnen:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}\parallel{\dot{\vec{x}}\parallel dx}[/mm]
>  
> [mm]\dot{\vec{x}}(t)=\vektor{-3 \cos^2t \sin t\\ 3 \sin^2 t \cos t}[/mm]
>  
> [mm]\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel= \wurzel{(-3 \cos^2t \sin t)^2+(3 \sin^2 t \cos t)^2}=\wurzel{9 \cos^2 t sin^2 t}=3 \cos(t) \sin(t)[/mm]



Das stimmt nicht. Richtig ist: $3 [mm] |\cos(t)|*| \sin(t)|$ [/mm]


>  
> [mm]\implies s(0,2\pi)=\integral_{0}^{2 \pi}{3 \cos(t) \sin(t) dt}=\bruch{3}{2}\sin^2(2\pi)-\bruch{3}{2}\sin^2(0)=0[/mm]
>  
> Wie kann die Bogenlänge null sein?


Siehe oben.



> Wie komme ich von hier
> auf den Umfang?
>  
> b) So wie wir das gelernt haben ist eine [mm]\mathcal C^1[/mm]
> Funktion stetig und einmal differenzierbar.


Nicht nur das, sie hat auch eine stetige Ableitung !



>  Irgendwie macht
> das aber keinen Sinn da ich doch jede Funktion undendlich
> of ableiten kann oder?


Nein. Das ist nicht der Fall.


>  Wie kann also die Funktion nur
> einmal differenzierbar sein?

beispiel: [mm] f(x)=x^2 [/mm] für x>0 und  [mm] f(x)=-x^2 [/mm] für x [mm] \le [/mm] 0.

f ist auf [mm] \IR [/mm] nur einmal differenzierbar.


FREE

>  
> Vielen Dank schonmal im Voraus
>  
> Rzeta


Bezug
                
Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut


> > a) Berechnen Sie den Umfang der Astroide
> > [mm]\vec{x}(t)=\vektor{cos^3 t \\ sin^3 t},[/mm] t [mm]\in [0,2\pi][/mm]
>  >

>  
> > b) Finden Sie eine Formel, mit der Sie die Länge des
> > Graphen einer [mm]\mathcal C^1[/mm] Funktion f: [c,d] [mm]\rightarrow \IR[/mm]
>  
> >  

> >
> > Hallo,
>  >  
> > ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter.
>  >  
> > a) Soll ich hier die Bogenlänge oder den Umfang des
> > Kreises um die Astroide finden?
> >
> > Die Bogenlänge habe ich schonmal versucht auszurechnen:
>  >  
> > [mm]\integral_{0}^{2 \pi}\parallel{\dot{\vec{x}}\parallel dx}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\dot{\vec{x}}(t)=\vektor{-3 \cos^2t \sin t\\ 3 \sin^2 t \cos t}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel= \wurzel{(-3 \cos^2t \sin t)^2+(3 \sin^2 t \cos t)^2}=\wurzel{9 \cos^2 t sin^2 t}=3 \cos(t) \sin(t)[/mm]
>  
>
>
> Das stimmt nicht. Richtig ist: [mm]3 |\cos(t)|*| \sin(t)|[/mm]
>  
>
> >  

> > [mm]\implies s(0,2\pi)=\integral_{0}^{2 \pi}{3 \cos(t) \sin(t) dt}=\bruch{3}{2}\sin^2(2\pi)-\bruch{3}{2}\sin^2(0)=0[/mm]
>  
> >  

> > Wie kann die Bogenlänge null sein?

Wenn du dich gegen den Betrag 'wehrst' dann kommst du wohl nicht um [mm] $4\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}...$ [/mm] rum.

lg

>
>
> Siehe oben.
>  
>
>
> > Wie komme ich von hier
> > auf den Umfang?
>  >  
> > b) So wie wir das gelernt haben ist eine [mm]\mathcal C^1[/mm]
> > Funktion stetig und einmal differenzierbar.
>  
>
> Nicht nur das, sie hat auch eine stetige Ableitung !
>  
>
>
> >  Irgendwie macht

> > das aber keinen Sinn da ich doch jede Funktion undendlich
> > of ableiten kann oder?
>  
>
> Nein. Das ist nicht der Fall.
>  
>
> >  Wie kann also die Funktion nur

> > einmal differenzierbar sein?
>  
> beispiel: [mm]f(x)=x^2[/mm] für x>0 und  [mm]f(x)=-x^2[/mm] für x [mm]\le[/mm] 0.
>  
> f ist auf [mm]\IR[/mm] nur einmal differenzierbar.
>  
>
> FREE
>  >  
> > Vielen Dank schonmal im Voraus
>  >  
> > Rzeta
>  


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Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Sa 18.04.2015
Autor: Rzeta

Danke für den Hinweis mit den Beträgen. Frustrierend wenn so ein "einfacher" Fehler die komplette Antwort Sinnlos macht.

a) $ [mm] \parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel= \wurzel{(-3 \cos^2t \sin t)^2+(3 \sin^2 t \cos t)^2}=\wurzel{9 \cos^2 t sin^2 t}=3 |cos(t)|\cdot |\sin(t)| [/mm] $

[mm] $\implies \integral_{0}^{2\pi}{3 |cos(t)|\cdot |\sin(t)| dt}$= 3\integral_{0}^{2\pi}{ |cos(t)|\cdot |\sin(t)| dt}=? [/mm]

Gibts irgendwas spezielles zu beachten wenn ich eine Betrag integriere?

Könnte ich nicht auch einfach

[mm] 4\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{3 cos(t)\cdot \sin(t) dt}$ [/mm]

berechnen?

Berechne ich hier überhaupt das richtige. In der Frage wird ja nach dem Umfang verlangt. Ist damit das Bogenmaß gemeint?

b) Aber die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] x>0 ist doch zweimal differenzierbar und immer noch stetig.

f'(x)=2x

f''(x)=2


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Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Sa 18.04.2015
Autor: fred97


> Danke für den Hinweis mit den Beträgen. Frustrierend wenn
> so ein "einfacher" Fehler die komplette Antwort Sinnlos
> macht.
>  
> a) [mm]\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel= \wurzel{(-3 \cos^2t \sin t)^2+(3 \sin^2 t \cos t)^2}=\wurzel{9 \cos^2 t sin^2 t}=3 |cos(t)|\cdot |\sin(t)|[/mm]
>  
> [mm]\implies \integral_{0}^{2\pi}{3 |cos(t)|\cdot |\sin(t)| dt}[/mm]=
> [mm]3\integral_{0}^{2\pi}{ |cos(t)|\cdot |\sin(t)| dt}=?[/mm]
>
> Gibts irgendwas spezielles zu beachten wenn ich eine Betrag
> integriere?


Unterteile das Integrationsintervall.


>  
> Könnte ich nicht auch einfach
>
> [mm]4\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{3 cos(t)\cdot \sin(t) dt}$[/mm]
>
> berechnen?

Ja


>  
> Berechne ich hier überhaupt das richtige. In der Frage
> wird ja nach dem Umfang verlangt. Ist damit das Bogenmaß
> gemeint?

Ja


>  
> b) Aber die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] x>0 ist doch zweimal
> differenzierbar und immer noch stetig.
>  
> f'(x)=2x
>  
> f''(x)=2
>  


Ich sprach von dieser Funktion:

   $ [mm] f(x)=x^2 [/mm] $ für x>0 und  $ [mm] f(x)=-x^2 [/mm] $ für x $ [mm] \le [/mm] $ 0.


FRED

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Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Sa 18.04.2015
Autor: Thomas_Aut


> > Danke für den Hinweis mit den Beträgen. Frustrierend wenn
> > so ein "einfacher" Fehler die komplette Antwort Sinnlos
> > macht.
>  >  
> > a) [mm]\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel= \wurzel{(-3 \cos^2t \sin t)^2+(3 \sin^2 t \cos t)^2}=\wurzel{9 \cos^2 t sin^2 t}=3 |cos(t)|\cdot |\sin(t)|[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\implies \integral_{0}^{2\pi}{3 |cos(t)|\cdot |\sin(t)| dt}[/mm]=
> > [mm]3\integral_{0}^{2\pi}{ |cos(t)|\cdot |\sin(t)| dt}=?[/mm]
> >
> > Gibts irgendwas spezielles zu beachten wenn ich eine Betrag
> > integriere?
>  
>
> Unterteile das Integrationsintervall.
>  
>
> >  

> > Könnte ich nicht auch einfach
> >
> > [mm]4\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{3 cos(t)\cdot \sin(t) dt}$[/mm]
> >
> > berechnen?
>  
> Ja
>  
>
> >  

> > Berechne ich hier überhaupt das richtige. In der Frage
> > wird ja nach dem Umfang verlangt. Ist damit das Bogenmaß
> > gemeint?
>  
> Ja
>  
>
> >  

> > b) Aber die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] x>0 ist doch zweimal
> > differenzierbar und immer noch stetig.
>  >  
> > f'(x)=2x
>  >  
> > f''(x)=2
>  >  
>
>
> Ich sprach von dieser Funktion:
>  
> [mm]f(x)=x^2[/mm] für x>0 und  [mm]f(x)=-x^2[/mm] für x [mm]\le[/mm] 0.

Hallo FRED,

eigentlich könnte man das ziemlich elegant über den Cauchyschen Integralsatz zeigen, dass diese Funktion nicht analytisch sein kann - oder?

LG

>
>
> FRED



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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 So 19.04.2015
Autor: fred97


> > > Danke für den Hinweis mit den Beträgen. Frustrierend wenn
> > > so ein "einfacher" Fehler die komplette Antwort Sinnlos
> > > macht.
>  >  >  
> > > a) [mm]\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel= \wurzel{(-3 \cos^2t \sin t)^2+(3 \sin^2 t \cos t)^2}=\wurzel{9 \cos^2 t sin^2 t}=3 |cos(t)|\cdot |\sin(t)|[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]\implies \integral_{0}^{2\pi}{3 |cos(t)|\cdot |\sin(t)| dt}[/mm]=
> > > [mm]3\integral_{0}^{2\pi}{ |cos(t)|\cdot |\sin(t)| dt}=?[/mm]
> > >
> > > Gibts irgendwas spezielles zu beachten wenn ich eine Betrag
> > > integriere?
>  >  
> >
> > Unterteile das Integrationsintervall.
>  >  
> >
> > >  

> > > Könnte ich nicht auch einfach
> > >
> > > [mm]4\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{3 cos(t)\cdot \sin(t) dt}$[/mm]
> > >
> > > berechnen?
>  >  
> > Ja
>  >  
> >
> > >  

> > > Berechne ich hier überhaupt das richtige. In der Frage
> > > wird ja nach dem Umfang verlangt. Ist damit das Bogenmaß
> > > gemeint?
>  >  
> > Ja
>  >  
> >
> > >  

> > > b) Aber die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] x>0 ist doch zweimal
> > > differenzierbar und immer noch stetig.
>  >  >  
> > > f'(x)=2x
>  >  >  
> > > f''(x)=2
>  >  >  
> >
> >
> > Ich sprach von dieser Funktion:
>  >  
> > [mm]f(x)=x^2[/mm] für x>0 und  [mm]f(x)=-x^2[/mm] für x [mm]\le[/mm] 0.
> Hallo FRED,
>  
> eigentlich könnte man das ziemlich elegant über den
> Cauchyschen Integralsatz zeigen, dass diese Funktion nicht
> analytisch sein kann - oder?


Hä ? Dieser Satz ist ein Satz der komplexen Analysis ! Wie stellst Du Dir das vor ???

f ist auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar und es ist f'(x)=2|x|. f' ist auf [mm] \IR [/mm] nicht differenzierbar.

FRED

>  
> LG
>  
> >
> >
> > FRED
>
>  


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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 So 19.04.2015
Autor: Thomas_Aut

Aja genau bei dem Beispiel sind wir ja auf R.

Für C habe ich  gedacht man integriert die Funktion über 0,1,1+i , i in positive Richtung - da kommt dann etwas ungleich Null heraus - was dem Integralsatz von Cauchy widerspricht - also kann die Fkt auch auf C nicht analytisch sein.

LG

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Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Aja genau bei dem Beispiel sind wir ja auf R.
>
> Für C habe ich  gedacht man integriert die Funktion über
> 0,1,1+i , i in positive Richtung


...- das ist abenteuerlichh !   Wie definierst Du denn die vn mir angegebene Funktion in Punkten [mm] \notin \IR [/mm] ??



FREd



>  - da kommt dann etwas
> ungleich Null heraus - was dem Integralsatz von Cauchy
> widerspricht - also kann die Fkt auch auf C nicht
> analytisch sein.
>
> LG  


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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 19.04.2015
Autor: Thomas_Aut

Jaja du hast natürlich recht - das funktioniert nur für die Funktion
[mm] f(z)=|z|^2 [/mm] , z /in /mathbb (C)

Sry für den Unsinn ... habe das ganze einfach gleich für den komplexen Fall überlegt


LG

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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Jaja du hast natürlich recht - das funktioniert nur für
> die Funktion
> [mm]f(z)=|z|^2[/mm] , z /in /mathbb (C)

Dieses f ist nur in z=0 komplex differenzierbar.

FRED

>
> Sry für den Unsinn ... habe das ganze einfach gleich für
> den komplexen Fall überlegt
>  
>
> LG  


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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Sa 18.04.2015
Autor: Rzeta

Ah okay. Ich glaube ich habe es verstanden. Wenn ich jetzt also folgende Funktion habe:

[mm] f(x)=\begin{cases} x^2 & \mbox{wenn } x>0 \\ -x^2 & \mbox{wenn} x <0 \end{cases} [/mm]

und diese zweimal ableite dann bekomme ich:

[mm] \frac{\partial^2f(x)}{\partial x^2}=\begin{cases}2 & \mbox{wenn } x >0 \\ -2 & \mbox{wenn} x \le 0 \end{cases} [/mm]

und die funktion ist dann nicht mehr stetig. Das wäre jetzt praktisch ein [mm] \matcal C^1 [/mm] weg richtig?

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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Ah okay. Ich glaube ich habe es verstanden. Wenn ich jetzt
> also folgende Funktion habe:
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2 & \mbox{wenn } x>0 \\ -x^2 & \mbox{wenn} x <0 \end{cases}[/mm]
>  
> und diese zweimal ableite

Das geht aber nicht !

f ist auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar und es ist f'(x)=2|x|. f' ist auf [mm] \IR [/mm] nicht differenzierbar.

FRED

>  dann bekomme ich:
>  
> [mm]\frac{\partial^2f(x)}{\partial x^2}=\begin{cases}2 & \mbox{wenn } x >0 \\ -2 & \mbox{wenn} x \le 0 \end{cases}[/mm]
>  
> und die funktion ist dann nicht mehr stetig. Das wäre
> jetzt praktisch ein [mm]\matcal C^1[/mm] weg richtig?


Bezug
                                                
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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 So 19.04.2015
Autor: Rzeta

Hallo Fred,

danke für die Antwort.

ich habe die Funktion mal gezeichnet:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Hätte mir schon früher auffallen sollen das das eigentlich nur die Betragsfunktion ist und diese nicht bei x=0 differenzierbar ist.

Nochmal zusammengefasst: Eine [mm] \mathcal C^n [/mm] Weg hat

1) n-stetige Ableitungen

2) Ist n-mal differenzierbar

Wie kann ich das jetzt verwenden um Aufgabe b) anzugehen? Irgendein Tipp?

Liebe Grüße

Rzeta



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 So 19.04.2015
Autor: fred97

gegeben sei die $ [mm] \mathcal C^1 [/mm] -$ Funktion f: [c,d] $ [mm] \rightarrow \IR [/mm] $.

Betrachte die Kurve

  [mm] $x(t):=\vektor{t \\ f(t)}$ [/mm]   (t [mm] \in [/mm] [c,d])


Wie lautet die Formel für die Längen von x ?

FRED

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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 So 19.04.2015
Autor: Rzeta

Ich würde dieses Integral verwenden.

[mm] L(a,b)=\integral_{a}^{b}{\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel dt} [/mm]

mit [mm] \parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel=\wurzel{1^2+(f'(t))^2} [/mm]

Gruß

Rzeta

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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Ich würde dieses Integral verwenden.
>  
> [mm]L(a,b)=\integral_{a}^{b}{\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel dt}[/mm]
>  
> mit [mm]\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel=\wurzel{1^2+(f'(t))^2}[/mm]
>  
> Gruß
>  
> Rzeta


Genau diese Formel wird in b) verlangt.

FRED

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Länge/Bogenmaß von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 So 19.04.2015
Autor: Rzeta

Achso,

das war dann doch einfacher als ich mir vorgestellt habe. Soll ich dann das Integral noch ausführen. Schaut dann etwas kompliziert aus:

[mm] L(c,d)=\integral_{c}^{d}\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel dt=\integral_{c}^{d}{\wurzel{1+(f'(t))^2} dt} [/mm]

Kann man das vielleicht mit einer substitution [mm] u=1+(f'(t))^2 [/mm] lösen, oder glaubst du das ich das integral überhaupt nicht ausführen soll.

Gruß

Rzeta


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Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Achso,
>  
> das war dann doch einfacher als ich mir vorgestellt habe.
> Soll ich dann das Integral noch ausführen. Schaut dann
> etwas kompliziert aus:
>  
> [mm]L(c,d)=\integral_{c}^{d}\parallel \dot{\vec{x}}(t) \parallel dt=\integral_{c}^{d}{\wurzel{1+(f'(t))^2} dt}[/mm]
>
> Kann man das vielleicht mit einer substitution
> [mm]u=1+(f'(t))^2[/mm] lösen, oder glaubst du das ich das integral
> überhaupt nicht ausführen soll.

Ja, das glaube ich. Gesucht war eine Formel. Und die hast Du

FRED

>  
> Gruß
>  
> Rzeta
>  


Bezug
                                                                                                
Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:01 So 19.04.2015
Autor: Rzeta

Super!

Vielen Dank für deine Hilfe.

Einen schönen Sonntag noch.

Gruß

Rzeta

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Bezug
Länge/Bogenmaß von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Super!
>  
> Vielen Dank für deine Hilfe.
>  
> Einen schönen Sonntag noch.

Dir auch

Gruß FRED


>  
> Gruß
>  
> Rzeta


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