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Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Sa 11.04.2015
Autor: Jellal

Hey,

Frage zu nem kleinen Beweis:

Seien f,g: [mm] I-->\IR [/mm] mit [mm] I\subset \IR_{\ge0} [/mm] mit [mm] 0\in [/mm] I.

[mm] f\in [/mm] O(g) für h-->0 :<=> [mm] \exists C\ge0 \exists h_{0}\ge0 \forall h\in(0,h_{0})\cap [/mm] I [mm] |f(h)|\le [/mm] C|g(h)|

[mm] f\in [/mm] o(g) für h-->0 :<=> [mm] \limes_{h-->0} \bruch{|f(h)|}{|g(h)|}=0 [/mm]

g habe keine Nullstelle nahe 0.
zu zeigen: [mm] f\in [/mm] o(g) => [mm] f\in [/mm] O(g) für h-->0


Ist das nicht trivial klar?
[mm] \limes_{h-->0} \bruch{|f(h)|}{|g(h)|}=0 [/mm] => für h-->0 ist |f(h)| << |g(h)|, also [mm] f\in [/mm] O(g).

Wo ist mein Denkfehler?


Gruß

        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:30 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hey,
>  
> Frage zu nem kleinen Beweis:
>  
> Seien f,g: [mm]I-->\IR[/mm] mit [mm]I\subset \IR_{\ge0}[/mm] mit [mm]0\in[/mm] I.

ich hoffe, I ist ein Intervall. Denn wenn 0 kein Häufungspunkt von I wäre...
Übrigens ist hier $0 [mm] \in [/mm] I$ überflüssig, sondern, wie gesagt: [mm] $0\,$ [/mm] sollte halt
HP von I sein!

> [mm]f\in[/mm] O(g) für h-->0 :<=> [mm]\exists C\ge0 \exists h_{0}\ge0 \forall h\in(0,h_{0})\cap[/mm]
> I [mm]|f(h)|\le[/mm] C|g(h)|

Das [mm] $\cap$ [/mm] ist sicher ein [mm] $\wedge$. [/mm]

> [mm]f\in[/mm] o(g) für h-->0 :<=> [mm]\limes_{h-->0} \bruch{|f(h)|}{|g(h)|}=0[/mm]
>  
> g habe keine Nullstelle nahe 0.
>  zu zeigen: [mm]f\in[/mm] o(g) => [mm]f\in[/mm] O(g) für h-->0

>  
>
> Ist das nicht trivial klar?
>  [mm]\limes_{h-->0} \bruch{|f(h)|}{|g(h)|}=0[/mm] => für h-->0 ist

> |f(h)| << |g(h)|, also [mm]f\in[/mm] O(g).

Ich sehe da nur einen Beweis der Art "das ist so, weil es für mich so
aussieht, als wenn es so ist".
(Suggestiv scheint das ja auch alles klar - aber wie definierst Du bei Dir
schon $|f(h)| [mm] \;<<\;|g(h)|$ [/mm] bei $h [mm] \to [/mm] 0$??)

Arbeite doch mit den Definitionen!

Aus

    [mm] $\lim_{h \to 0} \left|\frac{f(h)}{g(h)}\right|=\red{\,0\,}$ [/mm]

folgt: Zu jedem [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $h_1=h_1(\epsilon_0) [/mm] > 0$ mit

    [mm] $|f(h)/g(h)\;-\;\red{\,0\,}|=|f(h)/g(h)| \le \epsilon_0$ [/mm] für alle [mm] $h\,$ [/mm] mit $0< |h| [mm] \le h_1$; [/mm]

dabei sei [mm] $h_1$ [/mm] so klein, dass $g(h) [mm] \not=0$ [/mm] für alle [mm] $h\,$ [/mm] mit $0 < |h| [mm] \le h_1$ [/mm] ist.

Insbesondere gilt dann auch

    $|f(h)/g(h)| [mm] \le \epsilon_0$ [/mm] für alle [mm] $h\,$ [/mm] mit $0 < h [mm] \le h_1$. [/mm]
(Eigentlich kann man das direkt hinschreiben; ich hatte oben übersehen,
dass $I [mm] \subseteq [0,\infty)$ [/mm] sein soll...)

Damit folgt eigentlich schon alles, wenn Du [mm] $C:=\epsilon_0$ [/mm] und [mm] $h_0:=h_1$ [/mm] setzt,
und bei "für alle [mm] $h\,$ [/mm] mit $0 < h [mm] \le h_1$ [/mm] gilt

    $|f(h)/g(h)| [mm] \le \epsilon_0$" [/mm]

die letzte Ungleichung (äquivalent) umformst (es reicht dabei eigentlich [mm] $\Rightarrow$). [/mm]

Du kannst aber sogar konkreter werden: Setze [mm] $C:=\epsilon_0$ [/mm] mit [mm] $\epsilon_0:=1\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 So 12.04.2015
Autor: Jellal

Hallo Marcel,

vielen Dank für deine Antwort!


> ich hoffe, I ist ein Intervall. Denn wenn 0 kein
> Häufungspunkt von I wäre...
>  Übrigens ist hier [mm]0 \in I[/mm] überflüssig, sondern, wie
> gesagt: [mm]0\,[/mm] sollte halt
>  HP von I sein!

Es soll tatsächlich ein Intervall sein, was ich aber auch erst nach deinem Hinweis auf dem Blatt entdeckt habe.
Hatte mir nämlich auch die Frage gestellt, was passiert, wenn die Teilmenge 'Löcher' hat.


> Das [mm]\cap[/mm] ist sicher ein [mm]\wedge[/mm].

Nein, es ist tatsächlich ein [mm] \cap [/mm] für die Schnittmenge... macht doch eigentlich auch Sinn, oder nicht?

Ich habe noch eine Frage zu Definitionen mit doppelten Quantoren, zB. der doppelte [mm] \exists [/mm] Quantor.
Wie liest man den?

Heißt es: "Es existieren C und [mm] h_{0}, [/mm] sodass für alle h mit Eigenschaft xyz gilt:...."
Müsste da dann nicht vor dem All-Quantor ein Doppelpunkt stehen? Und vor der Ungleichung doch auch, der : steht doch immer für "sodass" oder "mit folgender Eigenschaft"

Gruß


Bezug
                        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> vielen Dank für deine Antwort!
>  
>
> > ich hoffe, I ist ein Intervall. Denn wenn 0 kein
> > Häufungspunkt von I wäre...
>  >  Übrigens ist hier [mm]0 \in I[/mm] überflüssig, sondern, wie
> > gesagt: [mm]0\,[/mm] sollte halt
>  >  HP von I sein!
>  
> Es soll tatsächlich ein Intervall sein, was ich aber auch
> erst nach deinem Hinweis auf dem Blatt entdeckt habe.
>  Hatte mir nämlich auch die Frage gestellt, was passiert,
> wenn die Teilmenge 'Löcher' hat.

das ist gar nicht so wichtig - nur bei [mm] $\lim_{\substack{M \ni h \to 0\\0 < h}}...$ [/mm] sollte man
"sich innerhalb von M der 0 beliebig nahe nähern können".

>
> > Das [mm]\cap[/mm] ist sicher ein [mm]\wedge[/mm].
>   Nein, es ist tatsächlich ein [mm]\cap[/mm] für die
> Schnittmenge... macht doch eigentlich auch Sinn, oder
> nicht?

Ich habe es falsch gelesen - ich habe nicht gelesen, dass da

    $... [mm] \in (0,h_0) \cap \red{I}...$ [/mm]

steht, sondern ich dachte, da steht

    $... [mm] \in (0,h_0) \cap |f(h)|\;\le\;C*|g(h)|$. [/mm]

Ich habe also das I überlesen. Du hast das aber auch im Formeleditor sehr
zusammengequetscht; zu meiner Entschuldigung! ;-)

> Ich habe noch eine Frage zu Definitionen mit doppelten
> Quantoren, zB. der doppelte [mm]\exists[/mm] Quantor.
>  Wie liest man den?

Du meinst, wenn der zweimal benutzt wird?

> Heißt es: "Es existieren C und [mm]h_{0},[/mm] sodass für alle h
> mit Eigenschaft xyz gilt:...."

Genau: [mm] "$\exists [/mm] C [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \exists h_0 [/mm] > 0$ so, dass ..."
meint

    Es existiert (mindestens) ein $C [mm] \ge [/mm] 0$ und es existiert (zudem) (mindestens) ein [mm] $h_0 [/mm] > 0$ so, dass ...


>  Müsste da dann nicht vor dem All-Quantor ein Doppelpunkt
> stehen?

Ich würde den schreiben, manche ersparen ihn sich, weil es aus dem Zshg.
heraus klar ist.

> Und vor der Ungleichung doch auch, der : steht doch
> immer für "sodass" oder "mit folgender Eigenschaft"

Würde ich auch schreiben. Manche schreiben das auch anders, die sparen
sich generell die Doppelpunkte und schreiben einiges unter die Zeichen, ich
deute das nur mal an, normalerweise wird das, was unter den Zeichen steht,
dann kleiner geschrieben:

    [mm] $\begin{matrix}\exists & \exists & \forall & & |f(h)| \le C*|g(h)|\\C \ge 0 & h_0 > 0 & h \in I \cap (0,h_0) & & \end{matrix}$ [/mm]

Ich selber hätte das vielleicht so geschrieben:

    [mm] $\exists [/mm] C [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \exists h_0 [/mm] > [mm] 0;\; \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] I [mm] \cap (0,h_0)$: [/mm]

    $|f(h)| [mm] \;\le\;C*|g(h)|$ [/mm]

Oder halt

    [mm] $\exists [/mm] C [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \exists h_0 [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\forall [/mm] h [mm] \in [/mm] I [mm] \cap (0,h_0)$: [/mm]

    $|f(h)| [mm] \;\le\;C*|g(h)|$ [/mm]

Oder halt

    [mm] $\exists [/mm] C [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \exists h_0 [/mm] > 0$ mit [mm] $\forall [/mm] h [mm] \in [/mm] I [mm] \cap (0,h_0)$: [/mm]

    $|f(h)| [mm] \;\le\;C*|g(h)|$ [/mm]

Ich finde es auch nicht schlimm, so ein bisschen die Notation mit Quantoren
und Sprache zu vermischen. Meist hilft das eher denn es schadet.

Es gibt ja auch noch andere Notationsmöglichkeiten:

    []http://de.wikipedia.org/wiki/Quantor#Schreib-_und_Sprechweise

Dieses [mm] $\bigvee$ [/mm] ist ja auch gar nicht so schlecht, es erinnert ein wenig
an das Vereinigungszeichen...

In dem Artikel siehst Du auch viele der gängigstens Notationsvarianten...

Gruß,
  Marcel

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Landau-Symbol: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 So 12.04.2015
Autor: Jellal

Alles klar, vielen Dank :)

Bezug
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