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Landausche Symbole: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Sa 21.06.2003
Autor: Regina

Hallo,

habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe und wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.

Für die Funktionen f,g: (-1,1) -> R gelte g(0)=0 sowie
f(x) = [mm] O(x^m) [/mm] für x -> 0 und g(y) = [mm] O(y^n) [/mm] für y -> 0
mit Exponenten 0<m Element N und n Element Z.

Ich soll jetzt begründen, dass dann (g°f)(x) = O(x^mn) für x->0 eine erstens wahre und zweitens sinnvolle Aussage ist.

Den ersten Teil hab ich mal so angefangen:

Es gilt f(x) = [mm] O(x^m) [/mm] für x -> 0
Also gibt es ein d>0 und ein E aus R gibt, so dass
[mm] Betrag(f(x)/x^m) Da m Element N beliebig, gilt:  Betrag(f(x))<E [mm] Betrag(x^m) [/mm] für alle m Element N außer 0.
Der Grenzwert von E [mm] Betrag(x^m) [/mm] ist 0 für m gegen unendlich.
Somit muss f(x)=0 sein.
Also ist g(f(x))=0 für alle x Element (-1,1).
=> Betrag (g(f(x))/x^mn) = 0 für alle x Element (-1,1),
insbesondere ist Betrag (g(f(x))/x^mn) also beschränkt und es gilt: (g°f)(x) = O(x^mn) für x->0

Bin mir nicht sicher, ob man das so machen kann.

Zum zweiten Teil, wo man begründen soll, was an dem ganzen sinnvoll sein soll, fällt mir leider nichts ein. Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben?

Danke

Regina


        
Bezug
Landausche Symbole: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:53 Sa 21.06.2003
Autor: Marc

Hallo Regina,

willkommen im MatheRaum :-).

Eins vorweg zu deiner Lösung: Deine Folgerungen, dass [mm]f(x)=0[/mm] ist, halte ich für sehr gewagt.

Das hast du ja irgendwie daraus gefolgert, weil [mm]m\rightarrow\infty[/mm] ginge; aber wieso denn das?
[mm]n[/mm] und [mm]m[/mm] sollen hier doch konstante Zahlen sein, [mm]m \in \mathds{N}[/mm] und [mm]n \in \mathds{Z}[/mm].

Einen Tipp zur Lösung schreibe ich gleich, so hast du noch etwas Zeit, darüber nachzudenken :-)

Bis gleich,
Marc.


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Bezug
Landausche Symbole: Sorry, kann erst morgen weiterdenken
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 Sa 21.06.2003
Autor: Marc

Hallo Regina,

kann mich im Augenblick nicht konzentrieren (da ich Besuch bekommen habe), so dass ich mich erst wieder Morgen früh mit deiner Aufgabe beschäftigen kann.

Ich hoffe, es ist dann noch nicht zu spät, aber vielleicht hilft dir ja in der Zwischenzeit jemand anderes.

Entschuldige,
Marc.


Bezug
                        
Bezug
Landausche Symbole: Sorry, kann erst morgen weiterdenken
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Sa 21.06.2003
Autor: Regina

Hallo Marc,

kein Problem, muss die Aufgabe ja erst am Freitag abgeben. Ich kann also nächste Woche auch noch meine Kommilitonen oder den Übungsleiter fragen, falls mir nichts mehr einfällt.  

Dann mal noch viel Spaß heute Abend!
Ich werde jetzt erst mal joggen gehen und mich dann wieder der Mathematik widmen.

Viele Grüße

Regina


Bezug
        
Bezug
Landausche Symbole: (korrigiert: ich hatte bei dem (**) ein ^n vergessen)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 So 22.06.2003
Autor: Stefan

Liebe Regina!

Hier díe Lösung;

Nach Voraussetzung gibt es

- ein [mm] d_1 [/mm] > 0 und ein [mm] E_1 [/mm] € R mit

(*) |f(x)| < [mm] E_1 [/mm] * [mm] |x|^m [/mm] für alle x € (-1,1) mit |x| < [mm] d_1, [/mm] x ungleich 0 ,

- ein [mm] d_2 [/mm] > 0 und ein [mm] E_2 [/mm] € R mit

|g(y)| < [mm] E_2 [/mm] * [mm] |y|^n [/mm] für alle y € (-1,1) mit |y| < [mm] d_2, [/mm] y ungleich 0 .

Aus (*) folgt insbesondere lim(x->0, x ungleich 0) f(x) = 0, d.h. es gibt ein [mm] delta_1 [/mm] > 0, so dass für alle x € (-1,1), x ungleich 0,  mit |x| < [mm] delta_1 [/mm] folgendes gilt:

|f(x)| < [mm] d_2. [/mm]

Nun gilt für alle x € (-1,1) mit  |x| < delta := [mm] min{delta_1, d_1}, [/mm] x ungleich 0, für die f(x) ungleich 0 gilt :

(**) |g(f(x))| < [mm] E_2 [/mm] * [mm] |f(x)|^n [/mm] < [mm] E_2 [/mm] * [mm] E_1^n [/mm] * [mm] (|x|^m)^n [/mm] = E * |x|^(n*m)

mit E := [mm] E_1^n [/mm] * [mm] E_2. [/mm]

Für diejenigen x ungleich 0, für die f(x) = 0 gilt, folgt nach Voraussetzung g(f(x)) = 0, also insbesondere die Behauptung (**).

Daher gibt es für alle x € (-1,1) ein delta>0 und ein E € R, so dass

|g(f(x))| <  E * |x|^(n*m) für alle x € (-1,1) mit |x| < delta, x ungleich 0.

Daraus folgt die Behauptung.

Ich hoffe dir ist klar geworden, wo man die Bedingung "g(0)=0" braucht. Der Witz ist halt, dass die "<"-Beziehungen in der Definition von den Landau-Symbolen für x->0 nur für x ungleich 0 zu gelten brauchen, aber dass es durchaus ein x ungleich 0 mit f(0)=0 geben kann. Vielleicht ist das dann auch mit "sinnvoll" gemeint, aber das weiß nur der Aufgabensteller. ;-)

Viele liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Landausche Symbole: (korrigiert: ich hatte bei dem (**) ein ^n vergessen)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Do 26.06.2003
Autor: Regina

Vielen, vielen Dank!

Jetzt hab ichs verstanden.

Liebe Grüße

Regina



Nachricht bearbeitet (Do 26.06.03 19:36)

Bezug
                        
Bezug
Landausche Symbole: (korrigiert: ich hatte bei dem (**) ein ^n vergessen)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:03 Do 26.06.2003
Autor: Stefan

Liebe Regina!

> Vielen, vielen Dank!

Gern geschehen, vielen Dank für die nette Rückmeldung! :-)

> Jetzt hab ichs verstanden.

Das freut mich!

Liebe Grüße
Stefan


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